Πρόβλημα παραδείγματος δυναμικής και κινητικής ενέργειας – Παραδείγματα εργασίας και ενέργειας

Η δυναμική ενέργεια είναι η ενέργεια που αποδίδεται σε ένα αντικείμενο λόγω της θέσης του. Όταν αλλάζει η θέση, η συνολική ενέργεια παραμένει αμετάβλητη αλλά κάποια δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια. Το τρενάκι του λούνα παρκ χωρίς τριβή είναι ένα κλασικό παράδειγμα δυναμικού και κινητικής ενέργειας.

Το πρόβλημα του τρενάκι του λούνα παρκ δείχνει πώς να χρησιμοποιήσετε τη διατήρηση της ενέργειας για να βρείτε την ταχύτητα ή τη θέση ή ένα καρότσι σε μια τροχιά χωρίς τριβές με διαφορετικά ύψη. Η συνολική ενέργεια του καροτσιού εκφράζεται ως άθροισμα της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας και της κινητικής του ενέργειας. Αυτή η συνολική ενέργεια παραμένει σταθερή σε όλο το μήκος της διαδρομής.

Πρόβλημα παραδείγματος δυναμικού και κινητικής ενέργειας

Ερώτηση:

Ένα καρότσι ταξιδεύει κατά μήκος μιας τροχιάς τρενάκι χωρίς τριβές. Στο σημείο Α, το κάρο βρίσκεται 10 m πάνω από το έδαφος και κινείται με 2 m/s.
Α) Ποια είναι η ταχύτητα στο σημείο Β όταν το κάρο φτάνει στο έδαφος;
Β) Ποια είναι η ταχύτητα του καροτσιού στο σημείο Γ όταν το καρότσι φτάσει σε ύψος 3 m;
Γ) Ποιο είναι το μέγιστο ύψος που μπορεί να φτάσει το καρότσι πριν σταματήσει το καλάθι;

Λύση:

Η συνολική ενέργεια του καροτσιού εκφράζεται από το άθροισμα της δυναμικής ενέργειας και της κινητικής του ενέργειας.

Η δυναμική ενέργεια ενός αντικειμένου σε ένα βαρυτικό πεδίο εκφράζεται με τον τύπο

PE =mgh

όπου
Το ΡΕ είναι η δυνητική ενέργεια
m είναι η μάζα του αντικειμένου
g είναι η επιτάχυνση λόγω βαρύτητας =9,8 m/s
h είναι το ύψος πάνω από τη μετρούμενη επιφάνεια.

Η κινητική ενέργεια είναι η ενέργεια του αντικειμένου σε κίνηση. Εκφράζεται με τον τύπο

KE =½mv

όπου
Η ΚΕ είναι η κινητική ενέργεια
m είναι η μάζα του αντικειμένου
v είναι η ταχύτητα του αντικειμένου.

Η συνολική ενέργεια του συστήματος διατηρείται σε οποιοδήποτε σημείο του συστήματος. Η συνολική ενέργεια είναι το άθροισμα της δυναμικής ενέργειας και της κινητικής ενέργειας.

Σύνολο Ε =ΚΕ + ΠΕ

Για να βρούμε την ταχύτητα ή τη θέση, πρέπει να βρούμε αυτή τη συνολική ενέργεια. Στο σημείο Α, γνωρίζουμε και την ταχύτητα και τη θέση του καροτσιού.

Σύνολο Ε =ΚΕ + ΠΕ
Σύνολο E =½mv + mgh
Σύνολο E =½m(2 m/s) + m(9,8 m/s)(10 m)
Σύνολο E =½m(4 m/s) + m(98 m/s)
Σύνολο E =m(2 m/s) + m(98 m/s)
Σύνολο E =m(100 m/s)

Μπορούμε να αφήσουμε την τιμή μάζας όπως φαίνεται προς το παρόν. Καθώς ολοκληρώνουμε κάθε μέρος, θα δείτε τι συμβαίνει με αυτήν τη μεταβλητή.

Μέρος Α:

Το καρότσι βρίσκεται στο επίπεδο του εδάφους στο σημείο Β, οπότε h =0 m.

Σύνολο E =½mv + mgh
Σύνολο E =½mv + mg(0 m)
Σύνολο E =½mv

Όλη η ενέργεια σε αυτό το σημείο είναι κινητική ενέργεια. Εφόσον η συνολική ενέργεια διατηρείται, η συνολική ενέργεια στο σημείο Β είναι ίδια με τη συνολική ενέργεια στο σημείο Α.

Σύνολο Ε στο Α =Ολική Ενέργεια στο Β
m(100 m/s) =½mv

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με m
100 m/s =½v

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές επί 2
200 m/s =v

v =14,1 m/s

Η ταχύτητα στο σημείο Β είναι 14,1 m/s.

Μέρος Β:

Στο σημείο Γ, γνωρίζουμε μόνο μια τιμή για το h (h =3 m).

Σύνολο E =½mv + mgh
Σύνολο E =½mv + mg(3 m)

Όπως και πριν, η συνολική ενέργεια διατηρείται. Ολική ενέργεια στο A =συνολική ενέργεια στο C.

m(100 m/s) =½mv + m(9,8 m/s) (3 m)
m(100 m/s) =½mv + m(29,4 m/s)

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με m

100 m/s =½v + 29,4 m/s
½v =(100 – 29,4) m/s
½v =70,6 m/s
v =141,2 m/s
v =11,9 m/s

Η ταχύτητα στο σημείο C είναι 11,9 m/s.

Μέρος Γ:

Το καλάθι θα φτάσει στο μέγιστο ύψος του όταν σταματήσει το καρότσι ή v =0 m/s.

Σύνολο E =½mv + mgh
Σύνολο E =½m(0 m/s) + mgh
Σύνολο E =mgh

Εφόσον η συνολική ενέργεια διατηρείται, η συνολική ενέργεια στο σημείο Α είναι ίδια με τη συνολική ενέργεια στο σημείο Δ.

m(100 m/s) =mgh

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με m

100 m/s =gh

100 m/s =(9,8 m/s) h

h =10,2 m

Το μέγιστο ύψος του καροτσιού είναι 10,2 m.

Απαντήσεις:

Α) Η ταχύτητα του καροτσιού στο επίπεδο του εδάφους είναι 14,1 m/s.
Β) Η ταχύτητα του καροτσιού σε ύψος 3 m είναι 11,9 m/s.
Γ) Το μέγιστο ύψος του καροτσιού είναι 10,2 m.

Αυτός ο τύπος προβλήματος έχει ένα βασικό σημείο:η συνολική ενέργεια διατηρείται σε όλα τα σημεία του συστήματος. Εάν γνωρίζετε τη συνολική ενέργεια σε ένα σημείο, γνωρίζετε τη συνολική ενέργεια σε όλα τα σημεία.