Ελαστική σύγκρουση δύο μαζών – μπορεί να φανεί Άσκηση

Μια ελαστική σύγκρουση είναι μια σύγκρουση όπου διατηρείται η συνολική ορμή και η συνολική κινητική ενέργεια.

Αυτή η εικόνα δείχνει δύο αντικείμενα Α και Β να ταξιδεύουν το ένα προς το άλλο. Η μάζα του Α είναι m_A και η κίνηση με ταχύτητα V_Ai . Το δεύτερο αντικείμενο έχει μάζα m_B και ταχύτητα V_Bi . Τα δύο αντικείμενα συγκρούονται ελαστικά. Η μάζα Α απομακρύνεται με ταχύτητα V_Af και η μάζα Β έχει τελική ταχύτητα V_Bf .

Δεδομένων αυτών των συνθηκών, τα σχολικά βιβλία δίνουν τους ακόλουθους τύπους για το V_Af και V_Bf .

και

όπου
m_A είναι η μάζα του πρώτου αντικειμένου
V_Ai είναι η αρχική ταχύτητα του πρώτου αντικειμένου
V_Αφ είναι η τελική ταχύτητα του πρώτου αντικειμένου
m_B είναι η μάζα του δεύτερου αντικειμένου
V_Bi είναι η αρχική ταχύτητα του δεύτερου αντικειμένου και
V_Bf είναι η τελική ταχύτητα του δεύτερου αντικειμένου.

Αυτές οι δύο εξισώσεις συχνά απλώς παρουσιάζονται με αυτή τη μορφή στο σχολικό βιβλίο με ελάχιστες ή καθόλου επεξηγήσεις. Πολύ νωρίς στην εκπαίδευσή σας στις Φυσικές Επιστήμες, θα συναντήσετε τη φράση «Μπορεί να φανεί…» ανάμεσα σε δύο βήματα των μαθηματικών ή «αφήστε ως άσκηση για τον μαθητή». Αυτό σχεδόν πάντα μεταφράζεται σε «πρόβλημα εργασίας για το σπίτι». Αυτό το παράδειγμα "Μπορεί να παρουσιαστεί" δείχνει πώς να βρείτε τις τελικές ταχύτητες δύο μαζών μετά από μια ελαστική σύγκρουση.

Αυτή είναι μια εξαγωγή βήμα προς βήμα αυτών των δύο εξισώσεων.

Πρώτον, γνωρίζουμε ότι η συνολική ορμή διατηρείται στη σύγκρουση.

συνολική ορμή πριν από τη σύγκρουση =συνολική ορμή μετά τη σύγκρουση

m_A V_Ai + m_B V_Bi =m_A V_Αφ + m_B V_Bf

Αναδιάταξη αυτής της εξίσωσης έτσι ώστε οι ίδιες μάζες να βρίσκονται στην ίδια πλευρά η μία με την άλλη

m_A V_Ai – m_A V_Αφ =m_B V_Bf – m_B V_Bi

Προσέξτε τις μάζες

m_A (V_Ai – V_Αφ ) =m_B (V_Bf – V_Bi )

Ας ονομάσουμε αυτήν την Εξίσωση 1 και ας επιστρέψουμε σε αυτήν σε ένα λεπτό.

Εφόσον μας είπαν ότι η σύγκρουση ήταν ελαστική, η συνολική κινητική ενέργεια διατηρείται.

κινητική ενέργεια πριν από τη σύγκρουση =κινητική ενέργεια μετά τη συλλογή

½m_A V_Ai + ½m_B V_Bi =½m_A V_Αφ + ½m_B V_Bf

Πολλαπλασιάστε ολόκληρη την εξίσωση επί 2 για να απαλλαγείτε από τους ½ παράγοντες.

m_A V_Ai + m_B V_Bi =m_A V_Αφ + m_B V_Bf

Αναδιάταξη της εξίσωσης έτσι ώστε οι όμοιες μάζες να είναι μαζί.

m_A V_Ai – m_A V_Αφ =m_B V_Bf – m_B V_Bi

Προσέξτε τις κοινές μάζες

m_A (V_Ai – V_Αφ ) =m_B (V_Bf – V_Bi )

Χρησιμοποιήστε τη σχέση «διαφορά μεταξύ δύο τετραγώνων» (a – b) =(a + b)(a – b) για να συνυπολογίσετε τις τετραγωνισμένες ταχύτητες σε κάθε πλευρά.

m_A (V_Ai + V_Αφ )(V_Ai – V_Αφ ) =m_B (V_Bf + V_Bi )(V_Bf – V_Bi )

Τώρα έχουμε δύο εξισώσεις και δύο άγνωστους, V_Af και V_Bf .

Διαιρέστε αυτήν την εξίσωση με την εξίσωση 1 από πριν (η εξίσωση συνολικής ορμής από πάνω) για να πάρετε

Τώρα μπορούμε να ακυρώσουμε τα περισσότερα από αυτά

Αυτό φεύγει

V_Ai + V_Αφ =V_Bf + V_Bi

Επίλυση για V_Af

V_Αφ =V_Bf + V_Bi – V_Ai

Τώρα έχουμε ένα από τα άγνωστά μας όσον αφορά την άλλη άγνωστη μεταβλητή. Συνδέστε το στην αρχική εξίσωση συνολικής ορμής

m_A V_Ai + m_B V_Bi =m_A V_Αφ + m_B V_Bf

m_A V_Ai + m_B V_Bi =m_A (V_Bf + V_Bi – V_Ai ) + m_B V_Bf

Τώρα, λύστε αυτό για την τελική άγνωστη μεταβλητή, V_Bf

m_A V_Ai + m_B V_Bi =m_A V_Bf + m_A V_Bi – m_A V_Ai + m_B V_Bf

αφαιρέστε m_A V_Bi και από τις δύο πλευρές και προσθέστε m_A V_Ai και στις δύο πλευρές

m_A V_Ai + m_B V_Bi – m_A V_Bi + m_A V_Ai =m_A V_Bf + m_B V_Bf

2m_A V_Ai + m_B V_Bi – m_A V_Bi =m_A V_Bf + m_B V_Bf

υπολογίστε τις μάζες

2 m_A V_Ai + (m_B – m_A )V_Bi =(m_A + m_B )V_Bf

Χωρίστε και τις δύο πλευρές κατά (m_A + m_B )

Τώρα γνωρίζουμε την τιμή ενός από τα άγνωστα, V_Bf . Χρησιμοποιήστε το για να βρείτε την άλλη άγνωστη μεταβλητή, V_Af . Νωρίτερα, βρήκαμε

V_Αφ =V_Bf + V_Bi – V_Ai

Συνδέστε το V_Bf μας εξίσωση και λύστε για το V_Af

Ομαδοποιήστε τους όρους με τις ίδιες ταχύτητες

Ο κοινός παρονομαστής και για τις δύο πλευρές είναι (m_A + m_B )

Προσέχετε τα ζώδια σας στο πρώτο μισό των εκφράσεων σε αυτό το βήμα

Τώρα έχουμε λύσει και τα δύο άγνωστα V_Af και V_Bf όσον αφορά τις γνωστές τιμές.

Σημειώστε ότι ταιριάζουν με τις εξισώσεις που έπρεπε να βρούμε.

Αυτό δεν ήταν ένα δύσκολο πρόβλημα, αλλά υπήρχαν μερικά σημεία για να σας ταξιδέψουν.

Πρώτον, όλοι οι συνδρομητές μπορούν να μπερδευτούν αν δεν είστε προσεκτικοί ή τακτοποιημένοι στο χειρόγραφό σας.

Δεύτερον, λάθη υπογραφής. Η αφαίρεση ενός ζεύγους μεταβλητών μέσα σε παρένθεση θα αλλάξει το πρόσημο και στις ΔΥΟ μεταβλητές. Είναι πολύ εύκολο να μετατρέψετε απρόσεκτα – (a + b) σε -a + b αντί για -a – b.

Τέλος, μάθετε τη διαφορά μεταξύ του παράγοντα δύο τετραγώνων. a – b =(a + b)(a – b) είναι ένα εξαιρετικά χρήσιμο κόλπο παραγοντοποίησης όταν προσπαθείτε να ακυρώσετε κάτι από μια εξίσωση.