Πώς να υπολογίσετε την εκθετική ανάπτυξη

Μερικές φορές η «εκθετική ανάπτυξη» είναι απλώς ένα σχήμα λόγου, μια αναφορά σε οτιδήποτε αυξάνεται παράλογα ή απίστευτα γρήγορα. Αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορείτε να πάρετε την ιδέα της εκθετικής ανάπτυξης κυριολεκτικά. Για παράδειγμα, ένας πληθυσμός κουνελιών μπορεί να αυξηθεί εκθετικά καθώς κάθε γενιά πολλαπλασιάζεται, μετά πολλαπλασιάζονται οι απόγονοί τους κ.ο.κ. Το επιχειρηματικό ή το προσωπικό εισόδημα μπορεί επίσης να αυξηθεί εκθετικά. Όταν καλείστε να κάνετε πραγματικούς υπολογισμούς της εκθετικής ανάπτυξης, θα εργαστείτε με τρεις πληροφορίες:αρχική τιμή, ρυθμός ανάπτυξης (ή φθίνουσας) και χρόνος.

TL;DR (Πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα; Δεν έχω διαβάσει)

TL;DR (Πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα; Δεν έχω διαβάσει)

Για να υπολογίσετε την εκθετική αύξηση, χρησιμοποιήστε τον τύπο y (t ) =a__e, όπου a είναι η τιμή στην αρχή, k είναι ο ρυθμός ανάπτυξης ή αποσύνθεσης, t είναι χρόνος και y (t ) είναι η τιμή του πληθυσμού τη στιγμή t .

Πώς να Υπολογίσετε Εκθετικούς Ρυθμούς Ανάπτυξης

Φανταστείτε ότι ένας επιστήμονας μελετά την ανάπτυξη ενός νέου είδους βακτηρίων. Ενώ μπορούσε να εισαγάγει τις τιμές της αρχικής ποσότητας, του ρυθμού ανάπτυξης και του χρόνου σε έναν υπολογιστή αύξησης του πληθυσμού, αποφάσισε να υπολογίσει τον ρυθμό ανάπτυξης του πληθυσμού των βακτηρίων με μη αυτόματο τρόπο.

Ανατρέχοντας στα σχολαστικά αρχεία του, ο επιστήμονας βλέπει ότι ο αρχικός πληθυσμός του ήταν 50 βακτήρια. Πέντε ώρες αργότερα, μέτρησε 550 βακτήρια.

Εισαγωγή των πληροφοριών του επιστήμονα στην εξίσωση για την εκθετική ανάπτυξη ή αποσύνθεση, y (t ) =a__e , έχει:

550 =50_e_

Ο μόνος άγνωστος που απομένει στην εξίσωση είναι το k , ή τον ρυθμό εκθετικής ανάπτυξης.

Για να ξεκινήσετε την επίλυση του k , πρώτα διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 50. Αυτό σας δίνει:

550/50 =(50_e_)/50, το οποίο απλοποιεί:

11 =e

Στη συνέχεια, πάρτε τον φυσικό λογάριθμο και των δύο πλευρών, ο οποίος σημειώνεται ως ln(x ). Αυτό σας δίνει:

ln(11) =ln(e )

Ο φυσικός λογάριθμος είναι η αντίστροφη συνάρτηση του e , επομένως "αναιρεί" αποτελεσματικά το e συνάρτηση στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, αφήνοντάς σας με:

ln(11) =_k_5

Στη συνέχεια, διαιρέστε και τις δύο πλευρές με το 5 για να απομονώσετε τη μεταβλητή, η οποία σας δίνει:

k =ln(11)/5

Τώρα γνωρίζετε τον ρυθμό εκθετικής ανάπτυξης για αυτόν τον πληθυσμό βακτηρίων:k =ln(11)/5. Εάν πρόκειται να κάνετε περαιτέρω υπολογισμούς με αυτόν τον πληθυσμό – για παράδειγμα, συνδέοντας τον ρυθμό ανάπτυξης στην εξίσωση και εκτιμώντας το μέγεθος του πληθυσμού σε t =10 ώρες – είναι καλύτερο να αφήσετε την απάντηση σε αυτή τη φόρμα. Αλλά εάν δεν εκτελείτε περαιτέρω υπολογισμούς, μπορείτε να εισαγάγετε αυτήν την τιμή σε έναν υπολογιστή εκθετικής συνάρτησης – ή στην επιστημονική σας αριθμομηχανή – για να λάβετε μια εκτιμώμενη τιμή 0,479579. Ανάλογα με τις ακριβείς παραμέτρους του πειράματός σας, μπορείτε να το στρογγυλοποιήσετε σε 0,48/ώρα για ευκολία στον υπολογισμό ή τη σημείωση.

Συμβουλές

• Εάν ο ρυθμός ανάπτυξής σας ήταν μικρότερος από 1, σας λέει ότι ο πληθυσμός συρρικνώνεται. Αυτό είναι γνωστό ως ρυθμός αποσύνθεσης ή ρυθμός εκθετικής αποσύνθεσης.