Λύση:«Τυχαία από ντετερμινισμό»

Οι τελευταίες μας Insight Το παζλ διερεύνησε πώς προκύπτει μια ομαλή, τυχαία κατανομή αντικειμένων σε μια κλασική, ντετερμινιστική μηχανή που ονομάζεται σανίδα Galton ή μηχανή φασολιών. Εξετάσαμε την εσωτερική λειτουργία αυτού παίζοντας με μερικά παζλ. Χρησιμοποίησα επίσης το πιθανοτικό αποτέλεσμα του πίνακα Galton για να προτείνω ότι ίσως οι πιθανοτικές εξισώσεις της κβαντικής μηχανικής προέρχονται από υποκείμενους ντετερμινιστικούς νόμους που μπορεί να μην γνωρίζουμε. Οι αναγνώστες απάντησαν με ενθουσιασμό τόσο στις ερωτήσεις του παζλ όσο και στη φιλοσοφική πρόταση. Ας δούμε πρώτα τις ερωτήσεις του παζλ.

Όπως φαίνεται παρακάτω, η σανίδα Galton αποτελείται από μια όρθια σανίδα με σειρές μανταλάκια που δημιουργούν πολλαπλά μονοπάτια κατά μήκος των οποίων τα μάρμαρα μπορούν να κυλήσουν από πάνω προς τα κάτω. Τα μάρμαρα πέφτουν στην κορυφή και παίρνουν είτε προς τα δεξιά είτε προς τα αριστερά με ίση πιθανότητα όταν συναντούν μανταλάκι. Στο κάτω μέρος, τα μάρμαρα συσσωρεύονται σε ένα σύνολο κάδων και μπορούν να αναπαράγουν το τρίγωνο του Pascal και τις κατανομές Gauss.

Παζλ 1:Οι κάδοι απαιτούν ισότητα!

Φανταστείτε ότι έχετε μια σανίδα Galton του είδους που φαίνεται στην παραπάνω εικόνα. Αυτό έχει κάδους στη θέση της όγδοης σειράς και διαθέτει παραδοσιακά μανταλάκια ίσων πιθανοτήτων. Θέλετε να το τροποποιήσετε έτσι ώστε κάθε κάδος στο κάτω μέρος να μαζεύει ίσο αριθμό μαρμάρων. Ξέρετε ότι θα πρέπει να αντικαταστήσετε μερικά από τα παραδοσιακά μανταλάκια με νέα που κατευθύνουν τα μάρμαρα άνισα προς την αριστερή ή τη δεξιά τους πλευρά. Μπορείτε να επιλέξετε μανταλάκια που κατευθύνουν ένα μάρμαρο εξ ολοκλήρου προς τα αριστερά τους, εξ ολοκλήρου προς τα δεξιά τους ή σε οποιαδήποτε αναλογία μεταξύ αυτών των δύο άκρων.

Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός μανταλιών που θα χρειαστεί να αντικαταστήσετε και με ποια αναλογία αριστερά-δεξιά, προκειμένου να επιτευχθεί ο στόχος της πλήρους ισότητας για όλους τους κάδους;

Ως ερώτηση μπόνους, μπορείτε να εξαγάγετε και να αιτιολογήσετε έναν τύπο που γενικεύει το παραπάνω αποτέλεσμα σε έναν πίνακα Galton οποιουδήποτε μεγέθους;

Ο Rob Corlett απάντησε σωστά σε αυτό το πρόβλημα και η Thana Somsirivattana υπέβαλε μια επίσημη απόδειξη. Αποδεικνύεται ότι μόνο 10 μανταλάκια πρέπει να αντικατασταθούν από τα 28. Τα μανταλάκια αντικατάστασης είναι απλά:Απλώς κατευθύνουν κάθε μάρμαρο που τα χτυπά στα αριστερά τους (μανταλάκια L) ή στα δεξιά τους (μανταλάκια R). Ακολουθώντας τη σύμβαση των Lionel Lincoln και Rob Corlett, μπορούμε να ονομάσουμε τους γόμφους ίσων πιθανοτήτων standard pegs (S). Εδώ είναι η λύση που δείχνει πώς είναι τακτοποιημένα τα μανταλάκια και πώς δρομολογούν 128 μάρμαρα.

Η διάταξη είναι ωραία και κανονική, με τα ανταλλακτικά μανταλάκια κάτω από την αριστερή και τη δεξιά πλευρά.

Όσον αφορά την ερώτηση μπόνους, αυτή η διάταξη γενικεύεται σε άλλες περιπτώσεις για τις οποίες ο αριθμός των δοχείων είναι δύναμη 2. Ο ακόλουθος τύπος προέκυψε αναδρομικά από τον Rob Corlett. Εδώ, p (n ) είναι ο αριθμός των μη τυπικών μανταλιών για έναν πίνακα με n κάδοι:

p (1) =0
p (2) =0
p (n ) =2p (n /2) + n – 2

Έτσι, ο αριθμός των αντικαταστάσεων που απαιτούνται για μια πλακέτα 4 θέσεων είναι 2p (2) + 4 – 2 =2 × 0 + 2 =2. Ο αριθμός για μια ρύθμιση 16 θέσεων θα ήταν 2 × 10 + 16 – 2 =34.

Εάν ο αριθμός των κάδων δεν είναι δύναμη 2, το πρόβλημα γίνεται πολύ πιο δύσκολο. Σύμφωνα με τα λόγια του Rob Corlett, "Αυτό είναι ένα απίστευτα πολύπλοκο πρόβλημα όταν σκάβετε στη δομή!" Χρησιμοποιώντας μια αλγεβρική προσέγγιση, ο Corlett γενίκευσε από τη λύση power-of-2 και εξήγαγε τον ακόλουθο τύπο που αντιπροσωπεύει ένα άνω όριο για τις ελάχιστες αντικαταστάσεις για ένα n -bin board όπου n δεν είναι δύναμη 2:

p (n ) =p (μ ) + p (n – m ) + n – 1

όπου m είναι η μεγαλύτερη δύναμη 2 μικρότερη από το n .

Αποδεικνύεται ότι μπορείτε να κάνετε καλύτερα από αυτό, όπως έδειξε το κορνφλάουερ χρησιμοποιώντας γραμμικό προγραμματισμό για σανίδες διαφορετικών μεγεθών. Το Cornflower δίνει παραδείγματα ελάχιστων λύσεων για τις σανίδες Galton με πέντε, έξι ή επτά κάδους. Ο ελάχιστος αριθμός μανταλιών που πρέπει να αντικατασταθούν για πλακέτες 5 δοχείων είναι πέντε, για πλακέτες 6 δοχείων είναι έξι και για πλακέτες 7 δοχείων είναι οκτώ.

Οι αριθμοί είναι μικρότεροι από τους προβλεπόμενους από τον τύπο επειδή αποδεικνύεται ότι στις παραπάνω περιπτώσεις μπορείτε να αφήσετε τα αρχικά μανταλάκια στα άκρα μιας από τις σειρές. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, είναι δυνατές πολλές διαμορφώσεις ελάχιστης αντικατάστασης, όπως έδειξε αλγεβρικά ο Rob Corlett. Το Cornflower έδωσε επίσης μια συμμετρική λύση για μια εγκατάσταση 12 δοχείων, η οποία έδειξε ότι ο Corlett ήταν μοναδικός.

Συνιστώ να διαβάσετε το υπέροχο έργο αυτών των δύο συντελεστών. Συγχαρητήρια!

Puzzle 2:Twin Peaks

Όπως στο Puzzle 1, ξεκινήστε με έναν παραδοσιακό πίνακα Galton, αλλά αυτή τη φορά έναν με εννέα κάδους στο κάτω μέρος. Πρέπει να το τροποποιήσετε αλλάζοντας τον ελάχιστο αριθμό μανταλιών έτσι ώστε η κατανομή των μαρμάρων στο κάτω μέρος να είναι ως εξής:0, x , 2x , x , 0, x , 2x , x , 0, όπου x αντιπροσωπεύει το 1/8 του συνολικού αριθμού μαρμάρων.

Ο Rob Corlett δίνει την ακόλουθη κομψή λύση, με τα οκτώ ανταλλακτικά μανταλάκια συμμετρικά διατεταγμένα γύρω από τη μέση αυτή τη φορά.

Παζλ 3:Πρόβλεψη ατομικής συμπεριφοράς

Σε αυτήν την εικόνα, θεωρήστε ότι ένα μάρμαρο είχε "drift" 0 εάν βρισκόταν σε μία από τις τέσσερις θέσεις στη σειρά 4 και κατέληγε στην αντίστοιχη θέση στη σειρά 8, όπως φαίνεται από τα βέλη. Εάν κατέληγε σε οποιονδήποτε άλλο κάδο, η τιμή του drift είναι ίση με το τετράγωνο της απόστασης από τον αναμενόμενο κάδο. Έτσι, εάν ένα μάρμαρο ξεκίνησε από την πιο αριστερή θέση στη σειρά 4 και κατέληγε στον κάδο με την ένδειξη 7, έναν κάδο στα αριστερά του αναμενόμενου κάδου του, η μετατόπισή του είναι 1 =1. Αν κατέληξε στον αριστερό κάδο στην τελική σειρά (με την ένδειξη 1), τότε η μετατόπισή της θα ήταν 2 =4. Η μέση μετατόπιση για μια συγκεκριμένη σανίδα Galton είναι η μέση μετατόπιση όλων των μαρμάρων καθώς μετακινούνται από τη σειρά 4 στη σειρά 8.

Ποιο είναι το μέσο drift:

1. Ο αρχικός πίνακας Galton.
2. Η τροποποιημένη πλακέτα Galton από το Puzzle 1.
3. Η τροποποιημένη πλακέτα Galton από το Puzzle 2.

Τις απαντήσεις τις έδωσε για άλλη μια φορά σωστά ο Ρομπ Κόρλετ. Είναι 1, 1,5 και 2,5. Ο Corlett προσφέρει μια έξυπνη συμβουλή που απλοποιεί το πρόβλημα:"Το κόλπο εδώ είναι να παρατηρήσετε ότι μια μπάλα στη σειρά 4 που πέφτει στη σειρά 8 είναι ουσιαστικά ίδια με μια μπάλα που μπαίνει στη σειρά 1 και πέφτει στη σειρά 5."

Τώρα ας συζητήσουμε τα φιλοσοφικά ερωτήματα, τα οποία προκάλεσαν πολλά ενδιαφέροντα σχόλια από τους αναγνώστες. Πριν συζητήσω μερικά από αυτά, θα ήθελα να κάνω δύο σημεία σχετικά με το από πού ερχόμουν.

Πρώτον, η άποψή μου είναι αυτή ενός επιστήμονα που ενδιαφέρεται αποκλειστικά για την αιτιακή αλυσίδα για ένα δεδομένο κβαντικό γεγονός (για παράδειγμα, ένα φωτόνιο που χτυπά ένα συγκεκριμένο σημείο στο μακρινό άκρο ενός πειράματος διπλής σχισμής). Ξέρω ότι υπάρχουν πιθανολογικοί τύποι, αλλά δεν απαντούν σε αυτό που ο John Bell αποκαλούσε αυθόρμητα "beables" - απλά, τι προκαλεί τι. Κάποιος προηγούμενος πρέπει να ώθησε το φωτόνιο σε αυτό το συγκεκριμένο σημείο και κανένα άλλο, είτε πρόκειται για κάτι εσωτερικό του φωτονίου, του περιβάλλοντος, μια σύνθετη αλληλεπίδραση των δύο ή της κατάστασης του σύμπαντος στο συγκεκριμένο κλάσμα του υοκτο δευτερολέπτου που συνέβη το πείραμα Από αυτή την άποψη, η δήλωση του C T Johnson ότι «σε μια άποψη της ομάδας Β, το φωτόνιο βρίσκεται σε ένα τυχαιοποιητικό περιβάλλον» και η δήλωση του Hank Smith ότι «το κβαντικό σύμπαν είναι εγγενώς πιθανολογικό» φαίνεται να μυρίζει μαγεία, ή αλλιώς είναι λογικά ασυνάρτητα. Σίγουρα η τυχαία επιλογή δεν έγινε σε χρόνο μηδέν, χωρίς κανένα προηγούμενο. Εάν μπορούσατε να εξετάσετε το μικροσκοπικό κλάσμα ενός υοκτοδευτερολέπτου που προηγείται της επιλογής του φωτονίου, σίγουρα συνέβη κάτι που οδήγησε σε αυτήν την επιλογή.

Έτσι, και αυτό είναι το δεύτερο σημείο μου, δεν βλέπω πόσο καθαρές τυχαίες επιλογές χωρίς προηγούμενα είναι λογικά δυνατές σε οποιοδήποτε δυνατό σύμπαν. Η κβαντική τυχαιότητα μπορεί να φαίνεται τέλεια και εγγενής μόνο επειδή προκαλείται από προηγούμενα που είναι τάξεις μεγέθους πολύ μικρές για να ελπίζουμε ποτέ να παρατηρήσουμε. Αλλά τα προηγούμενα πρέπει να υπάρχουν. Η τυχαιότητα, όπως και η τυχαιότητα ενός ζευγαριού και όλα τα άλλα τυχαία φαινόμενα, προκαλούνται από την άγνοιά μας. Συμφωνώ με τον Segrimm, ο οποίος απάντησε στο σχόλιο άλλου αναγνώστη:«Συγγνώμη, ένα μεμονωμένο γεγονός καθορίζεται επίσης επειδή το σύμπαν μας δεν δρα τοπικά. Ο προσδιορισμός είναι το αποτέλεσμα όλων των προηγούμενων αλλαγών «εντός και εκτός» του τοπικού φαινομένου. Το γεγονός ότι δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα δεν σημαίνει ότι το αποτέλεσμα δεν έχει καθοριστεί."

Παρεμπιπτόντως, αρκετοί αναγνώστες αναρωτήθηκαν γιατί ονόμασα τις δύο ανταγωνιστικές προοπτικές την ομάδα Ε (Άλμπερτ Αϊνστάιν) και την ομάδα Β (Νιλς Μπορ). Αναφερόμουν στις συζητήσεις που έγιναν στο συνέδριο του Solvay, το οποίο συγκέντρωσε τους κορυφαίους φυσικούς του κόσμου το 1927, αμέσως μετά τη γέννηση της κβαντικής μηχανικής. Οι ηγέτες των δύο αντίθετων απόψεων ήταν ο Αϊνστάιν και ο Μπορ, οι οποίοι μάλωναν με μανία, σηκώνοντας σημεία και αντιθέσεις που έδιναν ο ένας στον άλλο άγρυπνες νύχτες. Τέλος, η προοπτική του Μπορ για την εγγενή τυχαιότητα επικράτησε ως μέρος της αναδυόμενης ερμηνείας της Κοπεγχάγης, ενώ η άποψη του Αϊνστάιν περικλείεται στο περίφημο επιφώνημά του, «Ο Θεός δεν παίζει ζάρια με το σύμπαν». Οι εξέχοντες φυσικοί στην ομάδα του Bohr ήταν πραγματιστές:ο Werner Heisenberg, ο Paul Dirac, ο Wolfgang Pauli και οι περισσότεροι άλλοι. Στην ομάδα του Αϊνστάιν ήταν ο de Broglie και αργότερα ο Bohm και ο Bell. Ο Έρβιν Σρέντινγκερ, του οποίου η περίφημη εξίσωση συνέβαλε στην επίσημη άποψη της ομάδας Β, αργότερα αποστάτησε και υποστήριξε σθεναρά την ομάδα Ε, ειδικά προτείνοντας το κλασικό πείραμα σκέψης της γάτας του Σρέντιγκερ.

Τώρα ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικές από τις φιλοσοφικές απαντήσεις:

Απαντώντας στη δήλωσή μου ότι η ερμηνεία των πολλών κόσμων (MWI) «υποθέτει ότι ολόκληρο το σύμπαν κλωνοποιείται αμέτρητες φορές κάθε φορά που ένα μικροσκοπικό σωματίδιο κάνει μια ασήμαντα διαφορετική επιλογή», ​​ο TJ_3rd πρότεινε να διαβάσω την αρχική διατριβή του Hugh Everett. Σίγουρα, θα ήταν υπέροχο να το κάνουμε, και σας ευχαριστώ για τη σύνδεση! Ωστόσο, δεδομένης της δηλωμένης προοπτικής μου παραπάνω, δεν βλέπω πώς αυτό θα επηρεάσει αυτή τη συζήτηση. Όπως δηλώνει ο TJ_3rd, «Ο Έβερετ μπήκε σε πολλές λεπτομέρειες σχετικά με το πώς η «ερμηνεία πολλών κόσμων» του δεν προβλέπει και δεν μπορεί να προβλέψει μεμονωμένα αποτελέσματα». Αλλά αυτό που προκαλεί το ατομικό αποτέλεσμα είναι ακριβώς αυτό που με ενδιαφέρει. Όσον αφορά την πεποίθησή μου ότι το MWI προτείνει την «κλωνοποίηση» του σύμπαντος και τα σωματίδια να κάνουν «επιλογές», αυτά δεν είναι τα λόγια μου, αλλά αυτά που χρησιμοποίησαν ορισμένοι σύγχρονοι οπαδοί του Everett όπως ο David Deutsch, ο οποίος φαίνεται να πιστεύει ότι πολλά παράλληλα σύμπαντα είτε υπάρχουν είτε στην πραγματικότητα. γίνεται πραγματικότητα. Ξέρω ότι υπάρχουν άλλοι οπαδοί που δεν προσυπογράφουν αυτό - προφανώς, οι «άλλοι» κόσμοι του MWI μπορούν να έχουν δύο διαφορετικές ερμηνείες:πραγματικό ή εξωπραγματικό. Αλλά αν οι κόσμοι είναι εξωπραγματικοί, τότε η διαδικασία Everett είναι απλώς ένα μαθηματικό τεχνούργημα που σας επιτρέπει να φανταστείτε ότι η κβαντική εξέλιξη που περιλαμβάνεται στην εξίσωση Schrödinger είναι η μόνη διεργασία που υπάρχει, και επομένως σώζει τους φυσικούς από τον κόπο με τις ενοχλητικές καταρρεύσεις κυματομορφής. Αλλά αυτό θα είχε νόημα μόνο αν η εξίσωση Schrödinger ήταν μια αληθινή εξίσωση κίνησης. Δεν είναι. Είναι μια πιθανολογική αναπαράσταση, όπως μια κατανομή Gauss είναι μια πιθανολογική αναπαράσταση του αποτελέσματος ενός πίνακα Galton, και ως εκ τούτου πρέπει να αναφέρεται σε ένα σύνολο, αν εξαιρέσετε τη μαγική εγγενή απροσδιοριστία που ανέφερα παραπάνω.

Ο Jon Richfield επισημαίνει το γεγονός ότι υπάρχει διαφορά μεταξύ ντετερμινισμού και αιτιότητας και ότι ο ντετερμινισμός απαιτεί άπειρη ακρίβεια μέτρησης, κάτι που είναι αδύνατο. Συμφωνώ ότι, όπως αποδεικνύει η θεωρία του χάους, ο Pierre-Simon Laplace, ο οποίος υπερασπίστηκε έναν εντελώς ντετερμινιστικό κόσμο, έκανε λάθος ακόμη και με την κλασική έννοια, αλλά ενώ έκανε λάθος προγνωστικά, δεν έκανε λάθος αναδρομικά. Δεδομένων των πιο απλών κλασικών αποτελεσμάτων, μπορείτε να συμπεράνετε με πεπερασμένη ακρίβεια ποιες έπρεπε να είναι οι αρχικές συνθήκες και τα μονοπάτια που οδήγησαν σε αυτό το αποτέλεσμα. Εάν δεν μπορείτε, οι νόμοι σας είναι ελλιπείς. Αλλά συμφωνώ ότι για το παρόν επιχείρημα, δεν με ενδιαφέρει τόσο ο αυστηρός ντετερμινισμός όσο η αιτιότητα.

Ο Zdeněk Skoupý σχολίασε ότι «αν λύσουμε ρεαλιστικά την «αιτιότητα» της κίνησης των σφαιρών σε όλο και περισσότερες λεπτομέρειες, τότε κατ 'αρχήν δεν μπορούμε να πάμε στο άπειρο - το τέλος είναι στο κβαντικό επίπεδο». Αλλά οι μπάλες είναι αρκετά μεγάλα μακροσκοπικά αντικείμενα που δεν χρειάζεται να πάμε στο κβαντικό επίπεδο για να καθορίσουμε τη συμπεριφορά τους. Νομίζω ότι ο τυχαιοποιητικός φυσικός μηχανισμός που καθορίζει τον τρόπο με τον οποίο πηγαίνει μια μπάλα σε έναν πρακτικό, πραγματικό πίνακα Galton μπορεί να εξηγηθεί πλήρως κλασικά — η κίνησή του, ως μακροσκοπικό αντικείμενο, είναι ουσιαστικά αποκλεισμένη από τον κβαντικό κόσμο.

Η ιδέα του Devin Wesley Harper ότι κάτι σαν την σανίδα Galton λειτουργεί για να δώσει τα αποτελέσματα της διπλής σχισμής είναι ενδιαφέρουσα. Ωστόσο, πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι έχει αποδειχθεί πειστικά ότι το σχέδιο διπλής σχισμής είναι ένα σχέδιο παρεμβολής που προκαλείται από κάθε φωτόνιο που παρεμβάλλεται στον εαυτό του. Επίσης, το μοτίβο εμφανίζεται ακόμη και στο κενό. Ντέβιν, η θεωρία σου θα χρειαστεί να εξηγήσει αυτές τις δύο επιφυλάξεις εάν θέλει να είναι επιτυχής. Ενημερώστε μας πώς πάει.

Αυτα για τωρα. Ευχαριστώ όλους όσους σχολίασαν. Εάν κάποιος από εσάς θέλει να συνεχίσει αυτή τη συζήτηση, μπορείτε να το κάνετε στην ενότητα σχολίων εδώ. Σίγουρα θα προσπαθήσω να απαντήσω, έστω και μόνο για να χειροκροτήσω.

Οι Insights αυτού του μήνα Το έπαθλο πηγαίνει στον Rob Corlett. Μια τιμητική αναφορά πηγαίνει στο cornflower — σας ευχαριστώ και πάλι για τη συνεισφορά σας. Συγχαρητήρια!