Περιοδική Συνάρτηση

«Οι μαθηματικοί έχουν επικεντρωθεί στην αναπαράσταση περιοδικών συναρτήσεων χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές σειρές, καθώς συναντώνται συχνά στη μηχανική. Σε αυτή τη σημείωση παρουσιάζουμε αρκετές απλές μεθόδους για τη δημιουργία περιοδικών συναρτήσεων, οι οποίες μπορούν να εφαρμοστούν σε διάφορα συστήματα άλγεβρας υπολογιστών. Αυτό καθιστά εύκολο να κατανοήσουμε πώς η τριγωνομετρική σειρά της περιοδικής συνάρτησης προσεγγίζει την περιοδική συνάρτηση."

Ένα σώμα θεωρείται ότι βρίσκεται σε περιοδική κίνηση, εάν η κίνηση που κάνει επαναλαμβάνεται σε τακτά χρονικά διαστήματα, όπως σε μια λικνιζόμενη κούνια ή μια κούνια. Ακολουθεί ο ορισμός μιας περιοδικής συνάρτησης:

Μια συνάρτηση επιστρέφει στην ίδια τιμή σε τακτά χρονικά διαστήματα.

Παρά το γεγονός ότι οι περιοδικές και ταλαντωτικές κινήσεις ακούγονται το ίδιο, δεν είναι όλες οι περιοδικές κινήσεις ταλαντωτικές. Η κύρια διάκριση μεταξύ μιας περιοδικής κίνησης και μιας ταλαντευόμενης κίνησης είναι ότι η πρώτη είναι εφαρμόσιμη σε οποιαδήποτε κίνηση που επαναλαμβάνεται με την πάροδο του χρόνου, ενώ η δεύτερη ισχύει μόνο για κινήσεις που συμβαίνουν γύρω από ένα σημείο ισορροπίας ή μεταξύ δύο καταστάσεων. Όλες οι περιοδικές κινήσεις μπορούν να οριστούν από μια περιοδική συνάρτηση.

Θεωρήστε ένα εκκρεμές που ταλαντώνεται μαζί με τη θέση ισορροπίας του. Εάν το bob ταλαντώνεται, η μετατόπισή του θα κυμαίνεται επίσης από το μηδέν στο θετικό και πίσω στο μηδέν και το αρνητικό.

Τύπος περιοδικής συνάρτησης

Για κάποια μη μηδενική σταθερά P, μια συνάρτηση f λέγεται περιοδική εάν:

f (x+P)=f(x)

Για όλες τις πιθανές τιμές x στον τομέα. Μια περίοδος της συνάρτησης είναι μια μη μηδενική σταθερά P για την οποία συμβαίνει αυτό.

Ιδιότητες της περιοδικής συνάρτησης

Οι ιδιότητες που αναφέρονται παρακάτω μπορούν να σας βοηθήσουν να κατανοήσετε καλύτερα την ιδέα μιας περιοδικής συνάρτησης.

• Το γράφημα μιας περιοδικής συνάρτησης είναι συμμετρικό και επαναλαμβάνεται στον οριζόντιο άξονα.
• Το εύρος της περιοδικής συνάρτησης ορίζεται για ένα σταθερό διάστημα και ο τομέας της περιοδικής συνάρτησης περιέχει όλες τις τιμές πραγματικών αριθμών.
• Η σταθερά που εκτείνεται σε όλο το εύρος της περιόδου μιας περιοδικής συνάρτησης, έναντι της οποίας η περίοδος επαναλαμβάνεται, είναι ίση με την περίοδο της συνάρτησης.
• Αν η f(x) έχει περιοδική περίοδο P, τότε το 1/f(x) θα έχει την ίδια θεμελιώδη περίοδο με την f(x).
• Αν η f(x) έχει περιοδική περίοδο P, τότε η f(ax + b) έχει περιοδική περίοδο P/|a|.
• Αν η f(x) έχει περιοδική περίοδο P, τότε η af(x) + b έχει επίσης περιοδική περίοδο P.

Περιοδικές συναρτήσεις σημαντικής σημασίας

Μερικές εξελιγμένες περιοδικές συναρτήσεις που μπορούν να διερευνηθούν περαιτέρω παρατίθενται παρακάτω.

Φόρμουλα του Euler: Οι συναρτήσεις συνημιτόνου και ημιτόνου, που είναι περιοδικές συναρτήσεις, χρησιμοποιούνται στον τύπο μιγαδικού αριθμού eikx=Coskx+iSinkx. Αυτές οι δύο συναρτήσεις είναι περιοδικές σε αυτήν την περίπτωση και ο τύπος του Euler είναι μια περιοδική συνάρτηση με μήκος κύματος 2π/k.

Ελλειπτικές Λειτουργίες Jacobi: Σε αντίθεση με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, αυτές οι συναρτήσεις διαθέτουν ένα οβάλ γράφημα και όχι έναν κύκλο. Αυτά τα ελλειπτικά σχήματα είναι το αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης δύο παραμέτρων, όπως το πλάτος και η ταχύτητα ενός κινούμενου σώματος ή η θερμοκρασία και το ιξώδες της ουσίας. Αυτές οι συναρτήσεις χρησιμοποιούνται ευρέως για να εξηγήσουν την κίνηση ενός εκκρεμούς.

Σειρά Fourier: Η σειρά Fourier είναι μια σύνθετη περιοδική συνάρτηση που σχηματίζεται με την υπέρθεση πολλών σειρών συναρτήσεων περιοδικών κυμάτων. Συνήθως αποτελείται από συναρτήσεις ημιτονοειδούς και συνημιτόνου και το άθροισμα αυτών των συναρτήσεων κύματος υπολογίζεται δίνοντας συνιστώσες βάρους σε κάθε μία από αυτές τις σειρές. Η αναπαράσταση καύσωνα, η ανάλυση δονήσεων, η κβαντική φυσική, η ηλεκτρική μηχανική, η επεξεργασία σήματος και η επεξεργασία εικόνας είναι όλες εφαρμογές της σειράς Fourier.

Γιατί χρησιμοποιείται η περιοδική συνάρτηση

• Οποιαδήποτε φαινόμενα που αφορούν κανονική, επαναλαμβανόμενη συμπεριφορά αναφέρεται ως περιοδική συνάρτηση. Το πιο βασικό παράδειγμα είναι η κυκλική κίνηση με σταθερή ταχύτητα, όπως η τροχιά της Σελήνης γύρω από τη Γη. Η κυματική κίνηση και συμπεριφορά, η οποία περιγράφει πράγματα όπως ο ήχος (ένα κύμα πίεσης στον αέρα), η κίνηση του νερού και, το πιο σημαντικό, τα ηλεκτρομαγνητικά φαινόμενα, είναι το πιο συνηθισμένο παράδειγμα (φως, ηλεκτρισμός, μαγνητισμός).
• Ένα αναλογικό ρολόι κρέμεται στον τοίχο μου. Μια περιοδική συνάρτηση με περίοδο ενός λεπτού μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εξηγήσει τις κινήσεις του δεύτερου χεριού της.

Συμπέρασμα

Το άθροισμα των ημιτόνων και των συνημιτόνων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απεικόνιση μιας περιοδικής συνάρτησης. Ο Γάλλος μαθηματικός και επιστήμονας Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) ανακάλυψε αυτή την αλήθεια και το έργο του δημοσιεύτηκε το 1822. Αναγνωρίζεται ως μια από τις πιο επαναστατικές συνεισφορές του δέκατου ένατου αιώνα. Ο Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805–59) επιβεβαίωσε αργότερα το θεώρημά του.

Επειδή οι πρώτοι όροι της άπειρης σειράς είναι συνήθως επαρκείς για πολλές εφαρμογές, το γεγονός ότι όλες οι περιοδικές συναρτήσεις μπορούν να αναπαρασταθούν ως άθροισμα ημιτονοειδών συνιστωσών δείχνει μια πρακτική προσέγγιση της συνάρτησης. Περιλαμβάνει επίσης ένα εργαλείο ανάλυσης για την αποσύνθεση σύνθετης κυματομορφής.