Τεταρτήματα γραφήματος:Ορισμός και ονόματα

τεταρτημόρια είναι ο τρόπος με τον οποίο διαιρούνται τα δισδιάστατα καρτεσιανά συστήματα και η τιμή των σημείων διατυπώνεται γραφικά μέσα σε αυτά εξαρτάται από τη θέση τους σε σχέση με τον άξονα Χ και τον άξονα Υ. Τα τεταρτημόρια χωρίζουν το επίπεδο σε τέσσερις ξεχωριστές περιοχές και καθεμία από αυτές τις περιοχές οριοθετείται από το μισό ενός άξονα.

Συνήθως τους δίνονται λατινικοί αριθμοί για να τους αναγνωρίσουν και κινούνται αριστερόστροφα από πάνω δεξιά προς τα κάτω δεξιά είναι:I, II, III και IV.

Ορισμός τεταρτημορίων σε καρτεσιανό γράφημα/επίπεδο

Τα τεταρτημόρια βασίζονται σε ένα επίπεδο που διαιρείται με δύο άξονες. Ο άξονας Χ είναι ο οριζόντιος άξονας, ενώ ο άξονας Υ είναι ο κατακόρυφος. Η τομή των δύο αξόνων είναι όπου και οι δύο τιμές X και Y είναι στο μηδέν. Οι θετικές τιμές Y βρίσκονται πάνω από την οριζόντια γραμμή ενώ οι αρνητικές τιμές βρίσκονται κάτω από αυτήν. Ομοίως, οι θετικές τιμές X βρίσκονται στα δεξιά του άξονα Y και οι αρνητικές τιμές X βρίσκονται στα αριστερά του άξονα Y.

Έτσι, το τεταρτημόριο I περιέχει σημεία όπου και οι δύο τιμές είναι θετικές (+, +) και το τεταρτημόριο II περιέχει τιμές όπου το Χ είναι αρνητικό αλλά το Υ είναι θετικό (-, +). Το τεταρτημόριο III περιέχει σημεία όπου και οι δύο τιμές είναι αρνητικές (-, -) και το τεταρτημόριο IV περιέχει σημεία όπου το Χ είναι θετικό αλλά το Υ είναι αρνητικό (+, -).

Στην τριγωνομετρία, υπάρχουν τρεις διαφορετικές συναρτήσεις που μπορούν να απεικονιστούν σε ένα καρτεσιανό επίπεδο. Είναι ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη. Η ημιτονοειδής γραφική παράσταση είναι μια γραφική παράσταση που ξεκινά από το 0 και κινείται μέχρι το 1 επί π/2 ακτίνια (90°) , και στη συνέχεια κινείται προς τα κάτω στο -1. Έχει συμμετρική καμπύλη πάνω-κάτω. Τα συνημίτονα είναι διαγράμματα που ξεκινούν από το 1, όχι από το 0 και κινούνται προς τα πάνω κατά π ακτίνια (180°) μέχρι να κινηθεί πάλι προς τα κάτω προς το -1. Μοιάζει με μια πλοκή του Sine, εκτός από την προέλευση. Εν τω μεταξύ, μια εφαπτομένη συνάρτηση έχει σχήμα αρκετά διαφορετικό από τις άλλες δύο συναρτήσεις. Η συνάρτηση εφαπτομένης εκτείνεται μεταξύ αρνητικού και θετικού άπειρου, αλλά διασχίζει την αρχή του 0 και επίσης διασχίζει σε κάθε π ακτίνια (180°). Αυτό του δίνει ένα μοτίβο επαναλαμβανόμενων ρηχών καμπυλών.

Στο τεταρτημόριο Ι, κάθε πλοκή Ημιτόνου, Συνημίτονος και Εφαπτομένης θα είναι θετική. Στο τεταρτημόριο II, μόνο τα γραφήματα Sine, Cosec (sine) θα είναι θετικά. Στο τεταρτημόριο III, μόνο οι γραφικές παραστάσεις tan και cot (εφαπτομένης) θα είναι θετικές, και στο τεταρτημόριο IV μόνο οι γραφικές παραστάσεις cos και sec (συνημίτονο) θα είναι θετικές. Το μνημονικό για αυτό είναι "Όλοι οι Δάσκαλοι Επιστημών (είναι) Τρελοί".

Το καρτεσιανό σύστημα επιπέδου/συντεταγμένων πήρε το όνομά του από τον Γάλλο φιλόσοφο και μαθηματικό Rene Descartes, ο οποίος είχε την ιδέα και τη δημοσίευσε το 1637. Η ιδέα είχε δημιουργηθεί ανεξάρτητα από τον Pierre de Fermat, αν και ο Fermat δεν δημοσίευσε το έργο του όπως Ο Ντεκάρτ το έκανε. Ενώ τόσο ο Ντεκάρτ όσο και ο Φερμά χρησιμοποίησαν έναν μόνο άξονα στην εκδοχή του συστήματος συντεταγμένων, οι μεταγενέστεροι μαθηματικοί θα επεκτείνουν την εργασία τους και θα τυποποιήσουν το σύστημα με δύο άξονες.

Μεταμορφώσεις

Οι Ευκλείδειοι μετασχηματισμοί ή οι Ευκλείδειες κινήσεις είναι μετακίνηση/χαρτογράφηση σημείων εντός ενός ευκλείδειου επιπέδου σε άλλα σημεία που διατηρούν τις αποστάσεις μεταξύ των εν λόγω σημείων. Υπάρχουν τέσσερις διαφορετικοί τύποι μετασχηματισμών:περιστροφές, μεταφράσεις, ανακλάσεις και ανακλάσεις ολίσθησης.

Μια Ευκλείδεια περιστροφή σημαίνει ότι η απόσταση από το κέντρο σε οποιοδήποτε σημείο θα παραμείνει ίδια, τα σημεία περιστρέφονται γύρω από το επιλεγμένο κέντρο του σχήματος. Μια αντανάκλαση σημαίνει ότι το σχήμα ή το γεωμετρικό αντικείμενο ανατρέπεται πάνω από έναν από τους άξονες του επιπέδου. Αυτό σημαίνει ότι ένα επιλεγμένο σημείο θα διασχίσει έναν άξονα σε ένα άλλο τεταρτημόριο. Για παράδειγμα, εάν ένα σημείο αναφέρεται ως 4, -3, μια αντανάκλαση αυτού του σημείου θα το έκανε -4, 3. Μια αντανάκλαση ολίσθησης είναι ένας συγκεκριμένος τύπος ανάκλασης όπου το σχήμα ανακλάται πρώτα και στη συνέχεια μεταφράζεται ή μεταφράζεται και στη συνέχεια ανακλάται. Μια μετάφραση ενός γεωμετρικού σχήματος σημαίνει απλώς ότι το σχήμα κινείται σε μια δεδομένη κατεύθυνση με ένα δεδομένο μέγεθος αλλαγής. Το βασικό σημείο για μια μετάφραση είναι ότι κάθε σημείο του σχήματος πρέπει να κινείται στην ίδια κατεύθυνση με την ίδια απόσταση.

Καρτεσιανά συστήματα σε δύο διαστάσεις

Η επιλογή ενός άξονα x θα καθορίσει την κατεύθυνση του άξονα y. Ο άξονας y θα είναι κάθετος στον άξονα x και θα κινείται μέσα από το σημείο που σημειώνεται με 0 στον άξονα x. Ωστόσο, μπορεί να γίνει μια επιλογή σε ποια μισά από τα δύο μισά της γραμμής θα χαρακτηριστούν θετικά ή αρνητικά. Αυτή η επιλογή είναι που δίνει σε ένα καρτεσιανό επίπεδο τον προσανατολισμό ή την ευελιξία του. Τούτου λεχθέντος, ενώ εναπόκειται στον δημιουργό του γραφήματος να επιλέξει ποια κατεύθυνση είναι θετική ή αρνητική, ο κανονικός τρόπος σήμανσης των θετικών/αρνητικών περιοχών είναι ο θετικός άξονας Χ να τρέχει προς τα δεξιά ενώ ο θετικός άξονας Υ τρέχει.

Σημείωση για τα διανύσματα

Τα σημεία σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων μπορούν επίσης να οριστούν ως διανύσματα ή ένα βέλος που δείχνει από την αρχή του επιπέδου συντεταγμένων (0, 0) στο σημείο. Τα διανύσματα έχουν δύο ιδιότητες:κατεύθυνση και μέγεθος. Η κατεύθυνση είναι ακριβώς η κατεύθυνση (πάνω, κάτω, αριστερά, δεξιά) που κινείται το διάνυσμα και το μέγεθος αντιπροσωπεύει το μέγεθος της κίνησης προς αυτή την κατεύθυνση. Εάν οι συντεταγμένες βρίσκονται σε χωρικές θέσεις, τότε το διάνυσμα που ξεκινά από την αρχή και κινείται προς το σημείο αναπαρίσταται συνήθως με "r". Το διάνυσμα που υπάρχει από την αρχή σε ένα σημείο αναπαρίσταται συνήθως ως r =xi, + yj. Τα "I" και "j" είναι (1/0) και (0/1) αντίστοιχα, αντιπροσωπεύοντας την κατεύθυνση του διανύσματος ως προς τον άξονα X και Y.

Γράφημα σε καρτεσιανό επίπεδο

Ένα καρτεσιανό γράφημα είναι ένα γράφημα που μπορεί να εμφανιστεί σε καρτεσιανό επίπεδο. Δείχνουν σημεία σε ένα καρτεσιανό γράφημα που μπορούν να εκφραστούν ως προς τη γραμμική σχέση τους μεταξύ τους.

Η γραφική παράσταση γραμμής είναι ο πιο βασικός τύπος γραφήματος/γραφήματος που δημιουργείται σε καρτεσιανό επίπεδο. Χρησιμοποιείται για την οπτικοποίηση του τρόπου με τον οποίο δύο μεταβλητές σχετίζονται μεταξύ τους, όπως το πώς μια ποσότητα αλλάζει με το χρόνο. Μια γραφική παράσταση γραμμής έχει μια σειρά από σημεία που παρέχουν σχετικές πληροφορίες σχετικά με το πώς αλλάζει μια μεταβλητή σε σχέση με μια άλλη μεταβλητή. Στη συνέχεια, τα τμήματα γραμμής χρησιμοποιούνται για τη σύνδεση των σημείων και την εμφάνιση μιας τάσης.

Ένας άλλος κοινός τύπος γραφήματος είναι ένα διάγραμμα διασποράς, το οποίο δείχνει μεμονωμένες περιπτώσεις/εμφανίσεις δύο διαφορετικών μεταβλητών για ένα δεδομένο σύνολο δεδομένων. Χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό των σχέσεων μεταξύ δύο ποσοτικών μεταβλητών, εάν υπάρχει κάποια σχέση.