Μεταβλητές κίνησης

Μεταβλητές κίνησης

Για να περιγράψουμε τη γενική κατάσταση της κίνησης ενός φυσικού συστήματος, χρησιμοποιούμε τις εξισώσεις κίνησης. Γενικά, η εξίσωση της κίνησης διέπεται από τις τέσσερις κύριες μεταβλητές της θέσης, του χρόνου, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης.

Για παράδειγμα, στην περίπτωση κίνησης απλού εκκρεμούς, η εξίσωση κίνησης απλού εκκρεμούς δίνεται από,

(d2θ/dt2)+ (g/L)θ =0

Εδώ το θ αντιπροσωπεύει τη θέση, το t αντιπροσωπεύει το χρόνο και το g αντιπροσωπεύει την επιτάχυνση.

Τώρα ας ρίξουμε μια ματιά σε αυτές τις μεταβλητές ξεχωριστά.

Θέση 

Η θέση μας λέει πού βρίσκεται ένα αντικείμενο ή μια ποσότητα στο διάστημα. Χρησιμοποιούμε το σύστημα συντεταγμένων για να παρέχουμε μια διεύθυνση για ένα σημείο στο χώρο. Χρησιμοποιούμε γενικά το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων για να περιγράψουμε τη θέση. Μπορούμε όμως να χρησιμοποιήσουμε άλλα συστήματα συντεταγμένων όπως το σύστημα πολικών συντεταγμένων για τον δισδιάστατο χώρο, το κυλινδρικό και σφαιρικό σύστημα πολικών συντεταγμένων για τον τρισδιάστατο χώρο. Επιλέγουμε τις συντεταγμένες ανάλογα με την ευκολία μας.

Γνωρίζουμε ότι ένα αντικείμενο έχει μετακινηθεί στο διάστημα όταν η συντεταγμένη θέσης του αντικειμένου έχει αλλάξει στο χρόνο. Αυτή η αλλαγή στη θέση θα έχει ως αποτέλεσμα τη μετατόπιση του σώματος.

Αυτή η μετατόπιση μπορεί να περιγραφεί ως το διανυσματικό άθροισμα της αλλαγής στο διάνυσμα θέσης.

Η μετατόπιση δεν εξαρτάται από τη διαδρομή της κίνησης. εξαρτάται μόνο από τις τελικές συντεταγμένες. Αλλά αν ταξιδεύουμε κατά μήκος ενός κύκλου, τότε φτάνουμε στην αρχική μας θέση σε κάποιο χρονικό διάστημα. Μόλις φτάσουμε σε αυτή τη θέση, η συνολική μετατόπιση θα είναι μηδέν, αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι δεν έχουμε ταξιδέψει. Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιούμε τον όρο απόσταση. Η απόσταση εξαρτάται από τη διαδρομή κατά την οποία έχει κινηθεί το αντικείμενο. Εδώ, στην περίπτωση της κυκλικής κίνησης, έχουμε τη μετατόπιση μηδέν, αλλά η διανυθείσα απόσταση θα γίνει τώρα 2πr, με το r να είναι η ακτίνα.

Ώρα

Ο χρόνος είναι η ποσότητα που καθορίζει την κατεύθυνση μιας ακολουθίας ύπαρξης και γεγονότων. Η κατεύθυνσή του δίνεται από την αλλαγή της εντροπίας. Ο χρόνος κινείται προς τα εμπρός προς την κατεύθυνση στην οποία αυξάνεται η εντροπία.

Η έννοια του χρόνου χρησιμοποιείται για την εύρεση των άλλων μεταβλητών κίνησης. Αν διαιρέσουμε το διάνυσμα θέσης με το χρόνο, παίρνουμε ταχύτητα, και αν διαιρέσουμε ξανά, έχουμε επιτάχυνση. Σύμφωνα με τη Νευτώνεια μηχανική, ο χρόνος είναι απόλυτος – είναι ο ίδιος παντού.

Σημείωση:Σύμφωνα με τη θεωρία της Γενικής Σχετικότητας του Αϊνστάιν, ο χρόνος δεν είναι απόλυτος, αλλά μάλλον, ο χρόνος και ο χώρος είναι ένα πράγμα που ονομάζεται χωροχρόνος. Ο χρόνος μπορεί να διαφέρει ανάλογα με το πλαίσιο αναφοράς που επιλέγουμε.

Ταχύτητα

Η ταχύτητα μπορεί να οριστεί ως ο ρυθμός μεταβολής ενός διανύσματος θέσης σε σχέση με ένα πλαίσιο αναφοράς. Είναι διανυσματική ποσότητα. Για παράδειγμα, αν έχουμε ένα σώμα του οποίου το διάνυσμα θέσης δίνεται με r, μπορούμε να πάρουμε την τιμή της ταχύτητας διαιρώντας την με το χρόνο.

Ως εκ τούτου, v =r/t 

Αλλά αυτός ο τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο όταν ο ρυθμός μεταβολής του r είναι σταθερός στο χρόνο. Για τις περιπτώσεις όπου ο ρυθμός μεταβολής του r δεν είναι σταθερός στο χρόνο, χρησιμοποιούμε τη στιγμιαία τιμή της ταχύτητας, η οποία δίνεται από,

v =dr/dt

Εδώ, το διάνυσμα θέσης διαφοροποιείται χρονικά.

Τώρα, έστω r =xi + yj + zk

Στη συνέχεια, η ταχύτητα εάν δίνεται από, v =(dx/dt)i + (dy/dt) j + (dz/dt)k

Τώρα ας βγάλουμε το μέγεθος αυτής της διανυσματικής ποσότητας, 

v =((dx/dt)2 + (dy/dt)2 + (dz/dt )2)1/2 

Αυτή η ποσότητα ονομάζεται ταχύτητα του σώματος. Είναι μια κλιμακωτή ποσότητα.

Σημείωση:Αν θέλουμε να βρούμε την τιμή της μέσης ταχύτητας, βρίσκουμε τη συνολική μετατόπιση σε μια χρονική περίοδο και διαιρούμε αυτήν τη χρονική περίοδο.

Τώρα για περιπτώσεις κυκλικής κίνησης, χρησιμοποιούμε μια άλλη εξίσωση για την ταχύτητα, η οποία δίνεται από,

v =(dr/dt)r + r(dθ/dt)θ 

Εδώ r και θ είναι οι συντεταγμένες θέσης στην πολική τους μορφή.

Τώρα η τιμή της ταχύτητας μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ορίσουμε μια άλλη ποσότητα που ονομάζεται ροπή, την οποία λαμβάνουμε πολλαπλασιάζοντας την ταχύτητα με τη μάζα του σώματος. Μερικές φορές χρησιμοποιούμε την ορμή ως μεταβλητή κίνησης στη δυναμική Χαμιλτονιανή και Λαγκρανζ.

Τώρα, αυτή η τιμή της ταχύτητας μπορεί να μην είναι πάντα σταθερή στο χρόνο. Επομένως, ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας θα οδηγήσει σε μια ποσότητα που ονομάζεται επιτάχυνση.

Επιτάχυνση

Η επιτάχυνση μπορεί να οριστεί ως ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας στο χρόνο. Είναι μια διανυσματική ποσότητα.

Η επιτάχυνση μπορεί να αναπαρασταθεί στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ως,

a =(d2x/dt2)i + (d2y/dt2)j + (d2z/dt2) k

Αυτό θα μας δώσει τη στιγμιαία τιμή της επιτάχυνσης. Για να βρούμε την τιμή της μέσης επιτάχυνσης, βρίσκουμε τη μεταβολή της ταχύτητας κατά τη διάρκεια μιας χρονικής περιόδου και τη διαιρούμε με αυτή τη χρονική περίοδο. Αυτό δίνεται από, a =(vf – vi)/Δt

Για περιπτώσεις που περιλαμβάνουν κυκλική κίνηση, χρησιμοποιούμε τις πολικές συντεταγμένες για να βρούμε την τιμή της επιτάχυνσης. Αυτό δίνεται από,

a =(d2r/dt2 – r(dθ/dt)2)r + (2(dr/dt)(dθ/dt) + r(d2θ/dt2))θ

Αν τώρα πολλαπλασιάσουμε την επιτάχυνση με τη μάζα του σώματος, παίρνουμε δύναμη σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα.

Σημείωση:Όλες οι μεταβλητές που δίνονται εδώ μετρώνται σε ένα αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς. Εάν το πλαίσιο αναφοράς επιταχυνθεί, τότε θα πρέπει να τροποποιήσουμε όλες τις παραπάνω εξισώσεις για να λάβουμε υπόψη τις ψευδοδυνάμεις και τη δυναμική τους.

Συμπέρασμα

Οι μεταβλητές κίνησης είναι εκείνες οι μεταβλητές που χρησιμοποιούνται για να αναπαραστήσουν τις εξισώσεις κίνησης. Είναι η θέση, ο χρόνος, η ταχύτητα και η επιτάχυνση. Μερικές φορές, χρησιμοποιούμε θέση και ορμή για εξισώσεις κίνησης. Χρησιμοποιούμε το σύστημα συντεταγμένων για να αναπαραστήσουμε τη θέση. Αν βρούμε τη μεταβολή του ρυθμού της συντεταγμένης θέσης, παίρνουμε την ταχύτητα και αν βρούμε το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας, τότε παίρνουμε την επιτάχυνση.