Ηλεκτρικό πεδίο λόγω φόρτισης γραμμής

Το φορτίο γραμμής ορίζεται ως η κατανομή φορτίου κατά μήκος μιας μονοδιάστατης καμπύλης ή γραμμής L στο διάστημα.

Σε αυτό το άρθρο, θα βρούμε το ηλεκτρικό πεδίο που οφείλεται σε ένα φορτίο πεπερασμένης γραμμής σε κάθετη απόσταση και θα συζητήσουμε τη σημασία του φορτίου της γραμμής ηλεκτρικού πεδίου. Θα βρίσκαμε το ηλεκτρικό πεδίο μέσω της μεθόδου παραγωγής χωρίς τη χρήση του νόμου του Gauss.

Έννοια του ηλεκτρικού φορτίου

Μια ηλεκτροστατική δύναμη δρα μεταξύ δύο φορτισμένων σωμάτων, ακόμη και χωρίς άμεση επαφή μεταξύ τους. Η φύση αυτής της δύναμης γίνεται κατανοητή με την εισαγωγή της έννοιας του ηλεκτρικού πεδίου.

Για να ελέγξετε την ύπαρξη ηλεκτρικού πεδίου σε οποιοδήποτε σημείο P, απλώς τοποθετήστε ένα μικρό θετικό σημείο φορτίου Q0, που ονομάζεται φορτίο δοκιμής, στο σημείο P. Εάν ασκηθεί δύναμη F στο φορτίο δοκιμής, υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο E στο σημείο P και το φορτίο Q ονομάζεται φορτίο πηγής καθώς παράγει το πεδίο E.

Ένα ηλεκτρικό πεδίο λέγεται ότι υπάρχει σε ένα σημείο εάν ασκείται ηλεκτρική δύναμη σε ένα σταθερό φορτισμένο σώμα που βρίσκεται σε αυτό το σημείο. Το ηλεκτρικό πεδίο ορίζεται ποσοτικά ως η δύναμη που υφίσταται ένα φορτίο θετικού σημείου μονάδας που τοποθετείται σε αυτό το σημείο χωρίς να διαταράσσεται η θέση του φορτίου πηγής.

Το ηλεκτρικό πεδίο Ε είναι ένα διανυσματικό μέγεθος του οποίου η διεύθυνση είναι ίδια με αυτή της δύναμης F που ασκείται σε ένα θετικό δοκιμαστικό φορτίο.

Μονάδα και διάσταση του ηλεκτρικού πεδίου

Καθώς το ηλεκτρικό πεδίο είναι δύναμη ανά μονάδα σημείου φορτίου, η μονάδα SI του είναι Newton ανά κουλόμπ (NC-1). Είναι ισοδύναμο με ένα βολτ ανά μέτρο (Vm-1).

Η διάσταση για το πεδίο E μπορεί να γραφτεί ως

Όπου 1C =1 A x 1s

Το ηλεκτρικό πεδίο λόγω φορτίου πεπερασμένης γραμμής στο ισημερινό σημείο

Θεωρήστε μια άπειρη γραμμή φορτίου με ομοιόμορφη γραμμή φορτίου πυκνότητας . Πρέπει να υπολογίσουμε το ηλεκτρικό πεδίο σε οποιοδήποτε σημείο P σε απόσταση y από αυτό. Το συνολικό φορτίο πηγής Q κατανέμεται ομοιόμορφα κατά μήκος του άξονα x μεταξύ x =a έως x =– a. Πρέπει να βρούμε το ηλεκτρικό πεδίο που οφείλεται στο φορτίο γραμμής στο σημείο P στον άξονα y σε απόσταση y από την αρχή.

Το παρακάτω διάγραμμα είναι η αναπαράσταση αυτής της εξήγησης και πρέπει να εξαγάγουμε τον τύπο ηλεκτρικού πεδίου στο σημείο P λόγω της συνεχούς κατανομής φορτίου.

Επιλύουμε αυτό το πρόβλημα σπάζοντας το ευθύγραμμο τμήμα μήκους 2a σε μέρη μήκους dx, με καθένα από αυτά τα μέρη να φέρει φορτίο dQ. Εάν η πυκνότητα φόρτισης γραμμής είναι , 

όπου =Q/a, 

τότε από το διάγραμμα, μπορούμε να δούμε ότι ο άξονας y είναι η κάθετη διχοτόμος του ευθύγραμμου τμήματος. Άρα, από το μέσο του φορτισμένου ευθύγραμμου τμήματος, το σημείο P βρίσκεται σε απόσταση «y». Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα του Πυθαγόρα, όπου r είναι η υποτείνουσα, x η αντίθετη πλευρά και y η διπλανή πλευρά ενός ορθογώνιου τριγώνου, μπορούμε να γράψουμε,

Από το διάγραμμα, το στοιχείο dEy είναι κάθετο στο φορτισμένο ευθύγραμμο τμήμα και το dEx είναι παράλληλο στο τμήμα. Έτσι, επιλύοντας το στοιχείο που παίρνουμε

Καθώς ο άξονας y είναι η κάθετη διχοτόμος του ευθύγραμμου τμήματος, υπάρχει συμμετρία στη διαμόρφωση. Άρα, το συστατικό dE παράλληλο στο φορτίο γραμμής είναι μηδέν. Όταν ένα θετικό σημειακό φορτίο (φόρτιση δοκιμής) τοποθετείται στο P, το κάθετο δεξί μισό της γραμμής φόρτισης ασκεί δύναμη στο δοκιμαστικό φορτίο προς τη δεξιά πλευρά, ενώ το αριστερό μισό ασκεί δύναμη ίσου μεγέθους προς την αριστερή πλευρά . Έτσι, το δεξί και το αριστερό τμήμα του τμήματος συμβάλλουν εξίσου στο συνολικό ηλεκτρικό πεδίο.

Άρα, από τη συμμετρία dEx=0.

Έτσι, το συνολικό ηλεκτρικό πεδίο στο σημείο P λόγω αυτού του φορτισμένου ευθύγραμμου τμήματος είναι κάθετο σε αυτό και μπορεί να υπολογιστεί βρίσκοντας το ηλεκτρικό πεδίο στη μία πλευρά και στη συνέχεια πολλαπλασιάζοντάς το με δύο, ώστε να πάρουμε το συνολικό ηλεκτρικό πεδίο στην περιοχή. Για αυτό, πρέπει να ενσωματώσουμε από το x =a στο x =0. Άρα,

Το ηλεκτρικό πεδίο κατευθύνεται μακριά από το φορτίο γραμμής εάν η ράβδος είναι θετικά φορτισμένη και κατευθύνεται προς το φορτίο γραμμής εάν είναι αρνητικά φορτισμένο.

Από την παραπάνω εξίσωση προκύπτουν τρεις περιπτώσεις

Συμπέρασμα

Το ηλεκτρικό πεδίο σε ένα σημείο ορίζεται ως η δύναμη που υφίσταται ένα φορτίο θετικού σημείου μονάδας που τοποθετείται σε αυτό το σημείο χωρίς να διαταράσσεται η θέση του φορτίου πηγής.

Το ηλεκτρικό πεδίο Ε είναι ένα διανυσματικό μέγεθος του οποίου η διεύθυνση είναι ίδια με αυτή της δύναμης F που ασκείται σε ένα θετικό δοκιμαστικό φορτίο. Η μονάδα SI του είναι Newton per Coulomb (NC-1).

Το ηλεκτρικό πεδίο λόγω φορτίου πεπερασμένης γραμμής στο ισημερινό σημείο δίνεται από το