Ένα παιδικό παζλ βοήθησε να ξεκλειδωθούν τα μυστικά του μαγνητισμού
Για λίγους μήνες το 1880, ολόκληρες περιοχές των Ηνωμένων Πολιτειών υπέκυψαν σε έναν εθισμό που δεν είχε ξαναδεί. "Έχει γίνει κυριολεκτικά μια επιδημία σε όλη τη χώρα", έγραψε The Weekly News-Democrat στην Εμπορία του Κάνσας, στις 12 Μαρτίου 1880. «Ολόκληρες πόλεις αποσπώνται η προσοχή και οι άντρες χάνουν τον ύπνο τους και τρελαίνονται γι' αυτό». Η επιδημία εξαπλώθηκε στην Ευρώπη και μέχρι την Αυστραλία και τη Νέα Ζηλανδία.
Η ασθένεια ήταν μια νέα εμμονή:ένα απογοητευτικά απλό μηχανικό παιχνίδι που ονομάζεται το 15-παζλ. Εξακολουθεί να είναι οικείο σήμερα, αποτελείται από ένα πλέγμα τέσσερα προς τέσσερα στο οποίο σύρετε 15 αριθμημένα πλακίδια, προσπαθώντας να βάλετε τους αριθμούς στη σειρά.
Το παιχνίδι φαίνεται γραφικό με τα σημερινά πρότυπα, αλλά το 1880, ήταν όλη η οργή. "Κανένα παιδί δεν είναι πολύ παιδί για να είναι κάτω από τις διασκεδαστικές του δυνάμεις και κανένας άντρας δεν είναι πολύ σφριγηλός ή σε πολύ υψηλό επίπεδο για να ξεφύγει από τη γοητεία του", το News-Democrat έγραψε. Η απογοήτευση, ίσως, προήλθε από το μαθηματικά αποδεδειγμένο γεγονός ότι μόνο οι μισές από τις διαμορφώσεις του παζλ είναι επιλύσιμες (πιθανότατα εν αγνοία του εθισμένου).
Τώρα, σχεδόν 140 χρόνια αργότερα, το παζλ με τα 15 παρουσιάζει ξανά ενδιαφέρον, αυτή τη φορά όχι ως απόσπαση της προσοχής, αλλά ως ένας τρόπος για να κατανοήσουμε ένα φαινομενικά άσχετο και πολύ πιο περίπλοκο παζλ:πώς λειτουργούν οι μαγνήτες.
Οι μόνιμοι μαγνήτες όπως αυτοί στο ψυγείο σας είναι μαγνητικές εξαιτίας ενός φαινομένου που ονομάζεται σιδηρομαγνητισμός. Σε έναν σιδηρομαγνήτη, οι σπιν των ηλεκτρονίων ευθυγραμμίζονται, δημιουργώντας συλλογικά ένα μαγνητικό πεδίο. Πιο συγκεκριμένα, μέταλλα όπως ο σίδηρος, το κοβάλτιο και το νικέλιο επιδεικνύουν πλανόδιο σιδηρομαγνητισμό, ο οποίος αναφέρεται στο γεγονός ότι τα ηλεκτρόνια τους μπορούν να κινούνται ελεύθερα μέσα στο υλικό. Κάθε ηλεκτρόνιο έχει επίσης μια εγγενή μαγνητική ροπή, αλλά για να κατανοήσουμε ακριβώς πώς και γιατί όλες αυτές οι μαγνητικές ροπές ευθυγραμμίζονται σε έναν μαγνήτη απαιτείται ο υπολογισμός των κβαντικών αλληλεπιδράσεων μεταξύ όλων των ηλεκτρονίων, κάτι που είναι απαγορευτικά πολύπλοκο.
"Ο πλανόδιος σιδηρομαγνητισμός είναι στην πραγματικότητα ένα από τα πιο δύσκολα προβλήματα στη θεωρητική φυσική της συμπυκνωμένης ύλης", δήλωσε ο Yi Li, ένας φυσικός στο Πανεπιστήμιο Johns Hopkins.
Αλλά ο Λι και δύο μεταπτυχιακοί φοιτητές, ο Έρικ Μπόμποου και ο Κίτον Στούμπις, μπορεί να είναι λίγο πιο κοντά στην επίλυση του προβλήματος. Χρησιμοποιώντας τα μαθηματικά του παζλ των 15, επέκτειναν ένα γνωστό θεώρημα που περιγράφει μια εξιδανικευμένη περίπτωση πλανόδιου σιδηρομαγνητισμού. Στη νέα τους ανάλυση, που δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Physical Review B , επεκτείνουν το θεώρημα για να εξηγήσουν ένα ευρύτερο και πιο ρεαλιστικό σύστημα, οδηγώντας ενδεχομένως σε ένα πιο αυστηρό μοντέλο του τρόπου λειτουργίας των μαγνητών.
«Αυτό είναι ένα όμορφο χαρτί», είπε ο Daniel Arovas, φυσικός στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Σαν Ντιέγκο. "Ειδικά επειδή τα αυστηρά αποτελέσματα για την περίπτωση των πλανόδιων σιδηρομαγνητών είναι αρκετά λίγα, μου αρέσει πολύ αυτή η δουλειά."
Hole Hop
Στο πιο βασικό επίπεδο, τα ηλεκτρόνια σε ένα μέταλλο πρέπει να τηρούν δύο μεγάλους περιορισμούς. Πρώτον, είναι όλα αρνητικά φορτισμένα, επομένως απωθούν το ένα το άλλο. Επιπλέον, τα ηλεκτρόνια πρέπει να υπακούουν στη λεγόμενη αρχή αποκλεισμού Pauli, η οποία δηλώνει ότι κανένα σωματίδιο δεν μπορεί να καταλάβει την ίδια κβαντική κατάσταση. Αυτό σημαίνει ότι τα ηλεκτρόνια με την ίδια ιδιότητα "σπιν" - η οποία είναι ανάλογη με τη μαγνητική ροπή του ηλεκτρονίου - δεν μπορούν να καταλάβουν την ίδια κβαντική κατάσταση γύρω από ένα άτομο του μετάλλου. Δύο ηλεκτρόνια με αντίθετα σπιν, ωστόσο, μπορούν.
Αποδεικνύεται ότι ο ευκολότερος τρόπος για ένα σύνολο ελεύθερα κινούμενων ηλεκτρονίων να ικανοποιήσει τόσο την αμοιβαία απώθησή τους όσο και τους περιορισμούς της αρχής αποκλεισμού Pauli είναι να παραμείνουν χωριστά και να ευθυγραμμιστούν οι περιστροφές τους — και έτσι να γίνουν σιδηρομαγνητικά.
Αλλά αυτό είναι απλώς ένα απλοποιημένο σκίτσο. Αυτό που διέφευγαν οι φυσικοί είναι ένα λεπτομερές μοντέλο του πώς αναδύεται ένα τέτοιο οργανωμένο μοτίβο ευθυγραμμισμένων σπιν από τις αμέτρητες κβαντικές αλληλεπιδράσεις μεταξύ μεμονωμένων ηλεκτρονίων. Για παράδειγμα, εξήγησε ο Li, η κυματική συνάρτηση ενός ηλεκτρονίου - η σύνθετη μαθηματική περιγραφή των κβαντικών ιδιοτήτων του - μπορεί να μπλέξει με την κυματική συνάρτηση ενός άλλου ηλεκτρονίου. Για να κατανοήσετε πλήρως πώς η συμπεριφορά των μεμονωμένων σωματιδίων οδηγεί στο συλλογικό φαινόμενο του σιδηρομαγνητισμού, θα πρέπει να παρακολουθείτε την κυματική συνάρτηση κάθε ηλεκτρονίου σε ένα σύστημα καθώς αναδιαμορφώνει συνεχώς την κυματική συνάρτηση κάθε άλλου ηλεκτρονίου μέσω των αμοιβαίων αλληλεπιδράσεων τους. Στην πράξη, αυτή η εκτεταμένη εμπλοκή καθιστά αδύνατη την καταγραφή των πλήρεις, αυστηρές εξισώσεις που απαιτούνται για την περιγραφή του σιδηρομαγνητισμού.
Αντίθετα, φυσικοί όπως ο Λι προσπαθούν να συλλέξουν διορατικότητα μελετώντας απλούστερα εξιδανικευμένα μοντέλα που αποτυπώνουν την υποκείμενη φυσική του σιδηρομαγνητισμού. Συγκεκριμένα, η πρόσφατη δουλειά της επεκτείνεται σε μια ανακάλυψη ορόσημο που έγινε πριν από περισσότερα από 50 χρόνια.
Στα μέσα της δεκαετίας του 1960, δύο φυσικοί που προανήγγειλαν από αντίθετες πλευρές της υδρογείου άντλησαν ανεξάρτητα μια απόδειξη που εξηγούσε γιατί τα ηλεκτρόνια πρέπει να ευθυγραμμιστούν και να δημιουργήσουν μια σιδηρομαγνητική κατάσταση. Ο David Thouless, ένας φυσικός τότε στο Πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ που θα κέρδιζε το βραβείο Νόμπελ το 2016, και ο Yosuke Nagaoka, ένας φυσικός που επισκέφτηκε το Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Σαν Ντιέγκο, από το Πανεπιστήμιο της Ναγκόγια εκείνη την εποχή, δημοσίευσαν τις αποδείξεις τους το 1965 και το 1966 , αντίστοιχα. Το αποτέλεσμά τους, που ονομάζεται θεώρημα Nagaoka-Thouless (επίσης θεώρημα Nagaoka), βασίζεται σε ένα εξιδανικευμένο σύστημα ηλεκτρονίων σε ένα ατομικό πλέγμα. Έτσι, ενώ δεν εξήγησε τους μαγνήτες του πραγματικού κόσμου, ήταν εντούτοις σημαντικό επειδή έδειξε, για πρώτη φορά, κατ' αρχήν γιατί τα σπιν ηλεκτρονίων πρέπει να ευθυγραμμίζονται. Και επειδή οι αναλύσεις τους ήταν μαθηματικές αποδείξεις, ήταν ακριβείς, χωρίς να επιβαρύνονται από τις τυπικές προσεγγίσεις στη φυσική.
Για να κατανοήσετε το θεώρημα, φανταστείτε ένα δισδιάστατο τετράγωνο πλέγμα. Κάθε κορυφή μπορεί να φιλοξενήσει δύο ηλεκτρόνια αντίθετων σπιν, αλλά το θεώρημα υποθέτει ότι θα απαιτούσε άπειρη ποσότητα ενέργειας για δύο ηλεκτρόνια να καταλάβουν μια ενιαία θέση. Αυτό διασφαλίζει ότι μόνο ένα ηλεκτρόνιο βρίσκεται σε κάθε σχισμή. Σε αυτή τη διαμόρφωση, κάθε ηλεκτρόνιο μπορεί να περιστρέφεται είτε προς τα πάνω είτε προς τα κάτω. Δεν χρειάζεται να είναι ευθυγραμμισμένα, επομένως το σύστημα δεν είναι απαραίτητα σιδηρομαγνητικό.
Τώρα αφαιρέστε ένα ηλεκτρόνιο. Αυτό που μένει είναι μια κενή θέση που ονομάζεται τρύπα. Ένα παρακείμενο ηλεκτρόνιο μπορεί να γλιστρήσει μέσα στην οπή, αφήνοντας πίσω μια άλλη κενή θέση. Ένα άλλο ηλεκτρόνιο μπορεί να εισχωρήσει στο νέο άνοιγμα και να αφήσει πίσω του μια άλλη νέα τρύπα. Με αυτόν τον τρόπο, η τρύπα μεταπηδά αποτελεσματικά από το ένα σημείο στο άλλο, γυρίζοντας γύρω από το πλέγμα. Οι Thouless και Nagaoka διαπίστωσαν ότι σε αυτό το σενάριο, με την προσθήκη μιας μόνο οπής, τα ηλεκτρόνια θα ευθυγραμμίζονταν αυθόρμητα. Αυτή ήταν, απέδειξαν, η χαμηλότερη ενεργειακή κατάσταση, η οποία είναι σιδηρομαγνητική.
Για να είναι το σύστημα στη χαμηλότερη ενεργειακή κατάσταση, εξήγησε ο Arovas, η τρύπα πρέπει να είναι ελεύθερη να περιφέρεται χωρίς να διαταράσσεται η διαμόρφωση των σπιν ηλεκτρονίων - μια διαδικασία που θα απαιτούσε επιπλέον ενέργεια. Ωστόσο, καθώς η τρύπα κινείται, τα ηλεκτρόνια κινούνται επίσης γύρω. Για να κινούνται τα ηλεκτρόνια χωρίς να αλλοιώνεται η διαμόρφωση των σπιν, τα ηλεκτρόνια πρέπει να είναι ευθυγραμμισμένα.
«Το θεώρημα της Nagaoka είναι ένα από τα λίγα παραδείγματα με τα οποία μπορείτε να αποδείξετε μαθηματικά περιπτώσεις σιδηρομαγνητισμού», δήλωσε ο Masaki Oshikawa, φυσικός στο Πανεπιστήμιο του Τόκιο. "Αλλά από φυσική άποψη, είναι πολύ τεχνητό."
Για παράδειγμα, κοστίζει πολλή ενέργεια για δύο ηλεκτρόνια να ξεπεράσουν την αμοιβαία απώθησή τους και να εγκατασταθούν στην ίδια θέση — αλλά όχι άπειρη ενέργεια, όπως απαιτεί το θεώρημα. Η εικόνα Nagaoka-Thouless ισχύει επίσης μόνο για απλά πλέγματα:δισδιάστατα πλέγματα τετραγώνων ή τριγώνων ή ένα τρισδιάστατο κυβικό πλέγμα. Στη φύση, ωστόσο, ο σιδηρομαγνητισμός εμφανίζεται σε πολλά μέταλλα με όλα τα είδη δομών.
Εάν το θεώρημα Nagaoka-Thouless εξηγεί πραγματικά τον σιδηρομαγνητισμό, τότε θα πρέπει να ισχύει για όλα τα πλέγματα. Οι άνθρωποι υπέθεσαν ότι αυτό ήταν πιθανό να συνέβαινε, είπε ο Λι. «Αλλά κανείς δεν έδωσε πραγματικά ξεκάθαρη απόδειξη». Δηλαδή μέχρι τώρα.
Πλακίδια περιστροφής
Το 1989, ο Hal Tasaki, ένας φυσικός στο Πανεπιστήμιο Gakushuin της Ιαπωνίας, επέκτεινε κάπως το θεώρημα, διαπιστώνοντας ότι θα ισχύει εφόσον ένα πλέγμα έχει μια μαθηματική ιδιότητα που ονομάζεται συνδεσιμότητα. Πάρτε την απλή περίπτωση ενός τετράγωνου πλέγματος με μία κινούμενη τρύπα. Εάν, αφού μετακινήσετε την τρύπα, μπορείτε να δημιουργήσετε κάθε διαμόρφωση περιστροφών διατηρώντας παράλληλα τον αριθμό των ηλεκτρονίων spin-up και spin-down, τότε η συνθήκη συνδεσιμότητας ικανοποιείται.
Αλλά εκτός από τα τετράγωνα και τριγωνικά πλέγματα και τα τρισδιάστατα κυβικά, δεν ήταν σαφές εάν η συνθήκη συνδεσιμότητας θα ικανοποιούνταν σε άλλες περιπτώσεις — και επομένως εάν το θεώρημα ισχύει γενικότερα.
Για να αντιμετωπίσει αυτό το ερώτημα, ο Li ξεκίνησε εστιάζοντας στο εξάπλευρο πλέγμα κηρήθρας. Καθώς οι μαθητές της, Bobrow και Stubis, εργάζονταν πάνω στο πρόβλημα, συνειδητοποίησαν ότι έμοιαζε με αυτή την εμμονή του 19ου αιώνα:το παζλ των 15. Απλώς αλλάξτε τις ετικέτες στα πλακίδια από αριθμούς σε περιστροφές προς τα πάνω ή προς τα κάτω και το παζλ θα γίνει ισοδύναμο με έναν σιδηρομαγνήτη Nagaoka, με μια τρύπα που κινείται μέσα από ένα πλέγμα ηλεκτρονίων.
Το παζλ λύνεται όταν μπορείτε να αναδιατάξετε τα πλακίδια για να δημιουργήσετε όποια σειρά θέλετε, αυτό ακριβώς είναι το νόημα της συνθήκης συνδεσιμότητας. Επομένως, εάν η συνθήκη συνδεσιμότητας ικανοποιείται για ένα δεδομένο πλέγμα, αποτελεί ζήτημα αν ένα ισοδύναμο παζλ με αυτήν τη δομή πλέγματος είναι επιλύσιμο.
Αποδεικνύεται ότι το 1974, ένας μαθηματικός ονόματι Richard Wilson, τώρα στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνια, το είχε καταλάβει, γενικεύοντας και λύνοντας το παζλ των 15 για όλα τα πλέγματα. Ως μέρος της απόδειξής του, έδειξε ότι σχεδόν για όλα τα μη διαχωρισμένα πλέγματα (τα οποία είναι εκείνα των οποίων οι κορυφές παραμένουν συνδεδεμένες ακόμη και μετά την αφαίρεση μιας κορυφής), μπορείτε να σύρετε τα πλακίδια και να λάβετε οποιαδήποτε διαμόρφωση θέλετε, αρκεί να κάνετε έναν ζυγό αριθμό των κινήσεων. Οι μόνες εξαιρέσεις είναι μεμονωμένα πολύγωνα μεγαλύτερα από ένα τρίγωνο και κάτι που ονομάζεται θ0 ("θήτα μηδέν") γράφημα, στο οποίο μια κορυφή στο κέντρο ενός εξαγώνου συνδέεται με δύο αντίθετες κορυφές.
Οι ερευνητές θα μπορούσαν στη συνέχεια να εφαρμόσουν απευθείας τα αποτελέσματα της απόδειξης του Wilson στο θεώρημα Nagaoka-Thouless. Για ένα σύστημα ηλεκτρονίων και μια ενιαία οπή, απέδειξαν ότι η συνθήκη συνδεσιμότητας ικανοποιείται για όλα σχεδόν τα πλέγματα, συμπεριλαμβανομένων κοινών δομών όπως η δισδιάστατη κηρήθρα και τα τρισδιάστατα δικτυώματα διαμαντιών. Οι δύο εξαιρέσεις — πολύγωνα μεγαλύτερα από ένα τρίγωνο και το θ0 γράφημα — δεν είναι δομές που θα βρείτε ούτως ή άλλως σε ένα ρεαλιστικό σιδηρομαγνητικό.
Έκρηξη τρύπας
Η χρήση του παζλ με τα 15 είναι μια φρέσκια και δυνητικά γόνιμη προσέγγιση, είπε ο Σριράμ Σάστρυ, φυσικός στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στη Σάντα Κρουζ. «Μου αρέσει το γεγονός ότι έφεραν σε νέα γλώσσα, ένα νέο σύνολο συνδέσεων με τη θεωρία γραφημάτων», είπε. "Η σύνδεση νομίζω ότι είναι πλούσια - μπορεί να είναι μια πλούσια πηγή γνώσεων στο μέλλον." Ωστόσο, ενώ η μελέτη κάνει ένα σημαντικό βήμα προς τα εμπρός, τα προβλήματα παραμένουν.
Μια περιπλοκή είναι ότι το θεώρημα Nagaoka-Thouless δεν λειτουργεί πάντα όταν η κινούμενη τρύπα πρέπει να κάνει μονό αριθμό βημάτων καθώς περιστρέφεται γύρω από ένα πλέγμα, είπε ο Shastry. Ίσως το πιο κραυγαλέο πρόβλημα, ωστόσο, είναι ότι το θεώρημα απαιτεί την παρουσία ακριβώς μιας τρύπας — ούτε περισσότερη, ούτε λιγότερη. Στα μέταλλα, ωστόσο, οι τρύπες είναι άφθονες, γεμίζοντας συχνά το μισό πλέγμα.
Αλλά οι φυσικοί προσπάθησαν να γενικεύσουν το θεώρημα σε συστήματα πολλαπλών οπών. Χρησιμοποιώντας αριθμητικούς υπολογισμούς, οι φυσικοί έχουν δείξει ότι ο σιδηρομαγνητισμός Nagaoka φαίνεται να λειτουργεί για ένα τετράγωνο πλέγμα πεπερασμένου μεγέθους που είναι έως και 30 τοις εκατό γεμάτο με τρύπες. Στην τρέχουσα εργασία, οι ερευνητές εφάρμοσαν ακριβείς αναλυτικές τεχνικές στο δισδιάστατο πλέγμα της κηρήθρας και στο τρισδιάστατο πλέγμα με διαμάντια. Ο σιδηρομαγνητισμός Nagaoka φαίνεται να υφίσταται εφόσον ο αριθμός των οπών είναι μικρότερος από τον αριθμό των δικτυακών τοποθεσιών που έχουν αυξηθεί στο 1/2 ισχύος για την κηρήθρα ή στα 2/5 για το διαμάντι.
Αυτές οι ακριβείς λύσεις θα μπορούσαν να οδηγήσουν σε ένα πιο ολοκληρωμένο μοντέλο πλανόδιου σιδηρομαγνητισμού. "Αυτό είναι μόνο ένα μικρό βήμα προς τα εμπρός για τη δημιουργία ενός αυστηρού μαθηματικού σημείου εκκίνησης για μελλοντική μελέτη", είπε ο Λι.
Αυτό το άρθρο ανατυπώθηκε στις Wired.com .
