Μεταμόρφωση Lorentz

Ο μετασχηματισμός Lorentz είναι η σχέση μεταξύ δύο διαφορετικών πλαισίων συντεταγμένων που κινούνται με σταθερή ταχύτητα και είναι σχετικά μεταξύ τους στο χώρο και στο χρόνο, αντίστοιχα. Ο Χέντρικ Λόρεντς, ένας Ολλανδός φυσικός, πιστώνεται ότι έδωσε το όνομά του στον μετασχηματισμό.

Υπάρχουν δύο πλαίσια αναφοράς και είναι τα εξής

• Διατηρείται σταθερή ταχύτητα σε όλη την κίνηση ενός αδρανειακού πλαισίου.
• Μη αδρανειακά πλαίσια – Περιστροφική κίνηση με σταθερή γωνιακή ταχύτητα και επιτάχυνση σε καμπύλες διαδρομές με σταθερή γωνιακή ταχύτητα και επιτάχυνση

Ο μετασχηματισμός Lorentz σχετίζεται μόνο με αλλαγές στα αδρανειακά πλαίσια και συνήθως συζητείται στο πλαίσιο της ειδικής σχετικότητας. Σε αυτόν τον τύπο γραμμικού μετασχηματισμού, πραγματοποιείται αντιστοίχιση μεταξύ δύο μονάδων που περιέχουν και τα δύο διανυσματικά κενά και το αποτέλεσμα είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός. Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός και η πρόσθεση διατηρούνται σε γραμμικό μετασχηματισμό, όπως και οι πράξεις πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης. Υπάρχουν αρκετά διαισθητικά χαρακτηριστικά αυτού του μετασχηματισμού, όπως το γεγονός ότι ένας παρατηρητής που κινείται με διαφορετικές ταχύτητες μπορεί να μετρήσει τους χρόνους που πέρασαν, τις διαφορετικές αποστάσεις και τη σειρά των γεγονότων, αλλά η προϋπόθεση που πρέπει να πληρούται είναι ότι η ταχύτητα του φωτός πρέπει να είναι η ίδια σε όλα τα αδρανειακά πλαίσια.

Είναι επίσης δυνατό ο μετασχηματισμός Lorentz να περιλαμβάνει περιστροφή του χώρου. μια περιστροφή που δεν επηρεάζεται από αυτόν τον μετασχηματισμό είναι γνωστή ως Boost Lorentz. Όταν αυτός ο μετασχηματισμός εφαρμόζεται σε οποιαδήποτε δύο συμβάντα, το χωροχρονικό διάστημα που εμφανίζεται μεταξύ τους διατηρείται.

Τύπος για τον Μετασχηματισμό Lorentz

Ακολουθεί η μαθηματική αναπαράσταση του μετασχηματισμού Lorentz:

t =𝜸[t – (vx/c2)]

x =𝜸[x-vt]

y =y

z =z

Πού,

Ένα σημείο στις συντεταγμένες ενός συμβάντος σε δύο πλαίσια αντιπροσωπεύεται από τις συντεταγμένες (t,x,y,z) και (t’,x’,y’,z’).

v είναι η ταχύτητα που περιορίζεται στον άξονα x.

Η ταχύτητα του φωτός αντιπροσωπεύεται από το σύμβολο c.

Εξισώσεις του μετασχηματισμού Lorentz (Εξισώσεις μετασχηματισμού Lorentz)

Αυτές είναι οι συντεταγμένες που ορίζονται στο σταθερό πλαίσιο αναφοράς F:x, y, z και χρόνος (σε χιλιοστά του δευτερολέπτου). Υπάρχει ένα άλλο πλαίσιο αναφοράς F' που κινείται με ταχύτητα v που είναι σε σχέση με το πρώτο πλαίσιο αναφοράς F, και ο παρατηρητής ορίζει τις συντεταγμένες αυτού του κινούμενου πλαισίου αναφοράς ως x', y', z' και t' σε αυτό κινούμενο πλαίσιο αναφοράς. Οι άξονες συντεταγμένων είναι παράλληλοι και στα δύο πλαίσια αναφοράς και παραμένουν κάθετοι μεταξύ τους ανά πάσα στιγμή. Η σχετική κίνηση είναι προς την κατεύθυνση των αξόνων xx.

Στο t =t’ =0, οι προελεύσεις και στα δύο πλαίσια αναφοράς είναι ίδιες (x,y,z) =(x’,y’,z’) =(0,0,0)

Εάν τα συμβάντα x, y, z και t καταγράφονται στα πλαίσια αναφοράς F, τότε οι συντεταγμένες αυτών των γεγονότων έχουν την ακόλουθη τιμή στα πλαίσια αναφοράς F':

Ο παράγοντας Lorentz συμβολίζεται με το πεζό γάμμα.

Το παρακάτω είναι το αποτέλεσμα της παραπάνω εξίσωσης, η οποία είναι γνωστή ως μετασχηματισμός Lorentz:

Μετασχηματισμός Lorentz σε αδρανειακό πλαίσιο

Ένας μετασχηματισμός Lorentz μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο στο πλαίσιο αδρανειακών πλαισίων, γι' αυτό και αναφέρεται συνήθως ως μετασχηματισμός ειδικής σχετικότητας όταν εφαρμόζεται σε συνηθισμένα αντικείμενα. Κατά τη διάρκεια του γραμμικού μετασχηματισμού, δημιουργείται μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο μονάδων που περιέχουν και τα δύο διανυσματικά κενά ως στοιχεία. Με τη χρήση ενός γραμμικού μετασχηματισμού, διατηρούνται τα αποτελέσματα των πράξεων πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης σε βαθμωτούς. Είναι σημαντικό να θυμάστε ότι η ταχύτητα του φωτός θα πρέπει να είναι ίδια σε όλα τα πλαίσια αναφοράς ως αποτέλεσμα αυτού του μετασχηματισμού. Διαφορετικά, ο παρατηρητής που κινείται με διαφορετικές ταχύτητες θα μπορεί να μετρήσει διαφορετικούς χρόνους που έχουν περάσει, διαφορετικές αποστάσεις και διαφορετικά συμβάντα με τη σωστή σειρά.

Η δήλωση της αρχής

Γνωστές ως εξισώσεις μετασχηματισμού, οι εξισώσεις μετασχηματισμού του Hendrik Lorentz χρησιμοποιούνται για τη συσχέτιση δύο διαφορετικών συστημάτων συντεταγμένων σε ένα αδρανειακό πλαίσιο αναφοράς. Οι μετασχηματισμοί Lorentz γίνονται δυνατοί από δύο νόμους της φυσικής:

• Αρχή της σχετικότητας
• Η σταθερή ταχύτητα του φωτός

Χώρος-Χρόνος

Για να κατανοήσουμε την έννοια του μετασχηματισμού Lorentz, πρέπει πρώτα να κατανοήσουμε τη φύση του χωροχρόνου και το σύστημα συντεταγμένων που υπάρχει μέσα σε αυτόν.

Οι χωροχρονικές συντεταγμένες, σε αντίθεση με τα τρισδιάστατα συστήματα συντεταγμένων με άξονες x, y και z, καθορίζουν τόσο τον χώρο όσο και τον χρόνο σε ένα σύστημα συντεταγμένων (τετραδιάστατο σύστημα συντεταγμένων). Στον τετραδιάστατο χωροχρόνο, οι συντεταγμένες κάθε σημείου αποτελούνται από τρία χωρικά χαρακτηριστικά και ένα χρονικό χαρακτηριστικό.

Η σημασία ενός συστήματος συντονισμού χωροχρόνου

Παλαιότερα, ο χρόνος θεωρούνταν απόλυτη ποσότητα. Υπό το πρίσμα του γεγονότος ότι ο χώρος δεν είναι μια απόλυτη ποσότητα, οι παρατηρητές θα διαφωνούσαν σχετικά με την απόσταση που διανύθηκε (και, κατά συνέπεια, θα διαφωνούσαν για την ταχύτητα του φωτός), παρόλο που θα συμφωνούσαν για το χρόνο που χρειάζεται για το φως για να διανύσετε την απόσταση.

Ως αποτέλεσμα της Θεωρίας της Σχετικότητας, ο χρόνος δεν θεωρείται πλέον απόλυτη ποσότητα.

Ως αποτέλεσμα, είναι πλέον δυνατός ο υπολογισμός της απόστασης μεταξύ δύο γεγονότων ως συνάρτηση του χρόνου.

d =(1/2)c

Πού,

d-απόσταση μεταξύ του συμβάντος και του παρατηρητή

Ο χρόνος που χρειάστηκε για να ταξιδέψει ένας παλμός στο συμβάν και να επιστρέψει μετρήθηκε σε t.

το φως ταξιδεύει με ταχύτητα c

Όταν πρόκειται για τον χώρο και τον χρόνο ως ξεχωριστά και ανεξάρτητα συστατικά, η θεωρία της σχετικότητας έχει αλλάξει θεμελιωδώς τις αντιλήψεις μας γι' αυτά. Ως αποτέλεσμα, ο χώρος και ο χρόνος έπρεπε να συνδυαστούν σε μια ενιαία συνεχή οντότητα.

Συμπέρασμα

Ο μετασχηματισμός Lorentz σχετίζεται μόνο με αλλαγές στα αδρανειακά πλαίσια και συνήθως συζητείται στο πλαίσιο της ειδικής σχετικότητας. Σε αυτόν τον τύπο γραμμικού μετασχηματισμού, πραγματοποιείται αντιστοίχιση μεταξύ δύο μονάδων που περιέχουν και τα δύο διανυσματικά κενά και το αποτέλεσμα είναι ένας γραμμικός μετασχηματισμός. Ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός και η πρόσθεση διατηρούνται σε γραμμικό μετασχηματισμό, όπως και οι πράξεις πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης. Υπάρχουν αρκετά διαισθητικά χαρακτηριστικά αυτού του μετασχηματισμού, όπως το γεγονός ότι ένας παρατηρητής που κινείται με διαφορετικές ταχύτητες μπορεί να μετρήσει τους χρόνους που πέρασαν, τις διαφορετικές αποστάσεις και τη σειρά των γεγονότων, αλλά η προϋπόθεση που πρέπει να πληρούται είναι ότι η ταχύτητα του φωτός πρέπει να είναι η ίδια σε όλα τα αδρανειακά πλαίσια.