Εισαγωγή στα διανυσματικά μαθηματικά

Αυτή είναι μια βασική, αν και ελπίζουμε αρκετά ολοκληρωμένη, εισαγωγή στην εργασία με διανύσματα. Τα διανύσματα εκδηλώνονται με μεγάλη ποικιλία τρόπων από μετατόπιση, ταχύτητα και επιτάχυνση έως δυνάμεις και πεδία. Αυτό το άρθρο είναι αφιερωμένο στα μαθηματικά των διανυσμάτων. Η εφαρμογή τους σε συγκεκριμένες περιπτώσεις θα εξεταστεί αλλού.

Διανύσματα και κλιμακωτές

Μια διανυσματική ποσότητα , ή διάνυσμα , παρέχει πληροφορίες όχι μόνο για το μέγεθος αλλά και για την κατεύθυνση της ποσότητας. Όταν δίνετε οδηγίες σε ένα σπίτι, δεν αρκεί να πείτε ότι είναι 10 μίλια μακριά, αλλά πρέπει επίσης να παρέχεται η κατεύθυνση αυτών των 10 μιλίων για να είναι χρήσιμες οι πληροφορίες. Οι μεταβλητές που είναι διανύσματα θα υποδεικνύονται με μια μεταβλητή με έντονη γραφή, αν και είναι σύνηθες να βλέπουμε διανύσματα που συμβολίζονται με μικρά βέλη πάνω από τη μεταβλητή.

Όπως δεν λέμε ότι ο άλλος οίκος είναι -10 μίλια μακριά, το μέγεθος ενός διανύσματος είναι πάντα ένας θετικός αριθμός, ή μάλλον η απόλυτη τιμή του "μήκους" του διανύσματος (αν και η ποσότητα μπορεί να μην είναι μήκος, μπορεί να είναι ταχύτητα, επιτάχυνση, δύναμη κ.λπ.) Ένα αρνητικό μπροστά από ένα διάνυσμα δεν υποδηλώνει αλλαγή στο μέγεθος, αλλά μάλλον στην κατεύθυνση του διανύσματος.

Στα παραπάνω παραδείγματα, η απόσταση είναι η κλιμακωτή ποσότητα (10 μίλια) αλλά η μετατόπιση είναι η διανυσματική ποσότητα (10 μίλια βορειοανατολικά). Ομοίως, η ταχύτητα είναι ένα βαθμωτό μέγεθος ενώ η ταχύτητα είναι ένα διανυσματικό μέγεθος.

Ένα διάνυσμα μονάδας είναι ένα διάνυσμα που έχει μέγεθος ένα. Ένα διάνυσμα που αντιπροσωπεύει ένα διάνυσμα μονάδας είναι συνήθως επίσης με έντονη γραφή, αν και θα έχει ένα καράτι (^ ) πάνω από αυτό για να υποδείξει τη μοναδιαία φύση της μεταβλητής. Το μοναδιαίο διάνυσμα x , όταν γράφεται με ένα καράτι, γενικά διαβάζεται ως "x-hat" επειδή το καράτι μοιάζει με καπέλο στη μεταβλητή.

Το διάνυσμα μηδέν , ή μηδενικό διάνυσμα , είναι ένα διάνυσμα με μέγεθος μηδέν. Γράφεται ως 0 σε αυτό το άρθρο.

Διανυσματικά στοιχεία

Τα διανύσματα είναι γενικά προσανατολισμένα σε ένα σύστημα συντεταγμένων, το πιο δημοφιλές από τα οποία είναι το δισδιάστατο καρτεσιανό επίπεδο. Το καρτεσιανό επίπεδο έχει έναν οριζόντιο άξονα που φέρει την ένδειξη x και έναν κατακόρυφο άξονα με την ένδειξη y. Ορισμένες προηγμένες εφαρμογές των διανυσμάτων στη φυσική απαιτούν τη χρήση ενός τρισδιάστατου χώρου, στον οποίο οι άξονες είναι x, y και z. Αυτό το άρθρο θα ασχοληθεί κυρίως με το δισδιάστατο σύστημα, αν και οι έννοιες μπορούν να επεκταθούν με λίγη προσοχή σε τρεις διαστάσεις χωρίς πολύ κόπο.

Τα διανύσματα σε συστήματα συντεταγμένων πολλαπλών διαστάσεων μπορούν να χωριστούν στα διανύσματα συστατικών τους . Στη δισδιάστατη περίπτωση, αυτό έχει ως αποτέλεσμα ένα x-component και ένα y-component . Όταν χωρίζουμε ένα διάνυσμα στα συστατικά του, το διάνυσμα είναι ένα άθροισμα των συστατικών:

F =F_x + F_y

θήτα F_x F_y Φι

F_x / F =cos θήτα και F_y / F =αμαρτία θήτα που μας δίνει
F_x =F cos θήτα και F_y =F αμαρτία θήτα

Σημειώστε ότι οι αριθμοί εδώ είναι τα μεγέθη των διανυσμάτων. Γνωρίζουμε την κατεύθυνση των συστατικών, αλλά προσπαθούμε να βρούμε το μέγεθός τους, επομένως αφαιρούμε τις πληροφορίες κατεύθυνσης και εκτελούμε αυτούς τους βαθμωτούς υπολογισμούς για να καταλάβουμε το μέγεθος. Περαιτέρω εφαρμογή της τριγωνομετρίας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση άλλων σχέσεων (όπως η εφαπτομένη) που σχετίζονται μεταξύ ορισμένων από αυτές τις ποσότητες, αλλά νομίζω ότι αυτό είναι αρκετό προς το παρόν.

Για πολλά χρόνια, τα μόνα μαθηματικά που μαθαίνει ένας μαθητής είναι τα βαθμωτά μαθηματικά. Εάν ταξιδεύετε 5 μίλια βόρεια και 5 μίλια ανατολικά, έχετε ταξιδέψει 10 μίλια. Η προσθήκη βαθμωτών ποσοτήτων αγνοεί όλες τις πληροφορίες σχετικά με τις οδηγίες.

Τα διανύσματα χειραγωγούνται κάπως διαφορετικά. Η κατεύθυνση πρέπει πάντα να λαμβάνεται υπόψη κατά τον χειρισμό τους.

Προσθήκη στοιχείων

Όταν προσθέτετε δύο διανύσματα, είναι σαν να πήρατε τα διανύσματα και να τα τοποθετήσετε από άκρη σε άκρη και δημιουργήσατε ένα νέο διάνυσμα που τρέχει από το σημείο εκκίνησης μέχρι το τελικό σημείο. Εάν τα διανύσματα έχουν την ίδια κατεύθυνση, τότε αυτό σημαίνει απλώς την προσθήκη των μεγεθών, αλλά εάν έχουν διαφορετικές κατευθύνσεις, μπορεί να γίνει πιο πολύπλοκο.

Μπορείτε να προσθέσετε διανύσματα σπάζοντας τα στα συστατικά τους και στη συνέχεια προσθέτοντας τα στοιχεία, όπως παρακάτω:

a + β =c
a_x + a_y + b_x + b_y =
( a_x + b_x ) + ( a_y + b_y ) =c_x + γ_y

Οι δύο συνιστώσες x θα έχουν ως αποτέλεσμα τη συνιστώσα x της νέας μεταβλητής, ενώ οι δύο συνιστώσες y καταλήγουν στη συνιστώσα y της νέας μεταβλητής.

Ιδιότητες πρόσθεσης διανύσματος

Η σειρά με την οποία προσθέτετε τα διανύσματα δεν έχει σημασία. Στην πραγματικότητα, αρκετές ιδιότητες από τη βαθμωτή πρόσθεση ισχύουν για την προσθήκη διανύσματος:

Ιδιότητα ταυτότητας προσθήκης διανύσματος
αν + 0 =α
Αντίστροφη ιδιότητα πρόσθεσης διανύσματος
αν + -α =a - α =0
Ανακλαστική ιδιότητα πρόσθεσης διανύσματος
αν =α
Μεταθετική ιδιότητα πρόσθεσης διανύσματος
αν + β =β + α
Συνειρμική ιδιότητα πρόσθεσης διανυσμάτων
(α + β ) + γ =a + (β + γ )
Μεταβατική ιδιότητα πρόσθεσης διανυσμάτων
Αν a =β και γ =β , μετά a =γ

Η απλούστερη πράξη που μπορεί να γίνει σε ένα διάνυσμα είναι να πολλαπλασιαστεί με ένα βαθμωτό. Αυτός ο κλιμακωτός πολλαπλασιασμός μεταβάλλει το μέγεθος του διανύσματος. Με άλλα λόγια, κάνει το διάνυσμα μεγαλύτερο ή μικρότερο.

Όταν πολλαπλασιάζεται επί ενός αρνητικού βαθμωτή, το διάνυσμα που προκύπτει θα δείχνει προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Το κλιμακωτό προϊόν δύο διανυσμάτων είναι ένας τρόπος να τα πολλαπλασιάσουμε μαζί για να λάβουμε μια κλιμακωτή ποσότητα. Αυτό γράφεται ως πολλαπλασιασμός των δύο διανυσμάτων, με μια τελεία στη μέση που αντιπροσωπεύει τον πολλαπλασιασμό. Ως εκ τούτου, ονομάζεται συχνά προϊόν με κουκκίδες δύο διανυσμάτων.

Για να υπολογίσετε το γινόμενο κουκίδων δύο διανυσμάτων, λαμβάνετε υπόψη τη γωνία μεταξύ τους. Με άλλα λόγια, εάν μοιράζονταν το ίδιο σημείο εκκίνησης, ποια θα ήταν η μέτρηση της γωνίας (θήτα ) μεταξυ τους. Το προϊόν με κουκκίδες ορίζεται ως:

a * β =ab cos θήτα

ab αββά

Σε περιπτώσεις που τα διανύσματα είναι κάθετα (ή θήτα =90 μοίρες), cos θήτα θα είναι μηδέν. Επομένως, το γινόμενο κουκίδων των κάθετων διανυσμάτων είναι πάντα μηδέν . Όταν τα διανύσματα είναι παράλληλα (ή θήτα =0 μοίρες), cos θήτα είναι 1, οπότε το βαθμωτό γινόμενο είναι απλώς το γινόμενο των μεγεθών.

Αυτά τα απλά μικρά στοιχεία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αποδείξουν ότι, αν γνωρίζετε τα συστατικά, μπορείτε να εξαλείψετε την ανάγκη για θήτα εντελώς με τη (δισδιάστατη) εξίσωση:

a * β =a_x b_x + a_y b_y

Το διανυσματικό προϊόν γράφεται με τη μορφή a x β , και συνήθως ονομάζεται διασταυρωμένο προϊόν δύο διανυσμάτων. Σε αυτή την περίπτωση, πολλαπλασιάζουμε τα διανύσματα και αντί να πάρουμε μια κλιμακωτή ποσότητα, θα πάρουμε μια διανυσματική ποσότητα. Αυτός είναι ο πιο δύσκολος από τους διανυσματικούς υπολογισμούς με τους οποίους θα ασχοληθούμε, καθώς δεν ανταλλακτική και περιλαμβάνει τη χρήση του επίφοβου κανόνα του δεξιού χεριού , στο οποίο θα φτάσω σύντομα.

Υπολογισμός του μεγέθους

Και πάλι, θεωρούμε δύο διανύσματα σχεδιασμένα από το ίδιο σημείο, με τη γωνία θήτα μεταξυ τους. Παίρνουμε πάντα τη μικρότερη γωνία, άρα θήτα θα είναι πάντα σε μια περιοχή από 0 έως 180 και το αποτέλεσμα, επομένως, δεν θα είναι ποτέ αρνητικό. Το μέγεθος του διανύσματος που προκύπτει προσδιορίζεται ως εξής:

Εάν γ =a x β , μετά c =ab αμαρτία θήτα

Το διανυσματικό γινόμενο των παράλληλων (ή αντιπαράλληλων) διανυσμάτων είναι πάντα μηδέν

Κατεύθυνση του διανύσματος

Το διανυσματικό γινόμενο θα είναι κάθετο στο επίπεδο που δημιουργείται από αυτά τα δύο διανύσματα. Αν φανταστείτε ότι το επίπεδο είναι επίπεδο σε ένα τραπέζι, το ερώτημα είναι εάν το διάνυσμα που προκύπτει ανεβαίνει (το "εκτός" του πίνακα, από τη δική μας οπτική γωνία) ή προς τα κάτω (ή "μέσα" στο τραπέζι, από τη δική μας οπτική γωνία).

Ο επίφοβος κανόνας του δεξιού χεριού

Για να το καταλάβετε αυτό, πρέπει να εφαρμόσετε αυτό που ονομάζεται κανόνας του δεξιού χεριού . Όταν σπούδασα φυσική στο σχολείο, μισούσα ο κανόνας του δεξιού χεριού. Κάθε φορά που το χρησιμοποιούσα, έπρεπε να βγάζω το βιβλίο για να ψάξω πώς λειτουργούσε. Ας ελπίσουμε ότι η περιγραφή μου θα είναι λίγο πιο διαισθητική από αυτή στην οποία γνώρισα.

Εάν έχετε α x β θα τοποθετήσετε το δεξί σας χέρι κατά μήκος του b έτσι ώστε τα δάχτυλά σας (εκτός από τον αντίχειρα) να μπορούν να κυρτώνουν και να δείχνουν κατά μήκος του a . Με άλλα λόγια, προσπαθείτε να κάνετε τη γωνία θήτα ανάμεσα στην παλάμη και τα τέσσερα δάχτυλα του δεξιού σας χεριού. Ο αντίχειρας, σε αυτήν την περίπτωση, θα κολλήσει ευθεία προς τα επάνω (ή έξω από την οθόνη, αν προσπαθήσετε να το κάνετε μέχρι τον υπολογιστή). Οι αρθρώσεις σας θα είναι κατά προσέγγιση ευθυγραμμισμένες με το σημείο εκκίνησης των δύο διανυσμάτων. Η ακρίβεια δεν είναι απαραίτητη, αλλά θέλω να έχετε την ιδέα μιας και δεν έχω να δώσω εικόνα για αυτό.

Εάν, ωστόσο, σκέφτεστε να β x a , θα κάνεις το αντίθετο. Θα βάλετε το δεξί σας χέρι κατά μήκος του a και στρέψτε τα δάχτυλά σας κατά μήκος του b . Αν προσπαθήσετε να το κάνετε αυτό στην οθόνη του υπολογιστή, θα το βρείτε αδύνατο, γι' αυτό χρησιμοποιήστε τη φαντασία σας. Θα διαπιστώσετε ότι, σε αυτήν την περίπτωση, ο ευφάνταστος αντίχειράς σας δείχνει προς την οθόνη του υπολογιστή. Αυτή είναι η κατεύθυνση του διανύσματος που προκύπτει.

Ο κανόνας του δεξιού χεριού δείχνει την ακόλουθη σχέση:

a x β =- β x a

cabc

c_x =a_y b_z - a_z b_y
c_y =a_z b_x - a_x b_z
c_z =a_x b_y - a_y b_x

ab c_x c_y γ

Τελικές λέξεις

Σε υψηλότερα επίπεδα, η εργασία με τα διανύσματα μπορεί να γίνει εξαιρετικά πολύπλοκη. Ολόκληρα μαθήματα στο κολέγιο, όπως η γραμμική άλγεβρα, αφιερώνουν πολύ χρόνο σε πίνακες (που ευγενικά απέφυγα σε αυτήν την εισαγωγή), διανύσματα και διανυσματικά κενά . Αυτό το επίπεδο λεπτομέρειας είναι πέρα ​​από το πεδίο εφαρμογής αυτού του άρθρου, αλλά αυτό θα πρέπει να παρέχει τα θεμέλια που είναι απαραίτητα για το μεγαλύτερο μέρος του χειρισμού διανύσματος που εκτελείται στην τάξη φυσικής. Εάν σκοπεύετε να μελετήσετε τη φυσική σε μεγαλύτερο βάθος, θα μυηθείτε στις πιο περίπλοκες διανυσματικές έννοιες καθώς προχωράτε στην εκπαίδευσή σας.