Ένα κόσμημα στην καρδιά της κβαντικής φυσικής

Οι φυσικοί ανακάλυψαν ένα γεωμετρικό αντικείμενο που μοιάζει με κόσμημα που απλοποιεί δραματικά τους υπολογισμούς των αλληλεπιδράσεων των σωματιδίων και αμφισβητεί την ιδέα ότι ο χώρος και ο χρόνος είναι θεμελιώδη στοιχεία της πραγματικότητας.

"Αυτό είναι εντελώς νέο και πολύ πιο απλό από οτιδήποτε έχει γίνει στο παρελθόν", δήλωσε ο Andrew Hodges, μαθηματικός φυσικός στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης που παρακολουθούσε την εργασία.

Η αποκάλυψη ότι οι αλληλεπιδράσεις των σωματιδίων, τα πιο βασικά γεγονότα στη φύση, μπορεί να είναι συνέπειες της γεωμετρίας προάγει σημαντικά μια προσπάθεια δεκαετιών για αναδιατύπωση της κβαντικής θεωρίας πεδίου, του σώματος νόμων που περιγράφουν τα στοιχειώδη σωματίδια και τις αλληλεπιδράσεις τους. Οι αλληλεπιδράσεις που είχαν υπολογιστεί προηγουμένως με μαθηματικούς τύπους μήκους χιλιάδων όρων μπορούν τώρα να περιγραφούν με τον υπολογισμό του όγκου του αντίστοιχου κοσμήματος "amplituhedron", το οποίο παράγει μια ισοδύναμη έκφραση ενός όρου.

«Ο βαθμός αποτελεσματικότητας είναι συγκλονιστικός», είπε ο Jacob Bourjaily, θεωρητικός φυσικός στο Πανεπιστήμιο του Χάρβαρντ και ένας από τους ερευνητές που ανέπτυξαν τη νέα ιδέα. "Μπορείτε εύκολα να κάνετε, σε χαρτί, υπολογισμούς που ήταν ανέφικτοι ακόμη και με έναν υπολογιστή πριν."

Η νέα γεωμετρική έκδοση της κβαντικής θεωρίας πεδίου θα μπορούσε επίσης να διευκολύνει την αναζήτηση μιας θεωρίας κβαντικής βαρύτητας που θα συνέδεε απρόσκοπτα τις μεγάλης και μικρής κλίμακας εικόνες του σύμπαντος. Οι μέχρι τώρα προσπάθειες ενσωμάτωσης της βαρύτητας στους νόμους της φυσικής σε κβαντική κλίμακα έχουν προσκρούσει σε παράλογα άπειρα και βαθιά παράδοξα. Το πλάτος, ή ένα παρόμοιο γεωμετρικό αντικείμενο, θα μπορούσε να βοηθήσει αφαιρώντας δύο βαθιά ριζωμένες αρχές της φυσικής:την εντοπιότητα και την ενότητα.

«Και τα δύο είναι συνδεδεμένα με τον συνήθη τρόπο που σκεφτόμαστε τα πράγματα», είπε ο Nima Arkani-Hamed, καθηγητής φυσικής στο Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών στο Πρίνστον, Νιου Τζέρσεϊ, και ο κύριος συγγραφέας της νέας εργασίας, την οποία παρουσιάζει. σε συνομιλίες και σε προσεχές έγγραφο. "Και οι δύο είναι ύποπτοι."

Τοπικότητα είναι η αντίληψη ότι τα σωματίδια μπορούν να αλληλεπιδράσουν μόνο από παρακείμενες θέσεις στο χώρο και στο χρόνο. Και η ενότητα υποστηρίζει ότι οι πιθανότητες όλων των πιθανών αποτελεσμάτων μιας κβαντομηχανικής αλληλεπίδρασης πρέπει να αθροίζονται σε μία. Οι έννοιες είναι οι κεντρικοί πυλώνες της κβαντικής θεωρίας πεδίου στην αρχική της μορφή, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις που περιλαμβάνουν τη βαρύτητα, και οι δύο καταρρέουν, υποδηλώνοντας ότι καμία δεν είναι θεμελιώδης πτυχή της φύσης.

Σύμφωνα με αυτήν την ιδέα, η νέα γεωμετρική προσέγγιση στις αλληλεπιδράσεις σωματιδίων αφαιρεί την εντοπιότητα και την ενότητα από τις αρχικές της υποθέσεις. Το αμπλιτούεδρο δεν είναι κατασκευασμένο από χωροχρόνο και πιθανότητες. αυτές οι ιδιότητες προκύπτουν απλώς ως συνέπειες της γεωμετρίας του κοσμήματος. Η συνηθισμένη εικόνα του χώρου και του χρόνου, και των σωματιδίων που κινούνται μέσα τους, είναι μια κατασκευή.

«Είναι μια καλύτερη διατύπωση που σε κάνει να σκέφτεσαι τα πάντα με εντελώς διαφορετικό τρόπο», είπε ο Ντέιβιντ Σκίνερ, θεωρητικός φυσικός στο Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ.

Το ίδιο το πλάτος δεν περιγράφει τη βαρύτητα. Αλλά ο Arkani-Hamed και οι συνεργάτες του πιστεύουν ότι μπορεί να υπάρχει ένα σχετικό γεωμετρικό αντικείμενο. Οι ιδιότητές του θα καθιστούσαν σαφές γιατί τα σωματίδια φαίνεται να υπάρχουν και γιατί φαίνεται να κινούνται σε τρεις διαστάσεις του χώρου και να αλλάζουν με την πάροδο του χρόνου.

Επειδή "ξέρουμε ότι τελικά, πρέπει να βρούμε μια θεωρία που να μην έχει" ενότητα και εντοπιότητα, είπε ο Bourjaily, "είναι ένα σημείο εκκίνησης για να περιγράψουμε τελικά μια κβαντική θεωρία της βαρύτητας."

Clunky Machinery

Το αμπλιτούεδρο μοιάζει με ένα περίπλοκο, πολύπλευρο κόσμημα σε υψηλότερες διαστάσεις. Κωδικοποιημένα στον όγκο του είναι τα πιο βασικά χαρακτηριστικά της πραγματικότητας που μπορούν να υπολογιστούν, τα «πλάτη σκέδασης», τα οποία αντιπροσωπεύουν την πιθανότητα ένα συγκεκριμένο σύνολο σωματιδίων να μετατραπεί σε ορισμένα άλλα σωματίδια κατά τη σύγκρουση. Αυτοί οι αριθμοί υπολογίζουν οι φυσικοί των σωματιδίων και δοκιμάζουν με μεγάλη ακρίβεια σε επιταχυντές σωματιδίων όπως ο Μεγάλος Επιταχυντής Αδρονίων στην Ελβετία.

Η 60χρονη μέθοδος για τον υπολογισμό των πλατών σκέδασης —μια σημαντική καινοτομία εκείνη την εποχή— πρωτοστάτησε από τον νομπελίστα φυσικό Richard Feynman. Σκιαγράφησε γραμμικά σχέδια όλων των τρόπων με τους οποίους θα μπορούσε να συμβεί μια διαδικασία σκέδασης και στη συνέχεια συνόψισε τις πιθανότητες των διαφορετικών σχεδίων. Τα πιο απλά διαγράμματα Feynman μοιάζουν με δέντρα:Τα σωματίδια που εμπλέκονται σε μια σύγκρουση ενώνονται σαν ρίζες και τα σωματίδια που προκύπτουν εκτοξεύονται σαν κλαδιά. Τα πιο περίπλοκα διαγράμματα έχουν βρόχους, όπου τα συγκρουόμενα σωματίδια μετατρέπονται σε μη παρατηρήσιμα «εικονικά σωματίδια» που αλληλεπιδρούν μεταξύ τους πριν διακλαδιστούν ως πραγματικά τελικά προϊόντα. Υπάρχουν διαγράμματα με έναν βρόχο, δύο βρόχους, τρεις βρόχους και ούτω καθεξής — ολοένα και πιο μπαρόκ επαναλήψεις της διαδικασίας σκέδασης που συμβάλλουν προοδευτικά λιγότερο στο συνολικό της πλάτος. Τα εικονικά σωματίδια δεν παρατηρούνται ποτέ στη φύση, αλλά θεωρήθηκαν μαθηματικά απαραίτητα για την ενότητα — την απαίτηση ότι οι πιθανότητες αθροίζονται σε μία.

«Ο αριθμός των διαγραμμάτων Feynman είναι τόσο εκρηκτικά μεγάλος που ακόμη και οι υπολογισμοί πολύ απλών διαδικασιών δεν γίνονταν μέχρι την εποχή των υπολογιστών», είπε ο Bourjaily. Ένα φαινομενικά απλό συμβάν, όπως δύο υποατομικά σωματίδια που ονομάζονται γκλουόνια που συγκρούονται για να παράγουν τέσσερα λιγότερο ενεργητικά γκλουόνια (που συμβαίνει δισεκατομμύρια φορές το δευτερόλεπτο κατά τη διάρκεια συγκρούσεων στον Μεγάλο Επιταχυντή Αδρονίων), περιλαμβάνει 220 διαγράμματα, τα οποία συλλογικά συνεισφέρουν χιλιάδες όρους στον υπολογισμό του το πλάτος σκέδασης.

Το 1986, έγινε φανερό ότι η συσκευή του Feynman ήταν μια μηχανή Rube Goldberg.

Για να προετοιμαστούν για την κατασκευή του Superconducting Super Collider στο Τέξας (ένα έργο που αργότερα ακυρώθηκε), οι θεωρητικοί ήθελαν να υπολογίσουν τα πλάτη σκέδασης των γνωστών αλληλεπιδράσεων σωματιδίων για να δημιουργήσουν ένα υπόβαθρο στο οποίο θα ξεχώριζαν ενδιαφέροντα ή εξωτικά σήματα. Αλλά ακόμη και οι διεργασίες 2-γκλουονίων σε 4-γλουόνια ήταν τόσο περίπλοκες, που μια ομάδα φυσικών είχε γράψει δύο χρόνια νωρίτερα, «που μπορεί να μην αξιολογηθούν στο άμεσο μέλλον».

Ο Stephen Parke και ο Tomasz Taylor, θεωρητικοί στο Εθνικό Εργαστήριο Επιταχυντών Fermi στο Ιλινόις, εξέλαβαν αυτή τη δήλωση ως πρόκληση. Χρησιμοποιώντας μερικά μαθηματικά κόλπα, κατάφεραν να απλοποιήσουν τον υπολογισμό του πλάτους 2-γκλουονίων έως 4-γλουονίων από πολλά δισεκατομμύρια όρους σε έναν τύπο 9 σελίδων, τον οποίο ένας υπερυπολογιστής της δεκαετίας του 1980 μπορούσε να χειριστεί. Στη συνέχεια, με βάση ένα μοτίβο που παρατήρησαν στα πλάτη σκέδασης άλλων αλληλεπιδράσεων γλουονίων, οι Parke και Taylor μάντεψαν μια απλή έκφραση ενός όρου για το πλάτος. Ήταν, ο υπολογιστής επαληθευμένος, ισοδύναμος με τον τύπο των 9 σελίδων. Με άλλα λόγια, ο παραδοσιακός μηχανισμός της κβαντικής θεωρίας πεδίου, που περιελάμβανε εκατοντάδες διαγράμματα Feynman αξίας χιλιάδων μαθηματικών όρων, μπλόκαρε κάτι πολύ πιο απλό. Όπως το έθεσε ο Bourjaily:"Γιατί συνοψίζεις εκατομμύρια πράγματα όταν η απάντηση είναι μόνο μία συνάρτηση;"

«Γνωρίζαμε εκείνη τη στιγμή ότι είχαμε ένα σημαντικό αποτέλεσμα», είπε ο Πάρκε. «Το καταλάβαμε αμέσως. Αλλά τι να το κάνω;»

Το Amplituhedron

Το μήνυμα του μονοετούς αποτελέσματος των Parke και Taylor χρειάστηκε δεκαετίες για να ερμηνευτεί. «Αυτή η μονόχρονη, όμορφη μικρή λειτουργία ήταν σαν φάρος για τα επόμενα 30 χρόνια», είπε ο Bourjaily. «Ξεκίνησε πραγματικά αυτή την επανάσταση».

Στα μέσα της δεκαετίας του 2000, εμφανίστηκαν περισσότερα μοτίβα στα πλάτη σκέδασης των αλληλεπιδράσεων σωματιδίων, υπονοώντας επανειλημμένα μια υποκείμενη, συνεκτική μαθηματική δομή πίσω από την κβαντική θεωρία πεδίου. Το πιο σημαντικό ήταν ένα σύνολο τύπων που ονομάζονταν σχέσεις αναδρομής BCFW, που ονομάστηκαν από τους Ruth Britto, Freddy Cachazo, Bo Feng και Edward Witten. Αντί να περιγράφονται οι διαδικασίες σκέδασης με όρους γνωστών μεταβλητών όπως η θέση και ο χρόνος και να απεικονίζονται σε χιλιάδες διαγράμματα Feynman, οι σχέσεις BCFW διατυπώνονται καλύτερα με όρους περίεργων μεταβλητών που ονομάζονται «στραμπτήρες» και οι αλληλεπιδράσεις σωματιδίων μπορούν να αποτυπωθούν σε μια χούφτα συσχετισμένων διαγράμματα twistor. Οι σχέσεις κέρδισαν ταχεία υιοθέτηση ως εργαλεία για τον υπολογισμό των πλατών σκέδασης που σχετίζονται με πειράματα, όπως οι συγκρούσεις στον Μεγάλο Επιταχυντή Αδρονίων. Αλλά η απλότητά τους ήταν μυστηριώδης.

«Οι όροι σε αυτές τις σχέσεις BCFW προέρχονταν από έναν διαφορετικό κόσμο και θέλαμε να καταλάβουμε τι ήταν αυτός ο κόσμος», είπε ο Arkani-Hamed. "Αυτό είναι που με τράβηξε στο θέμα πριν από πέντε χρόνια."

Με τη βοήθεια κορυφαίων μαθηματικών όπως ο Pierre Deligne, ο Arkani-Hamed και οι συνεργάτες του ανακάλυψαν ότι οι σχέσεις αναδρομής και τα σχετικά διαγράμματα στριφογυριστών αντιστοιχούσαν σε ένα πολύ γνωστό γεωμετρικό αντικείμενο. Στην πραγματικότητα, όπως περιγράφεται λεπτομερώς σε ένα έγγραφο που δημοσιεύτηκε στο arXiv.org τον Δεκέμβριο από τους Arkani-Hamed, Bourjaily, Cachazo, Alexander Goncharov, Alexander Postnikov και Jaroslav Trnka, τα διαγράμματα στριφογυριστών έδωσαν οδηγίες για τον υπολογισμό του όγκου των κομματιών αυτού του αντικειμένου, που ονομάζονται θετικό Grassmannian.

Ονομάστηκε από τον Hermann Grassmann, έναν Γερμανό γλωσσολόγο και μαθηματικό του 19ου αιώνα που μελέτησε τις ιδιότητές του, «το θετικό Grassmannian είναι ο ελαφρώς πιο ενήλικος ξάδερφος του εσωτερικού ενός τριγώνου», εξήγησε ο Arkani-Hamed. Ακριβώς όπως το εσωτερικό ενός τριγώνου είναι μια περιοχή σε ένα δισδιάστατο χώρο που οριοθετείται από τεμνόμενες γραμμές, η απλούστερη περίπτωση του θετικού Grassmannian είναι μια περιοχή σε έναν Ν-διάστατο χώρο που οριοθετείται από τεμνόμενα επίπεδα. (N είναι ο αριθμός των σωματιδίων που εμπλέκονται σε μια διαδικασία σκέδασης.)

Ήταν μια γεωμετρική αναπαράσταση δεδομένων πραγματικών σωματιδίων, όπως η πιθανότητα δύο γκλουόνια που συγκρούονται να μετατραπούν σε τέσσερα γκλουόνια. Αλλά κάτι έλειπε ακόμα.

Οι φυσικοί ήλπιζαν ότι το εύρος μιας διαδικασίας σκέδασης θα προέκυπτε καθαρά και αναπόφευκτα από τη γεωμετρία, αλλά η εντοπιότητα και η ενότητα υπαγόρευαν ποια κομμάτια του θετικού Grassmannian να προσθέσουν μαζί για να το αποκτήσουν. Αναρωτήθηκαν αν το πλάτος ήταν «η απάντηση σε κάποια συγκεκριμένη μαθηματική ερώτηση», είπε ο Τρνκά, μεταδιδακτορικός ερευνητής στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνια. «Και είναι», είπε.

Οι Arkani-Hamed και Trnka ανακάλυψαν ότι το πλάτος σκέδασης ισούται με τον όγκο ενός ολοκαίνουργιου μαθηματικού αντικειμένου - του πλάτους. Οι λεπτομέρειες μιας συγκεκριμένης διαδικασίας σκέδασης υπαγορεύουν τη διάσταση και τις όψεις του αντίστοιχου πλάτους. Τα κομμάτια του θετικού Grassmannian που υπολογίζονταν με διαγράμματα στριφογυριστών και στη συνέχεια προστέθηκαν μαζί με το χέρι ήταν δομικά στοιχεία που ταιριάζουν μεταξύ τους μέσα σε αυτό το κόσμημα, ακριβώς όπως τα τρίγωνα ταιριάζουν μεταξύ τους για να σχηματίσουν ένα πολύγωνο.

Όπως τα διαγράμματα στριφογυριστών, τα διαγράμματα Feynman είναι ένας άλλος τρόπος υπολογισμού του όγκου του πλάτους τεμαχίου, αλλά είναι πολύ λιγότερο αποτελεσματικά. «Είναι τοπικά και ενιαία στο χωροχρόνο, αλλά δεν είναι απαραίτητα πολύ βολικά ή καλά προσαρμοσμένα στο σχήμα αυτού του κοσμήματος», είπε ο Skinner. "Η χρήση των διαγραμμάτων Feynman είναι σαν να παίρνεις ένα βάζο Μινγκ και να το σπάς στο πάτωμα."

Οι Arkani-Hamed και Trnka μπόρεσαν να υπολογίσουν απευθείας τον όγκο του πλάτους σε ορισμένες περιπτώσεις, χωρίς να χρησιμοποιήσουν διαγράμματα στριφογυριστών για να υπολογίσουν τους όγκους των κομματιών του. Βρήκαν επίσης ένα «κύριο πλάτος» με άπειρο αριθμό όψεων, ανάλογο με έναν κύκλο σε 2-D, ο οποίος έχει άπειρο αριθμό πλευρών. Ο όγκος του αντιπροσωπεύει, θεωρητικά, το συνολικό πλάτος όλων των φυσικών διεργασιών. Στις όψεις αυτής της κύριας δομής ζουν αμπλιτούεδρα χαμηλότερης διάστασης, τα οποία αντιστοιχούν σε αλληλεπιδράσεις μεταξύ πεπερασμένου αριθμού σωματιδίων.

«Είναι πολύ ισχυρές τεχνικές υπολογισμού, αλλά είναι επίσης απίστευτα υποδηλωτικές», είπε ο Skinner. "Προτείνουν ότι η σκέψη με όρους χωροχρόνου δεν ήταν ο σωστός τρόπος για να γίνει αυτό."

Αναζήτηση για κβαντική βαρύτητα

Η φαινομενικά ασυμβίβαστη σύγκρουση μεταξύ της βαρύτητας και της κβαντικής θεωρίας πεδίου εισέρχεται σε κατάσταση κρίσης στις μαύρες τρύπες. Οι μαύρες τρύπες συσσωρεύουν μια τεράστια ποσότητα μάζας σε έναν εξαιρετικά μικρό χώρο, καθιστώντας τη βαρύτητα σημαντικό παράγοντα στην κβαντική κλίμακα, όπου συνήθως μπορεί να αγνοηθεί. Αναπόφευκτα, είτε η εντοπιότητα είτε η ενότητα είναι η πηγή της σύγκρουσης.

«Έχουμε ενδείξεις ότι και οι δύο ιδέες πρέπει να υλοποιηθούν», είπε ο Αρκάνι-Χαμέντ. "Δεν μπορούν να είναι θεμελιώδη χαρακτηριστικά της επόμενης περιγραφής", όπως η θεωρία της κβαντικής βαρύτητας.

Η θεωρία χορδών, ένα πλαίσιο που αντιμετωπίζει τα σωματίδια ως αόρατα μικρές, δονούμενες χορδές, είναι ένας υποψήφιος για μια θεωρία κβαντικής βαρύτητας που φαίνεται να ισχύει σε καταστάσεις μαύρης τρύπας, αλλά η σχέση της με την πραγματικότητα δεν έχει αποδειχθεί - ή τουλάχιστον προκαλεί σύγχυση. Πρόσφατα, βρέθηκε μια περίεργη δυαδικότητα μεταξύ της θεωρίας χορδών και της κβαντικής θεωρίας πεδίου, υποδεικνύοντας ότι η πρώτη (η οποία περιλαμβάνει τη βαρύτητα) είναι μαθηματικά ισοδύναμη με τη δεύτερη (που όχι) όταν οι δύο θεωρίες περιγράφουν το ίδιο γεγονός σαν να συμβαίνει. σε διαφορετικούς αριθμούς διαστάσεων. Κανείς δεν ξέρει τι να κάνει με αυτή την ανακάλυψη. Αλλά η νέα έρευνα για το αμπλιτούεδρο προτείνει ο χωροχρόνος, και επομένως οι διαστάσεις, μπορεί ούτως ή άλλως να είναι απατηλές.

«Δεν μπορούμε να βασιστούμε στις συνήθεις γνωστές κβαντομηχανικές χωροχρονικές εικόνες της περιγραφής της φυσικής», είπε ο Arkani-Hamed. «Πρέπει να μάθουμε νέους τρόπους να μιλάμε για αυτό. Αυτό το έργο είναι ένα μωρό βήμα προς αυτή την κατεύθυνση.»

Ακόμη και χωρίς ενότητα και εντοπιότητα, η διατύπωση του πλάτους εδρών της κβαντικής θεωρίας πεδίου δεν ενσωματώνει ακόμη τη βαρύτητα. Αλλά οι ερευνητές εργάζονται πάνω σε αυτό. Λένε ότι οι διαδικασίες σκέδασης που περιλαμβάνουν σωματίδια βαρύτητας μπορεί να είναι δυνατόν να περιγραφούν με το πλάτος ή με ένα παρόμοιο γεωμετρικό αντικείμενο. "Μπορεί να είναι στενά συνδεδεμένο, αλλά ελαφρώς διαφορετικό και πιο δύσκολο να βρεθεί", είπε ο Skinner.

Οι φυσικοί πρέπει επίσης να αποδείξουν ότι η νέα γεωμετρική διατύπωση ισχύει για τα ακριβή σωματίδια που είναι γνωστό ότι υπάρχουν στο σύμπαν, αντί για την εξιδανικευμένη θεωρία κβαντικού πεδίου που χρησιμοποίησαν για να την αναπτύξουν, που ονομάζεται μέγιστη υπερσυμμετρική θεωρία Yang-Mills. Αυτό το μοντέλο, το οποίο περιλαμβάνει ένα σωματίδιο «υπερσυνεργάτη» για κάθε γνωστό σωματίδιο και αντιμετωπίζει τον χωροχρόνο ως επίπεδο, «απλώς τυχαίνει να είναι η απλούστερη περίπτωση δοκιμής για αυτά τα νέα εργαλεία», είπε ο Bourjaily. "Ο τρόπος να γενικεύσουμε αυτά τα νέα εργαλεία σε [άλλες] θεωρίες είναι κατανοητός."

Πέρα από το να κάνει τους υπολογισμούς ευκολότερους ή πιθανώς να οδηγεί στην κβαντική βαρύτητα, η ανακάλυψη του αμπλιτούεδρου θα μπορούσε να προκαλέσει μια ακόμη πιο βαθιά μετατόπιση, είπε ο Arkani-Hamed. Δηλαδή, εγκαταλείποντας τον χώρο και τον χρόνο ως θεμελιώδη συστατικά της φύσης και ανακαλύπτοντας πώς η Μεγάλη Έκρηξη και η κοσμολογική εξέλιξη του σύμπαντος προέκυψαν από καθαρή γεωμετρία.

«Κατά μία έννοια, θα βλέπαμε ότι η αλλαγή προκύπτει από τη δομή του αντικειμένου», είπε. «Αλλά δεν είναι από το αντικείμενο που αλλάζει. Το αντικείμενο είναι βασικά διαχρονικό.”

Αν και χρειάζεται περισσότερη δουλειά, πολλοί θεωρητικοί φυσικοί δίνουν μεγάλη προσοχή στις νέες ιδέες.

Το έργο είναι «πολύ απροσδόκητο από πολλές απόψεις», είπε ο Witten, θεωρητικός φυσικός στο Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών. "Το πεδίο εξακολουθεί να αναπτύσσεται πολύ γρήγορα και είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς τι θα συμβεί ή ποια θα είναι τα μαθήματα."

Σημείωση:Αυτό το άρθρο ενημερώθηκε στις 10 Δεκεμβρίου 2013, για να συμπεριλάβει έναν σύνδεσμο προς το πρώτο από μια σειρά εγγράφων σχετικά με το αμπλιτούεδρο.