Πώς μπορεί να προκύψει η τυχαιότητα από τον ντετερμινισμό
Είναι η φύση εγγενώς τυχαία; Σύμφωνα με ορισμένες ερμηνείες της κβαντικής μηχανικής, εξηγεί γιατί δεν μπορούμε να προβλέψουμε με ακρίβεια τις κινήσεις μεμονωμένων σωματιδίων. Στο περίφημο πείραμα της διπλής σχισμής (το οποίο, όπως δήλωσε ο Richard Feynman, «έχει μέσα του την καρδιά της κβαντικής μηχανικής»), δεν μπορούμε να προβλέψουμε πού ακριβώς ένα μεμονωμένο φωτόνιο που περνά από δύο σχισμές θα προσγειωθεί στον φωτοευαίσθητο τοίχο του άλλου πλευρά. Αλλά μπορούμε να κάνουμε εξαιρετικά ακριβείς προβλέψεις για την κατανομή πολλαπλών σωματιδίων, υποδηλώνοντας ότι η φύση μπορεί τελικά να είναι ντετερμινιστική. Πράγματι, μπορούμε να προβλέψουμε με πολλά δεκαδικά ψηφία πώς θα μοιάζει η κατανομή των δισεκατομμυρίων φωτονίων που πυροβολήθηκαν στη διπλή σχισμή.
Αυτή η διχοτόμηση μεταξύ απρόβλεπτης ατομικής συμπεριφοράς και ακριβούς ομαδικής συμπεριφοράς δεν είναι μοναδική στην κβαντική μηχανική. Υπάρχουν πολλές καινοτόμες και παράξενες πτυχές της κβαντικής φυσικής - δυαδικότητα σωματιδίων-κύματος, κβαντική εμπλοκή και η αρχή της αβεβαιότητας, για παράδειγμα - αλλά πιθανοτικές εξισώσεις που δίνουν ακριβείς προβλέψεις για τη συμπεριφορά του συνόλου δεν περιλαμβάνονται σε αυτές. Βλέπουμε αυτό το φαινόμενο όπου αλληλεπιδρούν πολύ μεγάλοι αριθμοί όμοιων στοιχείων, όπως στη θερμοδυναμική, όπου μπορούμε να προβλέψουμε συλλογικά μέτρα όπως η θερμότητα και η πίεση με ακρίβεια, αν και μπορεί να αγνοούμε εντελώς τις διαδρομές που ακολουθούν μεμονωμένα μόρια.
Στο παζλ μας για τον Αύγουστο, συζητήσαμε εάν η τυχαιότητα ή ο ντετερμινισμός βρίσκεται στην καρδιά της κβαντικής μηχανικής, την οποία χαρακτήρισα ως ομάδα Β (Niels Bohr) έναντι της ομάδας E (Άλμπερτ Αϊνστάιν). Η ομάδα Β βλέπει την απρόβλεπτη συμπεριφορά των σωματιδίων ως απόδειξη ότι στο θεμελιώδες επίπεδο του σύμπαντος, ο ντετερμινισμός αντικαθίσταται από την εγγενή, αντικειμενική τυχαιότητα. Η ομάδα Ε υποστηρίζει ότι αυτή η τυχαιότητα είναι απλώς ένα σημάδι της άγνοιάς μας για ένα βαθύτερο επίπεδο ντετερμινιστικής αιτιότητας.
Αυτόν τον μήνα, εξερευνούμε τη συμπεριφορά μιας μηχανικής συσκευής που δείχνει με γλαφυρό τρόπο πώς οι ντετερμινιστικοί νόμοι μπορούν να παράγουν πιθανολογική συμπεριφορά. Είναι γνωστό ως σανίδα Galton, ή μηχανή φασολιών ή quincunx. Όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα, η σανίδα Galton αποτελείται από μια όρθια σανίδα με σειρές μανταλάκια που δημιουργούν πολλαπλά μονοπάτια κατά μήκος των οποίων τα μάρμαρα μπορούν να κυλήσουν από πάνω προς τα κάτω. Τα μάρμαρα πέφτουν στην κορυφή και παίρνουν είτε προς τα δεξιά είτε προς τα αριστερά όταν συναντούν ένα μανταλάκι. Στην παραδοσιακή έκδοση της συσκευής, καθεμία από αυτές τις διαδρομές είναι εξίσου πιθανή σε κάθε μανταλάκι. Στο κάτω μέρος, τα μάρμαρα συσσωρεύονται σε ένα σύνολο κάδων.
Ο αναμενόμενος αριθμός μαρμάρων που συλλέγονται σε κάθε κάτω κάδο από αριστερά προς τα δεξιά αφού διανυθούν όλα τα πιθανά μονοπάτια μία φορά δίνεται από τη διωνυμική κατανομή. Ο συνολικός αριθμός μαρμάρων που απαιτούνται για ένα πλήρες σετ δοκιμών για μια σανίδα Galton με κάδους στη θέση του n Η σειρά δίνεται από το 2 — για την επάνω σειρά (όταν το μάρμαρο πέσει στη συσκευή και έχετε έναν κάδο αντί για το πρώτο μανταλάκι), είναι 2=2 =1, για τη σειρά 2, είναι 2 =2, για τη σειρά 3 είναι 2 =4, και ούτω καθεξής. Δεδομένου ότι υπάρχει πιθανότητα 50-50 το μάρμαρο να πάει αριστερά ή δεξιά σε κάθε μανταλάκι, οι αριθμοί σε κάθε κάδο στην κάτω σειρά δίνουν την ίδια κατανομή που θα περιμένατε από το n − 1 κούμπωμα κέρματος. Έτσι, ένας πίνακας Galton με κάδους στη θέση της πέμπτης σειράς μπορεί να αντιπροσωπεύεται από τέσσερις αναποδογυρίσεις νομισμάτων και θα χρειαστεί να κάνετε 16 δοκιμές τεσσάρων κερμάτων για ένα πλήρες σετ (που αντιστοιχούν σε 16 μάρμαρα). Στους κάδους συλλογής, θα είχατε μάρμαρα που αντιστοιχούν σε μία περίπτωση μηδενικών κεφαλών (και τεσσάρων ουρών), τέσσερις περιπτώσεις ενός κεφαλιού, έξι περιπτώσεων δύο κεφαλών, τέσσερις περιπτώσεων τριών κεφαλών και μία παρουσίας τεσσάρων κεφαλών. (Σημειώστε ότι 16 δοκιμές είναι ο ελάχιστος αριθμός δοκιμών που μπορούν να αποφέρουν τις παραπάνω αναλογίες. Στην πράξη, όσο περισσότερες δοκιμές κάνετε, τόσο πιο κοντά τα αποτελέσματα θα προσεγγίσουν αυτές τις ιδανικές αναλογίες.)
Για έναν πίνακα Galton με οποιονδήποτε δεδομένο αριθμό σειρών, ο αριθμός των διαφορετικών μονοπατιών που μπορεί να ακολουθήσει ένα μάρμαρο για να φτάσει σε έναν κάδο που τοποθετείται σε μια δεδομένη σειρά είναι ακριβώς ίσος με τον αντίστοιχο αριθμό στο τρίγωνο του Pascal (όπως φαίνεται παρακάτω). Καθώς ο αριθμός των σειρών και των δοχείων αυξάνεται, η αναμενόμενη κατανομή των σφαιρών στους κάδους προσεγγίζει την καμπύλη καμπάνας. Έτσι, οι προσομοιώσεις σε υπολογιστή μεγάλων πινάκων Galton μπορούν να απεικονίσουν οπτικά το θεώρημα κεντρικού ορίου, το οποίο δηλώνει ότι το θεωρητικό όριο της διωνυμικής κατανομής είναι η καμπύλη καμπάνας (γνωστή και ως η κατανομή Gauss) καθώς ο αριθμός των κάδων πλησιάζει το άπειρο.
Φυσικά, δεν είναι απαραίτητο τα μανταλάκια να εκτρέπουν τις μπάλες αριστερά ή δεξιά με ίση πιθανότητα. Μπορούμε να κατασκευάσουμε τα μανταλάκια για να πάρουμε οποιαδήποτε πιθανότητα από το 0 στο 1. Αυτό επιτρέπει στον πίνακα Galton να προσομοιώνει διωνυμικές κατανομές που μπορεί να είναι λοξές προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά, καθώς και πολλά άλλα είδη κατανομών. Και αυτό μας φέρνει στο πρώτο μας παζλ.
Παζλ 1:Οι κάδοι απαιτούν ισότητα!
Φανταστείτε ότι έχετε μια σανίδα Galton του είδους που φαίνεται στην παραπάνω εικόνα. Αυτό έχει κάδους στη θέση της 8ης σειράς και διαθέτει παραδοσιακά μανταλάκια ίσων πιθανοτήτων. Θέλετε να το τροποποιήσετε έτσι ώστε κάθε κάδος στο κάτω μέρος να μαζεύει ίσο αριθμό μαρμάρων. Ξέρετε ότι θα πρέπει να αντικαταστήσετε μερικά από τα παραδοσιακά μανταλάκια με νέα που κατευθύνουν τα μάρμαρα άνισα προς την αριστερή ή τη δεξιά τους πλευρά. Μπορείτε να επιλέξετε μανταλάκια που κατευθύνουν ένα μάρμαρο εξ ολοκλήρου προς τα αριστερά τους, εξ ολοκλήρου προς τα δεξιά τους ή σε οποιαδήποτε αναλογία μεταξύ αυτών των δύο άκρων.
Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός μανταλιών που θα χρειαστεί να αντικαταστήσετε και με ποια αναλογία αριστερά-δεξιά, προκειμένου να επιτευχθεί ο στόχος της πλήρους ισότητας για όλους τους κάδους;
Ως ερώτηση μπόνους, μπορείτε να εξαγάγετε και να αιτιολογήσετε έναν τύπο που γενικεύει το παραπάνω αποτέλεσμα σε έναν πίνακα Galton οποιουδήποτε μεγέθους; (Για έναν με περιττό αριθμό κάδων στο κάτω μέρος, η διαφορά στον αριθμό των μαρμάρων όταν συγκρίνετε δύο οποιονδήποτε κάδο μετά από ένα πλήρες σύνολο δοκιμών θα πρέπει να είναι 1 ή 0. Έτσι, για μια σανίδα Galton πέντε σειρών, με πλήρες σετ 2 =16 μάρμαρα, ο αριθμός των μαρμάρων που επιτρέπεται σε κάθε έναν από τους πέντε κάτω κάδους πρέπει να είναι είτε 3 είτε 4.)
Σε μια παραδοσιακή σανίδα Galton, η κατανομή του μαρμάρου σε κάθε σειρά είναι υψηλότερη στο κέντρο και πέφτει προς τα άκρα. Στο επόμενο παζλ, ας προσπαθήσουμε να κάνουμε δύο κορυφές.
Puzzle 2:Twin Peaks
Όπως στο Puzzle 1, ξεκινήστε με έναν παραδοσιακό πίνακα Galton, αλλά αυτή τη φορά έναν με εννέα κάδους στο κάτω μέρος. Πρέπει να το τροποποιήσετε αλλάζοντας τον ελάχιστο αριθμό μανταλιών έτσι ώστε η κατανομή των μαρμάρων στο κάτω μέρος να είναι ως εξής:0, x , 2x , x , 0, x , 2x , x , 0, όπου x αντιπροσωπεύει το 1/8 του συνολικού αριθμού μαρμάρων.
Σε έναν παραδοσιακό πίνακα Galton, η τελική θέση ενός μεμονωμένου μαρμάρου καθώς μετακινείται από τη μεσαία περίπου σειρά προς το κάτω μέρος δεν είναι πολύ προβλέψιμη — θα μπορούσε να καταλήξει σε οποιονδήποτε από τους κάδους. Όπως ίσως έχετε παρατηρήσει, οι τροποποιήσεις που κάναμε στα δύο παραπάνω παζλ έχουν ως αποτέλεσμα οι πίνακες Galton να γίνονται πιο ντετερμινιστικοί από ό,τι πριν. Μπορούμε τώρα να προβλέψουμε την πορεία του μεμονωμένου μαρμάρου με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια. Ας προσπαθήσουμε να ποσοτικοποιήσουμε αυτήν την τάση.
Παζλ 3:Πρόβλεψη ατομικής συμπεριφοράς
Σε αυτήν την εικόνα, θεωρήστε ότι ένα μάρμαρο είχε "drift" 0 εάν βρισκόταν σε μία από τις τέσσερις θέσεις στη σειρά 4 και κατέληγε στην αντίστοιχη θέση στη σειρά 8, όπως φαίνεται από τα βέλη. Εάν κατέληγε σε οποιονδήποτε άλλο κάδο, η τιμή του drift είναι ίση με το τετράγωνο της απόστασης από τον αναμενόμενο κάδο. Έτσι, εάν ένα μάρμαρο ξεκίνησε από την πιο αριστερή θέση στη σειρά 4 και κατέληγε στον κάδο με την ένδειξη 7, έναν κάδο στα αριστερά του αναμενόμενου κάδου του, η μετατόπισή του είναι 1 =1. Αν κατέληξε στον αριστερό κάδο στην τελική σειρά (με την ένδειξη 1), τότε η μετατόπισή της θα ήταν 2 =4. Η μέση μετατόπιση για μια συγκεκριμένη σανίδα Galton είναι η μέση μετατόπιση όλων των μαρμάρων καθώς μετακινούνται από τη σειρά 4 στη σειρά 8.
Ποιο είναι το μέσο drift:
1. Ο αρχικός πίνακας Galton.
2. Η τροποποιημένη πλακέτα Galton από το Puzzle 1.
3. Η τροποποιημένη πλακέτα Galton από το Puzzle 2.
Σε έναν πίνακα Galton στον κλασικό κόσμο, η τυχαιότητα σε κάθε μανταλάκι - η επιλογή του αν το μάρμαρο πηγαίνει αριστερά ή δεξιά - μπορεί είτε να σχεδιαστεί, χρησιμοποιώντας κάποιο τυχαιοποιητικό αναλογικό μηχανισμό σε κάθε μανταλάκι, είτε μπορεί να προέρχεται από λεπτούς παράγοντες, όπως , ίσως, η ακριβής αρχική θέση του μαρμάρου, η γωνία κίνησής του ή ο τρόπος με τον οποίο το μάρμαρο αναπηδά από τις λεπτές ατέλειες της επιφάνειας του μανταλιού. Όλοι αυτοί είναι ντετερμινιστικοί παράγοντες με μια ξεκάθαρη αιτιολογική αλυσίδα που αποφασίζει προς ποια κατεύθυνση πάει το μάρμαρο. Η επιλεγμένη διαδρομή μας φαίνεται τυχαία μόνο λόγω της άγνοιάς μας για αυτές τις λεπτομέρειες. (Ορισμένες σανίδες Galton εξαλείφουν εντελώς την απροσδιοριστία και έχουν σχεδιάσει πύλες που ανατρέπουν την κατάστασή τους μετά από κάθε αλληλεπίδραση, έτσι ώστε να πιέζουν το επόμενο μάρμαρο κάτω από την άλλη διαδρομή.)
Ας το εφαρμόσουμε αυτό στο φιλοσοφικό ερώτημα που αφορά την τυχαιότητα και τον ντετερμινισμό, όπως θα το ερμήνευε η ομάδα Ε. Όπως και με την πλακέτα Galton, πρέπει να υπάρχουν ανάλογες, αν και υποποσοτικές, αιτιακές διεργασίες που καθορίζουν πού θα καταλήξει ένα συγκεκριμένο φωτόνιο στην μακρινή πλευρά ενός πειράματος διπλής σχισμής. Μπορεί να μην γνωρίζουμε ποτέ τι είναι αυτές οι διαδικασίες, αλλά πρέπει να υπάρχουν. Ίσως αυτό να μην έχει πρακτική σημασία, αλλά υπονοεί ότι η πιθανολογική εξίσωση Schrödinger είναι απλώς μια εξίσωση συνόλου όπως η διωνυμική εξίσωση που περιγράφει έναν παραδοσιακό πίνακα Galton. Εάν συμβαίνει αυτό, τότε η εξίσωση δεν έχει προγνωστική αξία για ένα μεμονωμένο σωματίδιο. Αυτό υπονομεύει τη βάση της ερμηνείας των πολλών κόσμων, η οποία υποθέτει ότι ολόκληρο το σύμπαν κλωνοποιείται αμέτρητες φορές κάθε φορά που ένα μικροσκοπικό σωματίδιο κάνει μια ασήμαντα διαφορετική επιλογή. Εάν η εξίσωση περιγράφει απλώς τη συμπεριφορά του συνόλου, αυτό το σενάριο είναι εντελώς περιττό. Είναι σαν να χωρίζεται το σύμπαν κάθε φορά που ένα μάρμαρο πηγαίνει αριστερά ή δεξιά σε έναν πίνακα Galton, μόνο και μόνο επειδή αγνοούμε τις ακριβείς λεπτομέρειες της αλληλεπίδρασης μαρμάρου-μανταλιού. Ποια είναι η απάντησή σας σε αυτήν την απλή εξήγηση, ομάδα Β;
Ευτυχισμένος μπερδεμένος — και φιλοσοφημένος.
Σημείωση του συντάκτη:Ο αναγνώστης που υποβάλλει την πιο ενδιαφέρουσα, δημιουργική ή διορατική λύση (όπως κρίθηκε από τον αρθρογράφο) στην ενότητα σχολίων θα λάβει ένα Quanta Magazine T-shirt ή ένα από τα δύο νέα Quanta βιβλία, Η Αλίκη και ο Μπομπ συναντούν το Τείχος της Φωτιάς ή The Prime Number Conspiracy (επιλογή του νικητή). Και αν θέλετε να προτείνετε ένα αγαπημένο παζλ για μια μελλοντική στήλη Insights, υποβάλετέ το ως σχόλιο παρακάτω, με ευδιάκριτη την ένδειξη «ΝΕΑ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΡΙΦΟΥ». (Δεν θα εμφανιστεί στο διαδίκτυο, επομένως οι λύσεις στο παραπάνω παζλ θα πρέπει να υποβάλλονται ξεχωριστά.)
Λάβετε υπόψη ότι ενδέχεται να κρατήσουμε σχόλια για την πρώτη ή δύο ημέρες για να επιτρέψουμε ανεξάρτητες συνεισφορές από τους αναγνώστες .
