Το Universal Pattern εξηγεί γιατί τα υλικά συμπεριφέρονται

Σε ένα σύρμα, τα ηλεκτρόνια αναπηδούν το ένα το άλλο με τόσο περίπλοκο τρόπο που δεν υπάρχει τρόπος να παρακολουθήσετε ακριβώς αυτό που συμβαίνει.

Όμως τα τελευταία 50 χρόνια, οι μαθηματικοί και οι φυσικοί έχουν αρχίσει να αντιλαμβάνονται ότι αυτή η χιονοθύελλα κινήσεων εγκαθίσταται σε κομψά στατιστικά μοτίβα. Η κίνηση των ηλεκτρονίων παίρνει ένα στατιστικό σχήμα σε έναν αγωγό και ένα διαφορετικό στατιστικό σχήμα σε έναν μονωτή.

Αυτό, τουλάχιστον, ήταν το προαίσθημα. Τον τελευταίο μισό αιώνα, οι μαθηματικοί αναζητούσαν μαθηματικά μοντέλα που το επιβεβαιώνουν. Προσπαθούν να αποδείξουν ότι αυτή η όμορφη στατιστική εικόνα πραγματικά ισχύει απόλυτα.

Και σε μια εφημερίδα που δημοσιεύτηκε στο Διαδίκτυο το περασμένο καλοκαίρι, μια τριάδα μαθηματικών έχει φτάσει όσο πιο κοντά στο να το κάνει. Σε αυτή την εργασία, ο Paul Bourgade του Πανεπιστημίου της Νέας Υόρκης, ο Horng-Tzer Yau του Πανεπιστημίου του Χάρβαρντ και ο Jun Yin του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια, στο Λος Άντζελες, αποδεικνύουν την ύπαρξη μιας μαθηματικής υπογραφής που ονομάζεται «καθολικότητα» που πιστοποιεί ότι ένα υλικό άγει ηλεκτρισμό.

«Αυτό που δείχνουν, που νομίζω ότι είναι μια σημαντική ανακάλυψη μαθηματικά… είναι ότι πρώτα έχεις αγωγιμότητα και δεύτερον [έχεις] καθολικότητα», είπε ο Τομ Σπένσερ, μαθηματικός στο Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών στο Πρίνστον του Νιου Τζέρσεϊ.

Το έγγραφο είναι η τελευταία επικύρωση ενός μεγάλου οράματος για την κβαντική φυσική που παρουσιάστηκε τη δεκαετία του 1960 από τον διάσημο φυσικό Eugene Wigner. Ο Wigner κατάλαβε ότι οι κβαντικές αλληλεπιδράσεις είναι πολύ περίπλοκες για να περιγραφούν επακριβώς, αλλά ήλπιζε ότι η ουσία αυτών των αλληλεπιδράσεων θα αναδυόταν σε ευρείες στατιστικές πινελιές.

Αυτή η νέα εργασία αποδεικνύει ότι, σε βαθμό που θα μπορούσε να εκπλήξει ακόμη και τον Wigner, η ελπίδα του ήταν βάσιμη.

Παγκόσμια παράξενη

Ακόμη και φαινομενικά μεμονωμένα και άσχετα γεγονότα μπορεί να εμπίπτουν σε ένα προβλέψιμο στατιστικό πρότυπο. Πάρτε για παράδειγμα την πράξη του φόνου. Το στιφάδο περιστάσεων και συναισθημάτων που συνδυάζονται για να οδηγήσουν ένα άτομο να σκοτώσει ένα άλλο είναι μοναδικό για κάθε έγκλημα. Και όμως κάποιος που παρατηρεί στατιστικά στοιχεία για την εγκληματικότητα στη ζέστη ενός αστικού καλοκαιριού μπορεί να προβλέψει με μεγάλη ακρίβεια πότε θα πέσει το επόμενο σώμα.

Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τύποι στατιστικών προτύπων που μπορούν να ακολουθήσουν ανεξάρτητα γεγονότα. Το πιο διάσημο στατιστικό μοτίβο από όλα είναι η κανονική κατανομή, η οποία παίρνει το σχήμα καμπύλης καμπάνας και περιγράφει τη στατιστική κατανομή ενός ευρέος φάσματος ασύνδετων γεγονότων (όπως ύψη σε έναν πληθυσμό ή βαθμολογίες στο SAT). Υπάρχει επίσης ο νόμος του Zipf, ο οποίος περιγράφει τα σχετικά μεγέθη των μεγαλύτερων αριθμών σε ένα σύνολο δεδομένων, και ο νόμος του Benford, ο οποίος χαρακτηρίζει την κατανομή των πρώτων ψηφίων στους αριθμούς σε ένα σύνολο δεδομένων.

Στη δεκαετία του 1950, ο Wigner αντιμετώπισε ένα πρόβλημα και χρειαζόταν τη βοήθεια ενός νέου στατιστικού προτύπου για να το λύσει. Πάνω από μια δεκαετία αφότου βοήθησε στην έναρξη του Έργου Μανχάταν, ήθελε να μοντελοποιήσει τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των εκατοντάδων σωματιδίων μέσα στον πυρήνα του ουρανίου. Το πρόβλημα ήταν πολύ περίπλοκο για να αντιμετωπιστεί άμεσα.

«Ένας μεγάλος πυρήνας είναι πολύπλοκο πράγμα. δεν έχουμε ιδέα πώς να το κατανοήσουμε από τις πρώτες αρχές», είπε ο Spencer.

Έτσι ο Wigner απλοποίησε το πρόβλημα:Αγνόησε μεμονωμένες αλληλεπιδράσεις σωματιδίων, οι οποίες ήταν πολύ δύσκολο να χαρτογραφηθούν, και αντ' αυτού εστίασε στη μέση στατιστική συμπεριφορά ολόκληρου του συστήματος, το οποίο ήταν πιο ανιχνεύσιμο.

Ο Wigner υλοποίησε αυτή την εικόνα χρησιμοποιώντας ένα πλέγμα αριθμών που καθορίζει τον τρόπο αλληλεπίδρασης των σωματιδίων. Αυτό το πλέγμα είναι γνωστό ως μήτρα. Είναι σαν ένα τεχνικό παράρτημα για την εξίσωση Schrödinger, η οποία είναι η εξίσωση που χρησιμοποιείται για να περιγράψει τη συμπεριφορά των υποατομικών σωματιδίων. Καθορίζοντας ακριβώς τους αριθμούς στον πίνακα, προσδιορίζετε ακριβώς τις αλληλεπιδράσεις.

Ο Wigner δεν μπορούσε να το κάνει αυτό, οπότε αντ' αυτού γέμισε τη μήτρα με τυχαίους αριθμούς. Ήλπιζε ότι αυτή η απλούστευση θα του επέτρεπε να προχωρήσει στους υπολογισμούς του, παρέχοντας παράλληλα μια χρήσιμη περιγραφή του πυρήνα του ουρανίου στο τέλος.

Πράγμα που έγινε. Ο Wigner διαπίστωσε ότι ήταν σε θέση να εξαγάγει ένα μοτίβο από τον «τυχαίο» πίνακα του. Το μοτίβο περιλάμβανε ένα δεύτερο στρώμα αριθμών που ονομάζονται ιδιοτιμές, που είναι σαν το DNA μιας μήτρας. Παραδόξως, ο τυχαίος πίνακας του είχε συσχετισμένες ιδιοτιμές. Σε μια αριθμητική γραμμή, οι ιδιοτιμές φαινόταν να παρουσιάζουν μια κάπως κανονική απόσταση - ποτέ δεν συγκεντρώνονταν μαζί ούτε απέχουν πολύ μεταξύ τους. Ήταν σχεδόν σαν να ήταν μαγνήτες, που έσπρωχναν ο ένας τον άλλον σε μια ομοιόμορφη απόσταση. Η κατανομή που προκύπτει αναφέρεται τώρα συχνά ως κατανομή Wigner-Dyson-Mehta (μετά από τους τρεις φυσικούς που συνέβαλαν στην ανακάλυψή της). Περιγράφει ένα φαινόμενο που ονομάζεται καθολικότητα.

Για να αποκτήσετε μια αίσθηση οικουμενικότητας, σκεφτείτε πόσο ψηλοί είναι οι άνθρωποι. Στον πραγματικό κόσμο, αν ξεκινούσατε να μαζεύετε άτομα δύο τη φορά από ένα πλήθος στην Times Square, υπάρχει εύλογη πιθανότητα να βρείτε ζευγάρια ανθρώπων με περίπου το ίδιο ύψος. Αλλά αν τα ύψη σε έναν πληθυσμό ακολουθούσαν την κατανομή Wigner-Dyson-Mehta, δεν θα περιμένατε καθόλου από δύο τυχαία επιλεγμένα άτομα να έχουν παρόμοια ύψη. Τα ύψη θα συσχετίζονται με τέτοιο τρόπο ώστε το ύψος του πρώτου ατόμου να είναι πάντα διαφορετικό από το ύψος του δεύτερου ατόμου.

Η καθολικότητα περιγράφει πολλά διαφορετικά είδη πραγμάτων:τη συχνότητα και το μέγεθος των χιονοστιβάδων, το χρονοδιάγραμμα των λεωφορείων σε αποκεντρωμένα συστήματα μεταφοράς, ακόμη και την απόσταση των κυττάρων στον αμφιβληστροειδή χιτώνα ενός κοτόπουλου. Αφορά, γενικά, σε πολύπλοκα, συσχετισμένα συστήματα.

Η εμπειρία του Wigner με τη μοντελοποίηση του πυρήνα του ουρανίου τον οδήγησε να υποθέσει ότι οι τυχαίες μήτρες θα πρέπει να είναι σε θέση να περιγράφουν οποιοδήποτε κβαντικό σύστημα στο οποίο τα σωματίδια συσχετίζονται μεταξύ τους (που σημαίνει ότι όλα τα σωματίδια επηρεάζουν τα άλλα). "Το υπέροχο όραμα του Wigner ήταν ότι πίστευε ότι μπορείτε να πάρετε οποιοδήποτε κβαντικό σύστημα και εάν είναι πολύ συσχετισμένο, τότε [η κατανομή ιδιοτιμών] του θα είναι παρόμοια με τυχαίους πίνακες", είπε ο Yau.

(Αργότερα οι ερευνητές άρθρωσαν την άλλη πλευρά της εικόνας:Υπέθεσαν ότι όταν τα σωματίδια στο φυσικό σύστημα κινούνται με ασύνδετο τρόπο, όπως κάνουν σε έναν μονωτή, οι ιδιοτιμές θα πρέπει να εμπίπτουν στην κατανομή «Poisson», η οποία σχετίζεται με την κανονική κατανομή.)

Όταν τα υλικά αγώγουν, είναι ακριβώς επειδή τα ηλεκτρόνια τους αλληλεπιδρούν με έναν συσχετισμένο τρόπο - κινούνται μαζί σαν να βρίσκονται σε κλειστό βήμα, μεταφέροντας το ηλεκτρικό ρεύμα. Έτσι, η εικασία του Wigner έδειξε ότι εάν οι ιδιοτιμές ενός κβαντικού συστήματος παρουσίαζαν καθολικότητα, θα ήταν απόδειξη ότι τα σωματίδια μέσα στο σύστημα αλληλεπιδρούσαν με συσχετισμένο τρόπο, και επομένως ότι το σύστημα ήταν αγωγός.

Οι μαθηματικοί και οι φυσικοί άρχισαν να συμπληρώνουν τις λεπτομέρειες του οράματός του σχεδόν αμέσως, αλλά θα χρειαζόταν μισός αιώνας για να αρχίσουν οι μαθηματικοί να αποδεικνύουν γεγονότα σχετικά με τα στατιστικά στοιχεία των αγωγών σε πραγματικές συνθήκες.

Broken Simplicity

Όταν οι μαθηματικοί δημιουργούν μοντέλα φυσικών συστημάτων, θα ήθελαν αυτά τα μοντέλα να είναι όσο το δυνατόν πιο ρεαλιστικά. Το μοντέλο του Wigner για τον πυρήνα του ουρανίου δεν ήταν πολύ ρεαλιστικό για τους αγωγούς από μία άποψη:Περιλάμβανε την υπόθεση ότι κάθε σωματίδιο ήταν εξίσου πιθανό να αλληλεπιδράσει με κάθε άλλο σωματίδιο. Το μοντέλο δεν έλαβε υπόψη το γεγονός ότι σε ένα υλικό, τα σωματίδια που είναι πιο κοντά μεταξύ τους είναι πιο πιθανό να αλληλεπιδράσουν από τα σωματίδια που είναι πιο μακριά μεταξύ τους. "Επειδή τα σωματίδια στο σύστημά του είναι όλα στενά περιορισμένα σε αυτή τη μικρή περιοχή που ονομάζεται πυρήνας, κάθε τύπος αλληλεπιδρά με κάθε άλλο τύπο και ο Wigner δεν έλαβε υπόψη καμία χωρική δομή", είπε ο Spencer.

Τα φυσικά μοντέλα που δεν λαμβάνουν υπόψη την απόσταση μεταξύ των σωματιδίων ονομάζονται μοντέλα «μέσου πεδίου». Είναι πιο απλό να δουλέψεις, αλλά πιο στενά συνδεδεμένα με τον φυσικό κόσμο.

«Δεν υπάρχουν ζητήματα γεωμετρίας. κάνουμε την τεράστια απλοποίηση ότι όλα τα άτομα στο μέσο σας αλληλεπιδρούν με όλους με τον ίδιο τρόπο», είπε ο Bourgade.

Σε δύο εργασίες που δημοσιεύθηκαν πριν από μια δεκαετία, οι μαθηματικοί απέδειξαν ότι οι ιδιοτιμές για αγώγιμα υλικά ακολουθούν το καθολικό πρότυπο του Wigner — αλλά η απόδειξη ισχύει μόνο για το μοντέλο μέσου πεδίου. Αυτό άφησε ανοιχτό την πιο σχετική φυσική περίπτωση της απόδειξης καθολικών ιδιοτιμών που προκύπτουν σε μοντέλα μη μέσου πεδίου, στα οποία τα σωματίδια επιτρέπεται να αλληλεπιδρούν μόνο με σωματίδια ακριβώς γύρω τους.

Αυτό το νέο χαρτί φτάνει σχεδόν μέχρι εκεί. Οι τρεις συγγραφείς εργάζονται με μοντέλα στα οποία τα σωματίδια αλληλεπιδρούν με περισσότερα σωματίδια παρά με τους άμεσους γείτονές τους, αλλά όχι με όλα τα σωματίδια του συστήματος. Οι πίνακες που περιγράφουν τέτοιες αλληλεπιδράσεις ονομάζονται πίνακες τυχαίας ζώνης (με τη «ζώνη» να αναφέρεται στη ζώνη γύρω από κάθε σωματίδιο στην οποία συμβαίνουν αλληλεπιδράσεις). "Η μήτρα του συγκροτήματος έχει μια συγκεκριμένη δομή όπου μιλάτε μόνο με τους γείτονές σας και οι αλληλεπιδράσεις δεν είναι πολύ μακριά", είπε ο Yau.

Οι συγγραφείς απέδειξαν ότι οι ιδιοτιμές σε ορισμένους πίνακες τυχαίας ζώνης - εκείνοι όπου η ζώνη είναι ένα ορισμένο ελάχιστο πλάτος - εξακολουθούν να ακολουθούν την κατανομή του Wigner που παρατηρείται στους πίνακες μέσου πεδίου. Αυτό σημαίνει ότι ακόμα και όταν περιορίζετε τα ηλεκτρόνια να αλληλεπιδρούν μόνο με άλλα σωματίδια στη γειτονιά τους, ολόκληρο το φυσικό σύστημα εξακολουθεί να διατηρεί τον ίδιο τύπο μέσης στατιστικής συμπεριφοράς - την κατανομή των ιδιοτιμών του - που βρήκε ο Wigner στο πιο απογυμνωμένο πλαίσιο του. /P>

«Αποδείξαμε ότι για το μοντέλο τυχαίας ζώνης-μήτρας, οι ιδιοτιμές απωθούνται μεταξύ τους… που σημαίνει αγωγιμότητα», είπε ο Bourgade. Ο Bourgade, ο Yin και ο Yau θα ήθελαν να επεκτείνουν αυτό το έργο στην πλήρη περίπτωση μη μέσου πεδίου, προσδιορίζοντας τη σχέση μεταξύ της αγωγιμότητας και της μαθηματικής αναπαράστασής της. Είναι μια στενή ευθυγράμμιση που μπορεί να φαινόταν απίθανη όταν ο Wigner ανακάλυψε για πρώτη φορά ιδιοτιμές παγκοσμίως κατανεμημένες. Τώρα αρχίζει να νιώθεις αναπόφευκτο.

«Εξακολουθώ να εκπλήσσομαι που το όραμα του Wigner είναι σωστό», έγραψε ο Bourgade σε ένα email.