Το χάος κάνει το Πολυσύμπαν περιττό

Οι επιστήμονες κοιτάζουν γύρω από το σύμπαν και βλέπουν καταπληκτική δομή. Υπάρχουν αντικείμενα και διαδικασίες φανταστικής πολυπλοκότητας. Κάθε δράση στο σύμπαν μας ακολουθεί ακριβείς νόμους της φύσης που εκφράζονται τέλεια σε μια μαθηματική γλώσσα. Αυτοί οι νόμοι της φύσης φαίνονται καλά συντονισμένοι για να επιφέρουν ζωή, και ειδικότερα, ευφυή ζωή. Τι ακριβώς είναι αυτοί οι νόμοι της φύσης και πώς τους βρίσκουμε;

Το σύμπαν είναι τόσο δομημένο και τακτοποιημένο που το συγκρίνουμε με τα πιο περίπλοκα και ακριβή τεχνάσματα της εποχής. Τον 18ο και τον 19ο αιώνα, το σύμπαν συγκρίθηκε με ένα ρολόι ή ρολόι που λειτουργεί τέλεια. Στη συνέχεια, οι φιλόσοφοι συζήτησαν για τον Ωρολογοποιό. Τον 20ο και τον 21ο αιώνα, το πιο περίπλοκο αντικείμενο είναι ένας υπολογιστής. Το σύμπαν συγκρίνεται με έναν υπερυπολογιστή που λειτουργεί τέλεια. Οι ερευνητές ρωτούν πώς αυτός ο υπολογιστής πήρε τον προγραμματισμό του.

Πώς εξηγεί κανείς όλη αυτή τη δομή; Γιατί οι νόμοι φαίνονται τόσο τέλειοι για την παραγωγή ζωής και γιατί εκφράζονται με τόσο ακριβή μαθηματική γλώσσα; Είναι πραγματικά το σύμπαν τόσο δομημένο όσο φαίνεται;

Μια απάντηση σε μερικά από αυτά τα ερωτήματα είναι ο Πλατωνισμός (ή ο εξάδελφός του Ρεαλισμός). Αυτή είναι η πεποίθηση ότι οι νόμοι της φύσης είναι αντικειμενικοί και υπήρχαν πάντα. Έχουν μια ακριβή ιδανική μορφή που υπάρχει στο βασίλειο του Πλάτωνα. Αυτοί οι νόμοι είναι σε τέλεια κατάσταση και έχουν σχηματίσει το σύμπαν που βλέπουμε γύρω μας. Όχι μόνο υπάρχουν οι νόμοι της φύσης σε αυτό το βασίλειο, αλλά ζουν μαζί με όλα τα τέλεια διαμορφωμένα μαθηματικά. Αυτό υποτίθεται ότι εξηγεί γιατί οι νόμοι είναι γραμμένοι στη γλώσσα των μαθηματικών.

Ο πλατωνισμός αφήνει πολλά να είναι επιθυμητά. Το κύριο πρόβλημα είναι ότι ο πλατωνισμός είναι μεταφυσική, όχι επιστήμη. Ωστόσο, ακόμα κι αν το δεχόμασταν ως αληθινό, παραμένουν πολλά ερωτηματικά. Γιατί αυτός ο πλατωνικός κόσμος έχει αυτούς τους νόμους, που φέρνουν ευφυή ζωή στο σύμπαν, παρά άλλους νόμους; Πώς ήταν στημένη αυτή η πλατωνική σοφίτα; Γιατί το φυσικό μας σύμπαν ακολουθεί αυτούς τους αιθέριους κανόνες; Πώς οι επιστήμονες και οι μαθηματικοί αποκτούν πρόσβαση στο μικρό σεντούκι με ακριβή ιδανικά του Πλάτωνα;

Το multiverse είναι μια άλλη απάντηση που πρόσφατα έχει γίνει αρκετά της μόδας. Αυτή η θεωρία είναι μια προσπάθεια να εξηγήσει γιατί το σύμπαν μας έχει τους ζωογόνους νόμους που έχει. Αυτός που πιστεύει σε ένα πολυσύμπαν υποστηρίζει ότι το σύμπαν μας είναι απλώς ένα από τα πολλά σύμπαντα. Κάθε σύμπαν έχει το δικό του σύνολο κανόνων και τις δικές του πιθανές δομές που έρχονται μαζί με αυτούς τους κανόνες. Οι φυσικοί που προωθούν τη θεωρία του πολυσύμπαντος πιστεύουν ότι οι νόμοι σε κάθε σύμπαν είναι κάπως αυθαίρετοι. Ο λόγος που βλέπουμε δομές κατάλληλες για ζωή στο σύμπαν μας είναι ότι τυχαίνει να ζούμε σε ένα από τα ελάχιστα σύμπαντα που έχουν τέτοιους νόμους. Ενώ το πολυσύμπαν εξηγεί ορισμένες από τις δομές που βλέπουμε, υπάρχουν ερωτήματα που μένουν ανοιχτά. Αντί να ρωτάμε γιατί το σύμπαν έχει τη δομή που έχει, μπορούμε να απωθήσουμε την ερώτηση και να ρωτήσουμε γιατί το πολυσύμπαν έχει τη δομή που έχει. Ένα άλλο πρόβλημα είναι ότι ενώ το πολυσύμπαν θα απαντούσε σε μερικές από τις ερωτήσεις που θέσαμε αν υπήρχε, ποιος λέει ότι υπάρχει στην πραγματικότητα; Εφόσον οι περισσότεροι πιστεύουν ότι δεν έχουμε επαφή με πιθανά άλλα σύμπαντα, το ζήτημα της ύπαρξης του πολυσύμπαντος είναι ουσιαστικά μεταφυσική.

Υπάρχει μια άλλη, πιο ενδιαφέρουσα, εξήγηση για τη δομή των νόμων της φύσης. Αντί να πείτε ότι το σύμπαν είναι πολύ δομημένο, πείτε ότι το σύμπαν είναι κυρίως χαοτικό και ως επί το πλείστον στερείται δομής. Ο λόγος για τον οποίο βλέπουμε τη δομή που κάνουμε είναι ότι οι επιστήμονες ενεργούν σαν κόσκινο και εστιάζουν μόνο σε εκείνα τα φαινόμενα που έχουν δομή και είναι προβλέψιμα. Δεν λαμβάνουν υπόψη όλα τα φαινόμενα. Αντίθετα, επιλέγουν εκείνα τα φαινόμενα με τα οποία μπορούν να αντιμετωπίσουν.

Κάποιοι λένε ότι η επιστήμη μελετά όλα τα φυσικά φαινόμενα. Αυτό απλά δεν είναι αλήθεια. Το ποιος θα κερδίσει τις επόμενες προεδρικές εκλογές και θα μετακομίσει στον Λευκό Οίκο είναι ένα φυσικό ερώτημα που κανένας σκληρός επιστήμονας δεν θα τολμούσε να δώσει μια απόλυτη πρόβλεψη. Το αν ένας υπολογιστής θα σταματήσει ή όχι για μια δεδομένη είσοδο μπορεί να θεωρηθεί ως φυσική ερώτηση και ωστόσο μάθαμε από τον Alan Turing ότι αυτή η ερώτηση δεν μπορεί να απαντηθεί. Οι επιστήμονες έχουν ταξινομήσει τις γενικές υφές και τα ύψη διαφορετικών τύπων νεφών, αλλά, γενικά, δεν ενδιαφέρονται καθόλου για το ακριβές σχήμα ενός σύννεφου. Αν και το σχήμα είναι ένα φυσικό φαινόμενο, οι επιστήμονες δεν επιχειρούν καν να το μελετήσουν. Η επιστήμη δεν μελετά όλα τα φυσικά φαινόμενα. Μάλλον, η επιστήμη μελετά προβλέψιμα φυσικά φαινόμενα. Είναι σχεδόν ταυτολογία:η επιστήμη προβλέπει προβλέψιμα φαινόμενα.

Οι επιστήμονες έχουν περιγράψει τα κριτήρια για τα φαινόμενα που αποφασίζουν να μελετήσουν:Ονομάζεται συμμετρία. Η συμμετρία είναι η ιδιότητα που παρά το γεγονός ότι κάτι αλλάζει, υπάρχει κάποιο μέρος της που παραμένει ίδιο. Όταν λέτε ότι ένα πρόσωπο έχει συμμετρία, εννοείτε ότι αν η αριστερή πλευρά αντανακλάται και αντικατασταθεί με τη δεξιά πλευρά, θα εξακολουθεί να φαίνεται η ίδια. Όταν οι φυσικοί χρησιμοποιούν τη λέξη συμμετρία συζητούν συλλογές φυσικών φαινομένων. Ένα σύνολο φαινομένων έχει συμμετρία αν είναι το ίδιο μετά από κάποια αλλαγή. Το πιο προφανές παράδειγμα είναι η συμμετρία τοποθεσίας. Αυτό σημαίνει ότι εάν κάποιος πραγματοποιήσει το ίδιο πείραμα σε δύο διαφορετικά μέρη, τα αποτελέσματα θα πρέπει να είναι τα ίδια. Η συμμετρία του χρόνου σημαίνει ότι τα αποτελέσματα των πειραμάτων δεν πρέπει να εξαρτώνται από το πότε έγινε το πείραμα. Και, υπάρχουν πολλοί άλλοι τύποι συμμετρίας.

Τα φαινόμενα που επιλέγονται από επιστήμονες για μελέτη πρέπει να έχουν πολλούς διαφορετικούς τύπους συμμετρίας. Όταν ένας φυσικός βλέπει πολλά φαινόμενα, πρέπει πρώτα να προσδιορίσει αν αυτά τα φαινόμενα έχουν συμμετρία. Πραγματοποιεί πειράματα σε διαφορετικά μέρη και σε διαφορετικούς χρόνους. Εάν επιτύχει τα ίδια αποτελέσματα, στη συνέχεια τα μελετά για να βρει την υποκείμενη αιτία. Αντίθετα, αν τα πειράματά της δεν ήταν συμμετρικά, θα τα αγνοούσε.

Ενώ επιστήμονες όπως ο Γαλιλαίος και ο Νεύτωνας αναγνώρισαν τη συμμετρία στα φυσικά φαινόμενα, η δύναμη της συμμετρίας εκμεταλλεύτηκε για πρώτη φορά αληθινά τον Άλμπερτ Αϊνστάιν. Υπέθεσε ότι οι νόμοι της φυσικής πρέπει να είναι οι ίδιοι ακόμα κι αν ο πειραματιστής κινείται κοντά στην ταχύτητα του φωτός. Με αυτή τη συμμετρία κατά νου, μπόρεσε να συνθέσει τους νόμους της ειδικής σχετικότητας. Ο Αϊνστάιν ήταν ο πρώτος που κατάλαβε ότι η συμμετρία ήταν το καθοριστικό χαρακτηριστικό της φυσικής. Ό,τι έχει συμμετρία θα έχει νόμο της φύσης. Τα υπόλοιπα δεν είναι μέρος της επιστήμης.

Λίγο αφότου ο Αϊνστάιν έδειξε τη ζωτική σημασία της συμμετρίας για την επιστημονική προσπάθεια, η Emmy Noether απέδειξε ένα ισχυρό θεώρημα που καθιέρωσε μια σύνδεση μεταξύ της συμμετρίας και των νόμων διατήρησης. Αυτό σχετίζεται με τις σταθερές της φύσης, οι οποίες είναι κεντρικές για τη σύγχρονη φυσική. Και πάλι, εάν υπάρχει συμμετρία, τότε θα υπάρχουν νόμοι διατήρησης και σταθερές. Ο φυσικός πρέπει να είναι κόσκινο και να μελετά εκείνα τα φαινόμενα που έχουν συμμετρία και να επιτρέπει σε αυτά που δεν έχουν συμμετρία να γλιστρήσουν μέσα από τα δάχτυλά της.

Υπάρχουν μερικά προβλήματα με αυτή την εξήγηση της δομής που βρίσκεται στο σύμπαν. Πρώτον, φαίνεται ότι τα φαινόμενα που επιλέγουμε και που έχουν νόμους της φύσης είναι ακριβώς τα φαινόμενα που δημιουργούν όλα τα φαινόμενα. Οι νόμοι της σωματιδιακής φυσικής, της βαρύτητας και της κβαντικής θεωρίας έχουν συμμετρίες και μελετώνται από φυσικούς. Όλα τα φαινόμενα φαίνεται να προέρχονται από αυτές τις θεωρίες, ακόμη και εκείνα που δεν φαίνεται να έχουν συμμετρία. Έτσι, ενώ είναι πέρα ​​από την επιστήμη να καθορίσει ποιος θα είναι ο επόμενος πρόεδρος, αυτά τα φαινόμενα θα καθοριστούν από την κοινωνιολογία, η οποία καθορίζεται από την ψυχολογία, η οποία καθορίζεται από τη βιολογία των νευρώνων που εξαρτάται από τη χημεία που εξαρτάται από τη σωματιδιακή φυσική και την κβαντική μηχανική. Ο προσδιορισμός του νικητή μιας εκλογής είναι πολύ περίπλοκος για να τον αντιμετωπίσει ο επιστήμονας, αλλά τα αποτελέσματα των εκλογών δημιουργούνται από νόμους της φυσικής που αποτελούν μέρος της επιστήμης.

Παρά την αποτυχία της εξήγησής μας για τη δομή των νόμων της φύσης, πιστεύουμε ότι είναι ο καλύτερος υποψήφιος για να είναι το λύση. Είναι από τις μοναδικές λύσεις που δεν επικαλείται καμία μεταφυσική αρχή ή την ύπαρξη πλήθους αόρατων συμπάντων. Δεν χρειάζεται να ψάξουμε έξω από το σύμπαν για να βρούμε μια αιτία για τη δομή που βρίσκουμε στο σύμπαν. Αντιθέτως, κοιτάμε πώς βλέπουμε τα φαινόμενα.

Πριν προχωρήσουμε, θα πρέπει να επισημάνουμε ότι η λύση μας έχει μια κοινή ιδιότητα με τη λύση του πολυσύμπαντος. Υποθέσαμε ότι, ως επί το πλείστον, το σύμπαν είναι χαοτικό και δεν υπάρχει τόση δομή σε αυτό. Ωστόσο, εστιάζουμε μόνο στη μικρή δομή που υπάρχει. Ομοίως, κάποιος που πιστεύει στο πολυσύμπαν πιστεύει ότι το μεγαλύτερο μέρος του πολυσύμπαν δεν έχει τη δομή για να σχηματίσει νοήμονα ζωή. Μόνο σε λίγα επιλεγμένα σύμπαντα βρίσκουμε πολύπλοκη δομή. Και εμείς οι κάτοικοι αυτού του πολύπλοκου σύμπαντος εστιάζουμε σε αυτή τη σπάνια δομή. Και οι δύο λύσεις αφορούν την εστίαση στη μικρή ποσότητα δομής σε ένα χαοτικό σύνολο.

Μια Ιεραρχία Συστημάτων Αριθμών

Αυτή η ιδέα ότι βλέπουμε μόνο τη δομή επειδή επιλέγουμε ένα υποσύνολο φαινομένων είναι πρωτότυπη και δύσκολο να τυλίξει κανείς το κεφάλι του. Υπάρχει μια ανάλογη κατάσταση στα μαθηματικά που είναι πολύ πιο κατανοητή. Θα εστιάσουμε σε ένα σημαντικό παράδειγμα όπου μπορεί κανείς να δει αυτή τη διαδικασία επιλογής πολύ καθαρά. Πρώτα πρέπει να κάνουμε μια μικρή περιήγηση σε πολλά συστήματα αριθμών και τις ιδιότητές τους.

Εξετάστε τους πραγματικούς αριθμούς. Στην αρχή του γυμνασίου, ο δάσκαλος σχεδιάζει την πραγματική αριθμητική γραμμή στον πίνακα και λέει ότι αυτοί είναι όλοι οι αριθμοί που θα χρειαστεί κανείς ποτέ. Με δεδομένους δύο πραγματικούς αριθμούς, ξέρουμε πώς να τους προσθέτουμε, αφαιρούμε, πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε. Αποτελούν ένα σύστημα αριθμών που χρησιμοποιείται σε κάθε πτυχή της επιστήμης. Οι πραγματικοί αριθμοί έχουν επίσης μια σημαντική ιδιότητα:Είναι πλήρως διατεταγμένοι. Αυτό σημαίνει ότι με δεδομένους δύο διαφορετικούς πραγματικούς αριθμούς, ο ένας είναι μικρότερος από τον άλλο. Απλώς σκεφτείτε την πραγματική αριθμητική ευθεία:Λαμβάνοντας υπόψη δύο διαφορετικά σημεία στη γραμμή, το ένα θα βρίσκεται στα δεξιά του άλλου. Αυτή η ιδιότητα είναι τόσο προφανής που σχεδόν δεν αναφέρεται.

Ενώ οι πραγματικοί αριθμοί φαίνονται σαν μια πλήρης εικόνα, η ιστορία δεν τελειώνει εκεί. Ήδη από τον 16ο αιώνα, οι μαθηματικοί άρχισαν να εξετάζουν πιο περίπλοκα συστήματα αριθμών. Άρχισαν να εργάζονται με έναν «φανταστικό» αριθμό i που έχει την ιδιότητα το τετράγωνό του να είναι -1. Αυτό έρχεται σε πλήρη αντίθεση με οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό του οποίου το τετράγωνο δεν είναι ποτέ αρνητικό. Όρισαν έναν φανταστικό αριθμό ως το γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού και του i . Οι μαθηματικοί συνέχισαν να ορίζουν έναν μιγαδικό αριθμό που είναι το άθροισμα ενός πραγματικού και ενός φανταστικού αριθμού. Εάν r₁ και r₂ είναι πραγματικοί αριθμοί, τότε r₁ +r₂ i είναι μιγαδικός αριθμός. Δεδομένου ότι ένας μιγαδικός αριθμός αποτελείται από δύο πραγματικούς αριθμούς, συνήθως τους σχεδιάζουμε όλους σε ένα δισδιάστατο επίπεδο. Η πραγματική αριθμητική γραμμή βρίσκεται στο μιγαδικό επίπεδο. Αυτό αντιστοιχεί στο γεγονός ότι κάθε πραγματικός αριθμός, r₁ , μπορεί να θεωρηθεί ως ο μιγαδικός αριθμός r₁ +0i (δηλαδή ο ίδιος με μηδενικό μιγαδικό συστατικό).

Γνωρίζουμε πώς να προσθέτουμε, να αφαιρούμε, να πολλαπλασιάζουμε και να διαιρούμε μιγαδικούς αριθμούς. Ωστόσο, υπάρχει μια ιδιότητα που είναι διαφορετική σχετικά με τους μιγαδικούς αριθμούς. Σε αντίθεση με τους πραγματικούς αριθμούς, οι μιγαδικοί αριθμοί δεν είναι πλήρως διατεταγμένοι. Δίνονται δύο μιγαδικοί αριθμοί, ας πούμε 3 + 7,2i και 6 – 4i , μπορούμε να πούμε ποιο είναι περισσότερο και ποιο λιγότερο; Δεν υπάρχει προφανής απάντηση. (Στην πραγματικότητα, μπορεί κανείς να διατάξει πλήρως τους μιγαδικούς αριθμούς, αλλά η σειρά δεν θα σέβεται τον πολλαπλασιασμό των μιγαδικών αριθμών.) Το γεγονός ότι οι μιγαδικοί αριθμοί δεν είναι πλήρως διατεταγμένοι σημαίνει ότι χάνουμε τη δομή όταν μεταβαίνουμε από τους πραγματικούς αριθμούς στους μιγαδικούς αριθμούς .

Η ιστορία δεν έχει τελειώσει με τους μιγαδικούς αριθμούς. Όπως μπορεί κανείς να κατασκευάσει τους μιγαδικούς αριθμούς από ζεύγη πραγματικών αριθμών, έτσι μπορεί κανείς να κατασκευάσει τα τεταρτημόρια από ζεύγη μιγαδικών αριθμών. Έστω c₁ =r₁ + r₂ i και c₂ =r₃ + r₄ i να είναι μιγαδικοί αριθμοί. τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα τεταρτοταγές ως q =c₁ + c₂ j όπου j είναι ειδικός αριθμός. Αποδεικνύεται ότι κάθε τεταρτημόριο μπορεί να γραφτεί ως

r₁ + r₂ i + r₃ j + r₄ k ,

όπου i , j και k είναι όλοι ειδικοί αριθμοί παρόμοιοι με μιγαδικούς αριθμούς (ορίζονται από το ijk =-1 =i =j =k ). Έτσι, ενώ οι μιγαδικοί αριθμοί αποτελούνται από δύο πραγματικούς αριθμούς, τα τεταρτημόρια αποτελούνται από τέσσερις πραγματικούς αριθμούς. Κάθε μιγαδικός αριθμός r₁ + r₂ i μπορεί να θεωρηθεί ως ένας ειδικός τύπος τεταρτοταγούς:r₁ + r₂ i + 0j + 0k . Μπορούμε να σκεφτούμε τα τεταρτημόρια ως έναν τετραδιάστατο χώρο που έχει τους μιγαδικούς αριθμούς ως δισδιάστατο υποσύνολο του. Εμείς οι άνθρωποι δυσκολευόμαστε να οραματιστούμε τέτοιους χώρους υψηλότερων διαστάσεων.

Τα τεταρτημόρια είναι ένα πλήρες σύστημα αριθμών. Μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν, να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν με ευκολία. Όπως και οι μιγαδικοί αριθμοί, αποτυγχάνουν να ταξινομηθούν πλήρως. Αλλά έχουν ακόμη λιγότερη δομή από τους μιγαδικούς αριθμούς. Ενώ ο πολλαπλασιασμός των μιγαδικών αριθμών είναι ανταλλάξιμος, δηλαδή για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς c₁ και c₂ έχουμε ότι c₁ c₂ =c₂ c₁ , αυτό δεν ισχύει για όλα τα τεταρτημόρια. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν τεταρτημόρια q₁ και q₂ έτσι ώστε q₁ q₂ είναι διαφορετικό από το q₂ q₁ .

Αυτή η διαδικασία διπλασιασμού ενός συστήματος αριθμών με έναν νέο ειδικό αριθμό ονομάζεται «κατασκευή Cayley-Dickson», που πήρε το όνομά του από τους μαθηματικούς Arthur Cayley και Leonard Eugene Dickson. Δεδομένου ενός συγκεκριμένου τύπου αριθμητικού συστήματος, κάποιος αποκτά ένα άλλο σύστημα αριθμών που είναι διπλάσια από τη διάσταση του αρχικού συστήματος. Το νέο σύστημα που αναπτύσσει κάποιος έχει λιγότερη δομή (δηλαδή λιγότερα αξιώματα) από το σύστημα εκκίνησης.

Αν εφαρμόσουμε την κατασκευή Cayley-Dickson στα τεταρτοταγή, παίρνουμε το σύστημα αριθμών που ονομάζεται οκτόνια. Αυτό είναι ένα οκταδιάστατο σύστημα αριθμών. Αυτό σημαίνει ότι κάθε ένα από τα οκτόνια μπορεί να γραφτεί με οκτώ πραγματικούς αριθμούς ως

r₁ + r₂ i + r₃ j + r₄ k +r₅ l + r₆ μ + r₇ n + r₈ p .

Αν και είναι ελαφρώς περίπλοκο, είναι γνωστός ο τρόπος πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης οκτονίων. Κάθε τεταρτοταγές μπορεί να γραφτεί ως ένας ειδικός τύπος οκτονίου στο οποίο οι τέσσερις τελευταίοι συντελεστές είναι μηδέν.

Όπως και τα τεταρτημόρια, τα οκτόνια δεν είναι ούτε ολικά διατεταγμένα ούτε ανταλλάξιμα. Ωστόσο, τα οκτόνια αποτυγχάνουν επίσης να είναι συνειρμικά. Αναλυτικά, όλα τα συστήματα αριθμών που έχουμε μέχρι στιγμής συζητήσει διαθέτουν τη συνειρμική ιδιότητα. Αυτό σημαίνει ότι για οποιαδήποτε τρία στοιχεία, a, b και c, οι δύο τρόποι πολλαπλασιασμού τους, a(bc) και (ab)c, είναι ίσοι. Ωστόσο, τα οκτόνια αποτυγχάνουν να είναι συνειρμικά. Δηλαδή, υπάρχουν οκτόνια o₁ , o₂ και o₃ έτσι ώστε o₁ (o₂ o₃ ) ≠ (o₁ o₂ )o₃ .

Μπορούμε να συνεχίσουμε με αυτόν τον διπλασιασμό και να πάρουμε ένα ακόμη μεγαλύτερο, 16-διάστατο σύστημα αριθμών που ονομάζεται sedenions. Για να περιγράψει κανείς ένα σεδόνιο, θα πρέπει να δώσει 16 πραγματικούς αριθμούς. Τα οκτόνια είναι ένας ειδικός τύπος sedonion:οι τελευταίοι οκτώ συντελεστές τους είναι όλοι μηδενικοί. Αλλά οι ερευνητές αποφεύγουν τα αιωρήματα επειδή χάνουν μια σημαντική ιδιότητα. Ενώ μπορεί κανείς να προσθέσει, να αφαιρέσει και να πολλαπλασιάσει sedenions, δεν υπάρχει τρόπος να τα διαιρέσουμε όμορφα. Οι περισσότεροι φυσικοί πιστεύουν ότι αυτό είναι πέρα ​​από τα χλωμά και «απλά» μαθηματικά. Ακόμη και οι μαθηματικοί δυσκολεύονται να αντιμετωπίσουν τις ταραχές. Μπορεί κανείς να συνεχίσει να διατυπώνει 32-διάστατα συστήματα αριθμών και 64-διάστατα συστήματα αριθμών, και ούτω καθεξής. Συνήθως όμως δεν συζητούνται γιατί από τώρα δεν έχουν πολλές εφαρμογές. Θα επικεντρωθούμε στα οκτόνια. Μια περίληψη όλων των συστημάτων αριθμών μπορεί να φανεί σε αυτό το διάγραμμα Venn:

Ας συζητήσουμε τη δυνατότητα εφαρμογής αυτών των συστημάτων αριθμών. Οι πραγματικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται σε κάθε πτυχή της φυσικής. Όλες οι ποσότητες, οι μετρήσεις και τα μήκη των φυσικών αντικειμένων ή διεργασιών δίνονται ως πραγματικοί αριθμοί. Αν και οι μιγαδικοί αριθμοί διατυπώθηκαν από μαθηματικούς για να βοηθήσουν στην επίλυση εξισώσεων (i είναι η λύση της εξίσωσης x =-1), οι φυσικοί άρχισαν να χρησιμοποιούν μιγαδικούς αριθμούς για να συζητήσουν τα κύματα στα μέσα του 19ου αιώνα. Τον 20ο αιώνα, οι μιγαδικοί αριθμοί έγιναν θεμελιώδεις για τη μελέτη της κβαντικής μηχανικής. Μέχρι τώρα, ο ρόλος των μιγαδικών αριθμών είναι πολύ σημαντικός σε πολλούς διαφορετικούς κλάδους της φυσικής. Τα τεταρτημόρια εμφανίζονται στη φυσική αλλά δεν είναι σημαντικός παίκτης. Τα οκτόνια, τα σεδενιόντα και τα συστήματα μεγαλύτερου αριθμού εμφανίζονται σπάνια στη βιβλιογραφία της φυσικής.

Οι νόμοι των μαθηματικών που βρίσκουμε

Η συνήθης άποψη αυτών των συστημάτων αριθμών είναι να πιστεύουμε ότι οι πραγματικοί αριθμοί είναι θεμελιώδεις ενώ οι μιγαδικοί, τα τεταρτοταγή και τα οκτόνια είναι παράξενα μεγαλύτερα σύνολα που κρατούν απασχολημένους τους μαθηματικούς και ορισμένους φυσικούς. Τα μεγαλύτερα συστήματα αριθμών φαίνονται ασήμαντα και λιγότερο ενδιαφέροντα.

Ας ανατρέψουμε αυτήν την άποψη. Αντί να βλέπετε τους πραγματικούς αριθμούς ως κεντρικούς και τα οκτόνια ως παράξενα μεγαλύτερα συστήματα αριθμών, σκεφτείτε τα οκτόνια ως θεμελιώδη και όλα τα άλλα συστήματα αριθμών ως απλά ειδικά υποσύνολα οκτονίων. Το μόνο σύστημα αριθμών που υπάρχει πραγματικά είναι τα οκτόνια. Για να παραφράσουμε τον Leopold Kronecker, «Ο Θεός έφτιαξε τα οκτόνια, όλα τα άλλα είναι έργο του ανθρώπου». Τα οκτόνια περιέχουν κάθε αριθμό που θα χρειαστούμε ποτέ. (Και, όπως είπαμε προηγουμένως, μπορούμε να κάνουμε το ίδιο κόλπο με τα sedenions και ακόμη και το σύστημα αριθμών 64 διαστάσεων. Θα διορθώσουμε τις ιδέες μας με τα οκτόνια.)

Ας διερευνήσουμε πώς μπορούμε να αντλήσουμε όλες τις ιδιότητες των συστημάτων αριθμών που γνωρίζουμε. Αν και ο πολλαπλασιασμός στα οκτόνια δεν είναι συνειρμικός, αν κάποιος θέλει έναν συνειρμικό πολλαπλασιασμό, μπορεί να δει ένα ειδικό υποσύνολο των οκτονίων. (Χρησιμοποιούμε τη λέξη "υποσύνολο", αλλά χρειαζόμαστε έναν ειδικό τύπο υποσυνόλου που να σέβεται τις λειτουργίες του συστήματος αριθμών. Αυτά τα υποσύνολα ονομάζονται "υποομάδες", "υποπεδία" ή "άλγεβρες υπο-κανονισμού διαίρεσης.") Αν λοιπόν κάποιος επιλέξει το υποσύνολο όλων των οκτονίων της μορφής

r₁ + r₂ i + r₃ j + r₄ k + 0l + 0m + 0n + 0p ,

τότε ο πολλαπλασιασμός θα είναι συνειρμικός (όπως τα τεταρτημόρια). Αν κοιτάξει κανείς περαιτέρω όλα τα οκτόνια της μορφής

r₁ + r₂ i + 0j + 0k + 0l + 0m + 0n + 0p ,

τότε ο πολλαπλασιασμός θα είναι ανταλλάξιμος (όπως οι μιγαδικοί αριθμοί). Αν κάποιος επιλέξει περαιτέρω όλα τα οκτόνια της φόρμας

r₁ + 0i + 0j + 0k + 0l + 0m + 0n + 0p ,

τότε θα έχουν ένα πλήρως διατεταγμένο σύστημα αριθμών. Όλα τα αξιώματα που θέλει κανείς να ικανοποιήσει βρίσκονται «κάθονται μέσα» στα οκτόνια.

Αυτό δεν είναι παράξενο. Όποτε έχουμε μια δομή, μπορούμε να εστιάσουμε σε ένα υποσύνολο ειδικών στοιχείων που ικανοποιεί ορισμένες ιδιότητες. Πάρτε, για παράδειγμα, οποιαδήποτε ομάδα. Μπορούμε να περάσουμε από τα στοιχεία της ομάδας και να διαλέξουμε αυτά τα X έτσι ώστε, για όλα τα στοιχεία Y , έχουμε αυτό το XY =YX . Αυτό το υποσύνολο είναι μια ανταλλακτική (αβελιανή) ομάδα. Δηλαδή, είναι γεγονός ότι σε οποιαδήποτε ομάδα υπάρχει ένα υποσύνολο που είναι μια ανταλλακτική ομάδα. Απλώς επιλέγουμε εκείνα τα μέρη που ικανοποιούν το αξίωμα και αγνοούμε ("bracket out") αυτά που δεν ικανοποιούν. Το σημείο που θέτουμε είναι ότι εάν ένα σύστημα έχει μια συγκεκριμένη δομή, τα ειδικά υποσύνολα αυτού του συστήματος θα ικανοποιούν περισσότερα αξιώματα από το σύστημα εκκίνησης.

Αυτό είναι παρόμοιο με αυτό που κάνουμε στη φυσική. Δεν κοιτάμε όλα τα φαινόμενα. Αντίθετα, επιλέγουμε εκείνα τα φαινόμενα που ικανοποιούν τις απαιτήσεις της συμμετρίας και της προβλεψιμότητας. Στα μαθηματικά, περιγράφουμε το υποσύνολο με το αξίωμα που το περιγράφει. Στη φυσική, περιγράφουμε το επιλεγμένο υποσύνολο των φαινομένων με νόμο της φύσης.

Μπορούμε να περιγράψουμε την αναλογία που κάναμε με το ακόλουθο διάγραμμα:

Παρατηρήστε ότι τα μαθηματικά για ένα υποσύνολο που επιλέγεται για να ικανοποιήσει ένα αξίωμα είναι ευκολότερα από τα μαθηματικά για ολόκληρο το σύνολο. Αυτό συμβαίνει επειδή οι μαθηματικοί εργάζονται με αξιώματα. Αποδεικνύουν θεωρήματα και φτιάχνουν μοντέλα χρησιμοποιώντας αξιώματα. Όταν λείπουν τέτοια αξιώματα, τα μαθηματικά γίνονται πιο περίπλοκα ή αδύνατα.

Ακολουθώντας την αναλογία μας, ένα υποσύνολο φαινομένων είναι ευκολότερο να περιγραφεί με έναν νόμο της φύσης που αναφέρεται στα μαθηματικά. Αντίθετα, όταν εξετάζουμε το μεγαλύτερο σύνολο φαινομένων, είναι πιο δύσκολο να βρούμε ότι ο νόμος της φύσης και τα μαθηματικά θα ήταν πιο περίπλοκοι ή αδύνατοι.

Δουλεύοντας σε συνδυασμό και συνεχίζουμε

Υπάρχει μια σημαντική αναλογία μεταξύ της φυσικής και των μαθηματικών. Και στα δύο πεδία, εάν δεν εξετάσουμε το σύνολο ενός συστήματος, αλλά αντίθετα κοιτάξουμε ειδικά υποσύνολα του συστήματος, βλέπουμε περισσότερη δομή. Στη φυσική επιλέγουμε ορισμένα φαινόμενα (αυτά που έχουν ένα είδος συμμετρίας) και αγνοούμε τα υπόλοιπα. Στα μαθηματικά εξετάζουμε ορισμένα υποσύνολα δομών και αγνοούμε τα υπόλοιπα. Αυτές οι δύο λειτουργίες bracketing λειτουργούν χέρι-χέρι.

Η δουλειά της φυσικής είναι να διατυπώσει μια συνάρτηση από τη συλλογή παρατηρούμενων φυσικών φαινομένων έως τη μαθηματική δομή:

παρατηρήθηκαν φυσικά φαινόμενα → μαθηματική δομή.

Δηλαδή, πρέπει να δώσουμε μαθηματική δομή στον κόσμο που παρατηρούμε. Καθώς η φυσική προχωρά και προσπαθούμε να κατανοήσουμε όλο και περισσότερα παρατηρούμενα φυσικά φαινόμενα, χρειαζόμαστε όλο και μεγαλύτερες κατηγορίες μαθηματικών. Όσον αφορά αυτή τη συνάρτηση, εάν θέλουμε να μεγεθύνουμε την είσοδο της συνάρτησης, πρέπει να μεγεθύνουμε την έξοδο της συνάρτησης.

Υπάρχουν πολλά παραδείγματα αυτής της διεύρυνσης της φυσικής και των μαθηματικών.

Όταν οι φυσικοί άρχισαν να εργάζονται με την κβαντική μηχανική, συνειδητοποίησαν ότι οι πλήρως διατεταγμένοι πραγματικοί αριθμοί είναι πολύ περιοριστικοί για τις ανάγκες τους. Απαιτούσαν ένα σύστημα αριθμών με λιγότερα αξιώματα. Βρήκαν τους μιγαδικούς αριθμούς.

Όταν ο Άλμπερτ Αϊνστάιν ήθελε να περιγράψει τη γενική σχετικότητα, συνειδητοποίησε ότι η μαθηματική δομή του Ευκλείδειου χώρου με το αξίωμα της επιπεδότητας (πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη) ήταν πολύ περιοριστική. Χρειαζόταν καμπύλο, μη Ευκλείδειο χώρο για να περιγράψει τον χωρόχρονο της γενικής σχετικότητας.

Στην κβαντομηχανική είναι γνωστό ότι για ορισμένα συστήματα, αν πρώτα μετρήσουμε το Χ και μετά το Υ, θα έχουμε διαφορετικά αποτελέσματα από το να μετρήσουμε πρώτα το Υ και μετά το Χ. Για να περιγράψουμε αυτή την κατάσταση μαθηματικά, έπρεπε να φύγουμε από τον ωραίο κόσμο του ανταλλαξιμότητα. Απαιτούσαν τη μεγαλύτερη κατηγορία δομών όπου δεν υποτίθεται η εναλλαξιμότητα.

Όταν ο Boltzmann και ο Gibbs άρχισαν να μιλούν για τη στατιστική μηχανική, συνειδητοποίησαν ότι οι νόμοι που έβγαζαν δεν ήταν πλέον ντετερμινιστικοί. Τα αποτελέσματα των πειραμάτων δεν συμβαίνουν πλέον (p(X) =1) ή δεν συμβαίνουν (p(X) =0). Αντίθετα, με τη στατιστική μηχανική χρειάζεται κανείς τη θεωρία πιθανοτήτων. Η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου αποτελέσματος ενός πειράματος είναι μια πιθανότητα (p(X)) είναι ένα στοιχείο του άπειρου συνόλου [0,1] αντί του περιοριστικού πεπερασμένου υποσυνόλου {0,1}).

Όταν οι επιστήμονες άρχισαν να μιλούν για τη λογική των κβαντικών γεγονότων, συνειδητοποίησαν ότι η συνήθης λογική, που είναι διανεμητική, είναι πολύ περιοριστική. Χρειάστηκε να διατυπώσουν τη μεγαλύτερη κατηγορία λογικών στην οποία το διανεμητικό αξίωμα δεν ισχύει απαραίτητα. Αυτό ονομάζεται πλέον κβαντική λογική.

Paul A.M. Ο Ντιράκ κατάλαβε αυτή τη χαλάρωση των αξιωμάτων πριν από περίπου 85 χρόνια όταν έγραψε τα εξής:

Η σταθερή πρόοδος της φυσικής απαιτεί για τη θεωρητική της διατύπωση μαθηματικά που προχωρούν συνεχώς. Αυτό είναι φυσικό και αναμενόμενο. Αυτό όμως που δεν περίμεναν οι επιστήμονες του περασμένου αιώνα ήταν η ιδιαίτερη μορφή που θα έπαιρνε η γραμμή προόδου των μαθηματικών, δηλαδή αναμενόταν ότι τα μαθηματικά θα γινόταν όλο και πιο περίπλοκα, αλλά θα στηρίζονταν σε μόνιμη βάση αξιωμάτων και αξιωμάτων και ορισμούς, ενώ στην πραγματικότητα οι σύγχρονες φυσικές εξελίξεις απαιτούν μαθηματικά που αλλάζουν συνεχώς τα θεμέλιά τους και γίνονται πιο αφηρημένα. Η μη Ευκλείδεια γεωμετρία και η μη αντιμεταθετική άλγεβρα, που κάποτε θεωρούνταν καθαρά μυθοπλασίες του μυαλού και χόμπι των λογικών στοχαστών, έχει πλέον βρεθεί ότι είναι πολύ απαραίτητα για την περιγραφή των γενικών γεγονότων του φυσικού κόσμου. Φαίνεται πιθανό ότι αυτή η διαδικασία αυξανόμενης αφαίρεσης θα συνεχιστεί στο μέλλον και η πρόοδος στη φυσική θα συνδεθεί με τη συνεχή τροποποίηση και γενίκευση των αξιωμάτων στη βάση των μαθηματικών παρά με μια λογική ανάπτυξη οποιουδήποτε μαθηματικού σχήματος σε ένα σταθερό θεμέλιο.

Καθώς η φυσική προχωρά και συνειδητοποιούμε όλο και περισσότερα φυσικά φαινόμενα, χρειάζονται όλο και μεγαλύτερες κατηγορίες μαθηματικών δομών και τις παίρνουμε εξετάζοντας όλο και λιγότερα αξιώματα. Ο Dirac ονομάζει αυτές τις μαθηματικές δομές με λιγότερα αξιώματα «αυξανόμενη αφαίρεση» και «γενίκευση των αξιωμάτων». Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι αν ο Ντιράκ ζούσε τώρα, θα μιλούσε για την άνοδο των οκτονίων και ακόμη και για τα σεντόνια μέσα στα απαιτούμενα συστήματα αριθμών.

Για να περιγράψουμε περισσότερα φαινόμενα, θα χρειαστούμε όλο και μεγαλύτερες κατηγορίες μαθηματικών δομών και επομένως όλο και λιγότερα αξιώματα. Ποιο είναι το λογικό συμπέρασμα αυτής της τάσης; Πόσο μακριά μπορεί να φτάσει αυτό; Η Φυσική θέλει να περιγράψει όλο και περισσότερα φαινόμενα στο σύμπαν μας. Ας πούμε ότι μας ενδιέφερε να περιγράψουμε όλα φαινόμενα στο σύμπαν μας. Τι είδους μαθηματικά θα χρειαστούμε; Πόσα αξιώματα θα χρειαζόταν η μαθηματική δομή για να περιγράψει όλα τα φαινόμενα; Φυσικά, είναι δύσκολο να προβλεφθεί, αλλά είναι ακόμη πιο δύσκολο να μην κάνουμε εικασίες. Ένα πιθανό συμπέρασμα θα ήταν ότι αν κοιτάξουμε το σύμπαν συνολικά και δεν περιλάβουμε κανένα υποσύνολο φαινομένων, τα μαθηματικά που θα χρειαζόμασταν δεν θα είχαν καθόλου αξιώματα. Δηλαδή, το σύμπαν στο σύνολό του στερείται δομής και δεν χρειάζεται αξιώματα για να το περιγράψει. Πλήρης ανομία! Τα μαθηματικά είναι απλά σύνολα χωρίς δομή. Αυτό θα εξαλείφει τελικά κάθε μεταφυσική όταν ασχολείται με τους νόμους της φύσης και τη μαθηματική δομή. Είναι μόνο ο τρόπος που βλέπουμε το σύμπαν που μας δίνει την ψευδαίσθηση της δομής.

Με αυτή την άποψη της φυσικής φτάνουμε σε ακόμη πιο βαθιά ερωτήματα. Αυτά είναι τα μελλοντικά έργα της επιστήμης. Εάν η δομή που βλέπουμε είναι απατηλή και προκύπτει από τον τρόπο που βλέπουμε ορισμένα φαινόμενα, τότε γιατί βλέπουμε αυτή την ψευδαίσθηση; Αντί να εξετάζουμε τους νόμους της φύσης που διατυπώνονται από τους επιστήμονες, πρέπει να δούμε τους επιστήμονες και τον τρόπο με τον οποίο διαλέγουν (υποσύνολα φαινομένων και τους συνοδούς) νόμους της φύσης. Τι είναι αυτό με τα ανθρώπινα όντα που μας κάνει τόσο καλούς στο να είμαστε κόσκινα; Αντί να κοιτάμε το σύμπαν, θα πρέπει να κοιτάξουμε τον τρόπο κοιτάμε το σύμπαν.

Είμαι ευγνώμων στους Jim Cox, Karen Kletter, Avi Rabinowitz και Karl Svozil για πολλές χρήσιμες συνομιλίες.

Ο Noson S. Yanofsky έχει Ph.D. στα μαθηματικά από το The Graduate Center of The City University of New York. Είναι καθηγητής επιστήμης υπολογιστών στο Brooklyn College του City University της Νέας Υόρκης. Εκτός από τη συγγραφή ερευνητικών εργασιών, έχει συν-συγγραφεί Quantum Computing for Computer Scientists και έχει συγγραφεί Τα εξωτερικά όρια του λόγου:Τι δεν μπορούν να μας πουν η επιστήμη, τα μαθηματικά και η λογική. Ο Noson ζει στο Μπρούκλιν με τη γυναίκα του και τα τέσσερα παιδιά του.

Αναφορές

1. Dirac, P.A.M. Κβαντισμένες ιδιομορφίες στο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Πρακτικά της Βασιλικής Εταιρείας 133 , 60-72, (1931).

Πρόσθετη ανάγνωση

Dray, T. &Manogue, C.A. Η Γεωμετρία των Οκτονίων World Scientific Publishing Company, Σιγκαπούρη (2015).

Eddington, A.S. Η Φιλοσοφία της Φυσικής Επιστήμης Cambridge University Press, Νέα Υόρκη, Νέα Υόρκη (1939).

van Fraassen, B.C. Νόμοι και συμμετρία Oxford University Press, Νέα Υόρκη, Νέα Υόρκη (1989).

Greene, B. The Hidden Reality:Parallel Universes and the Deep Laws of the Cosmos Knopf, Νέα Υόρκη, Νέα Υόρκη (2011).

Stenger, V.J. The Comprehensible Cosmos:Από πού προέρχονται οι νόμοι της φυσικής; Prometheus Books, Amherst, NY (2006).

Tegmark, M. Our Mathematical Universe:My Quest for the Ultimate Nature of Reality Knopf, Νέα Υόρκη, Νέα Υόρκη (2014).

Yanofsky, N.S. Τα εξωτερικά όρια της λογικής:Τι δεν μπορούν να μας πουν η επιστήμη, τα μαθηματικά και η λογική MIT Press, Cambridge, MA (2013).

Δικαιώματα κολάζ εικόνων:Marina Sun / Shutterstock; Pixabay

Αυτό το άρθρο δημοσιεύτηκε αρχικά στο τεύχος μας "The Absurd" τον Ιούνιο του 2017.