Πόσο καιρό θα σας πάρει για να πέσετε στη Γη;

Ας υποθέσουμε ότι σκάψατε μια σήραγγα μέσα από το κέντρο της Γης, πηδήξατε μέσα και αφήσατε τη βαρύτητα να σας τραβήξει μέσα. Πόσο καιρό θα σας έπαιρνε για να φτάσετε στην άλλη άκρη του πλανήτη; Για δεκαετίες, οι φοιτητές φυσικής καλούνταν να υπολογίσουν αυτόν τον χρόνο και διδάσκονταν ότι η σωστή απάντηση είναι 42 λεπτά. Τώρα, μια πιο ρεαλιστική ανάλυση έχει αφαιρέσει 4 λεπτά από αυτήν την εκτίμηση.

«Αυτό είναι το είδος του χαρτιού που αγαπάμε», λέει ο David Jackson, φυσικός στο Dickinson College στο Carlisle της Πενσυλβάνια και εκδότης του American Journal of Physics , μια δημοσίευση της Αμερικανικής Ένωσης Καθηγητών Φυσικής. Ο νέος υπολογισμός, που εμφανίζεται στο τεύχος Μαρτίου του περιοδικού, δεν προσθέτει απλώς περισσότερες λεπτομέρειες για τη δομή της Γης, σημειώνει. Εξηγεί επίσης γιατί μπορείτε να αντικαταστήσετε μια υπερβολικά απλή υπόθεση με μια άλλη εξίσου ωμή και να λάβετε μια πολύ πιο ακριβή απάντηση. "Αυτό είναι που το κάνει τόσο διασκεδαστικό να το σκέφτεσαι", λέει ο Τζάκσον.

Το πρόβλημα της σήραγγας βαρύτητας είναι βασικό στοιχείο των εισαγωγικών μαθημάτων φυσικής, επειδή δείχνει ταυτόχρονα τόσο εντυπωσιακά χαρακτηριστικά του νόμου της βαρύτητας του Ισαάκ Νεύτωνα όσο και έναν κοινό αλλά πολύ σημαντικό τύπο κυκλικής κίνησης. Για να το λύσουν, οι μαθητές πρέπει να υπολογίσουν πώς αλλάζει η δύναμη της βαρύτητας σε ένα αντικείμενο καθώς το πράγμα πέφτει μέσα από τη σήραγγα.

Εδώ μπαίνει η συνηθισμένη μη ρεαλιστική υπόθεση. Οι μαθητές υποθέτουν ότι, όπως μια μπάλα του μπιλιάρδου, η Γη έχει την ίδια πυκνότητα:περίπου 5500 κιλά ανά κυβικό μέτρο. Σε αυτή την περίπτωση, η δύναμη της βαρυτικής δύναμης που σας τραβάει προς το κέντρο της Γης ποικίλλει ανάλογα με την απόσταση από το κέντρο. Αυτό συμβαίνει επειδή καθώς κατεβαίνετε μέσα από τη σήραγγα, η ποσότητα μάζας σε υψόμετρο χαμηλότερο από το δικό σας μειώνεται, ενώ η μάζα σε υψόμετρο υψηλότερο από το δικό σας δεν έχει πλέον καμία επίδραση σε εσάς - καθώς οι μαθητές υπολογίζουν χρησιμοποιώντας ένα κομμάτι μαθηματικών που ονομάζεται θεώρημα κελύφους .

Επειδή η δύναμη που σας τραβάει προς το κέντρο είναι ανάλογη της απόστασης από το κέντρο, περνάτε με φερμουάρ μπρος-πίσω μέσα από τη Γη ακριβώς όπως ένα βάρος σε ένα ελατήριο ανεβάζει ή προς τα κάτω ή ένα εκκρεμές ταλαντεύεται μπρος-πίσω. Το πρόβλημα της σήραγγας βαρύτητας χρησιμοποιείται στη διδασκαλία ακριβώς επειδή παράγει τόσο απλή αρμονική κίνηση.

Στην πραγματικότητα, φυσικά, η Γη δεν έχει ομοιόμορφη πυκνότητα, αλλά έχει λιγότερο πυκνό φλοιό και μανδύα και πιο πυκνό πυρήνα. Έτσι, ο Alexander Klotz, ένας μεταπτυχιακός φοιτητής στη φυσική στο Πανεπιστήμιο McGill στο Μόντρεαλ του Καναδά, άρχισε να σκέφτεται τι θα έδινε μια πιο ρεαλιστική ανάλυση. Ο Klotz λέει ότι δεν είναι σίγουρος γιατί άρχισε να σκέφτεται το πρόβλημα. Αλλά μερικές φορές απαντά σε ερωτήσεις φυσικής στον ιστότοπο reddit. "Έχω ασχοληθεί κάπως με μια μικρή εκπαιδευτική προσέγγιση", λέει ο Klotz, "και αυτή η [ερώτηση] τίθεται αρκετά."

Για να αποκτήσει μια πιο ρεαλιστική κατανομή μάζας για τη Γη, βασίστηκε στο Προκαταρκτικό Μοντέλο Γης Αναφοράς, το οποίο βασίζεται σε σεισμικά δεδομένα. Ανιχνεύει την πυκνότητα της Γης από περίπου λιγότερο από 1000 κιλά ανά κυβικό μέτρο στην επιφάνεια έως περίπου 13.000 κιλά ανά κυβικό μέτρο στο κέντρο του πυρήνα 6371 χιλιόμετρα κάτω, συμπεριλαμβανομένου ενός δραματικού άλματος στην άκρη του εξωτερικού πυρήνα, 3500 χιλιόμετρα από το κέντρο . Λύνοντας το πρόβλημα αριθμητικά, ο Klotz διαπίστωσε ότι ένα αντικείμενο πρέπει να πέσει μέσα από τη Γη σε 38 λεπτά και 11 δευτερόλεπτα, αντί για τα 42 λεπτά και 12 δευτερόλεπτα που είχαν προβλεφθεί να υποθέσουμε έναν ομοιόμορφο πλανήτη.

Περιέργως, ο Klotz διαπίστωσε ότι έπαιρνε σχεδόν ακριβώς την ίδια απάντηση -38 λεπτά επίπεδη- αν απλώς υποθέσει ότι η δύναμη της βαρύτητας παρέμενε σταθερή και ίση με την τιμή στην επιφάνεια καθώς ένα αντικείμενο κατρακυλούσε προς το κέντρο. Μια τέτοια σταθερή δύναμη θα απαιτούσε μια διαφορετική κατανομή πυκνότητας, αυτή που αυξάνεται σταθερά καθώς η απόσταση από το κέντρο της Γης πέφτει - έτσι ώστε όταν η απόσταση από το κέντρο μειώνεται στο μισό, η πυκνότητα διπλασιάζεται - και κορυφώνεται στο άπειρο στο κέντρο. (Η πραγματική κατανομή απλώνεται στον πυρήνα και η δύναμη της βαρύτητας μειώνεται στο μηδέν στο κέντρο του πυρήνα.)

Γιατί λοιπόν η προσέγγιση σταθερής δύναμης λειτουργεί τόσο καλά; Εξαιτίας της κατανομής της μάζας στη Γη, η δύναμη της βαρύτητας παραμένει περίπου σταθερή - και στην πραγματικότητα αυξάνεται ελαφρώς - μέχρι τον εξωτερικό πυρήνα, εξηγεί ο Klotz. Από εκεί και πέρα, η δύναμη της βαρύτητας πέφτει με την απόσταση πολύ όπως στο αρχικό πρόβλημα. Αλλά μέχρι εκείνο το σημείο, το αντικείμενο κινείται τόσο γρήγορα που στην πραγματικότητα ξοδεύει πολύ λίγο χρόνο περνώντας μέσα από τον πυρήνα, όπου η προσέγγιση σταθερής δύναμης είναι προφανώς λανθασμένη. Έτσι, τελικά, η προσέγγιση είναι αρκετά καλή.

Είναι αυτή η εκπληκτική εξήγηση που κάνει τη νέα ανάλυση ευχάριστη, λέει ο Τζάκσον. «Το κλασικό πρόβλημα πρέπει να παραμείνει», λέει. «Αλλά αυτή είναι μια ωραία προσθήκη στο κλασικό πρόβλημα». Από την πλευρά του, ο Klotz λέει ότι, στη σημερινή εποχή της μεγάλης επιστήμης, η εμπειρία του δείχνει ότι "με τη σωστή ιδέα είναι ακόμα δυνατό να γίνει, όχι μια μνημειώδης ανακάλυψη, αλλά μια σταδιακή."