LR Circuit σε σειρά με πηγή A.C

Όταν η αυτεπαγωγή L και η αντίσταση R συνδέονται σε σειρά σε μια εναλλασσόμενη πηγή τάσης, τότε το κύκλωμα ονομάζεται κύκλωμα LR ή φίλτρο LR. Καθώς είναι συνδεδεμένα σε σειρά, και τα δύο θα έχουν την ίδια ποσότητα ρεύματος που θα ρέει μέσα από αυτά.

Μεμονωμένα στοιχεία ενός κυκλώματος LR

Ας ρίξουμε γρήγορα μια ματιά σε μεμονωμένα στοιχεία πριν μεταβούμε σε συνδυαστικά κυκλώματα.

• Αν συνδέονται μόνο αντιστάσεις σε μια πηγή AC, τότε έχει ρεύμα σε φάση με το δυναμικό που αντιπροσωπεύεται από τον τύπο I =Iosinwt και η τάση είναι V =Vosinwt , επομένως η εξίσωση για το ρεύμα γίνεται: 

I =Vo/R

• Αν συνδέονται μόνο επαγωγείς σε μια πηγή AC, τότε το ρεύμα υστερεί στο δυναμικό κατά 900 που αντιπροσωπεύεται από τον τύπο I =Ιωσίνη(wt- π/2) και η τάση είναι V =Vosin(wt), επομένως η εξίσωση για το ρεύμα γίνεται I =V0/XL όπου XL είναι η επαγωγική αντίδραση που υπολογίζεται από:

XL =2πfL και η μονάδα του είναι ωμ (Ω)

• Εάν μόνο πυκνωτές συνδέονται σε μια πηγή εναλλασσόμενου ρεύματος, τότε το ρεύμα οδηγεί το δυναμικό κατά 900 που αντιπροσωπεύεται από τον τύπο I =Ιωσίνη(wt+ π/2) και η τάση είναι V =Vosin(wt), επομένως η εξίσωση για το ρεύμα γίνεται I =V0/XC  όπου XC είναι η χωρητική αντίδραση που υπολογίζεται από:

XC =1/ 2πfC και η μονάδα του είναι ωμ (Ω)

Κύκλωμα LR

Σε ένα κύκλωμα σειράς LR, η αντίσταση και η αυτεπαγωγή συνδέονται σε σειρά σε μια πηγή AC.

Εδώ, το ρεύμα που διαρρέει το κύκλωμα πριν εισέλθει στην αντίσταση είναι i=i0sinwt.

Όταν το ρεύμα εισέρχεται στην αντίσταση, η διαφορά δυναμικού μεταξύ της αντίστασης VR και η διαφορά δυναμικού κατά μήκος του επαγωγέα VL θα αντιπροσωπεύονται με το χρόνο ως 

VR (t) =(V0)R sinwt καθώς το ρεύμα είναι σε φάση με το δυναμικό σε αντίσταση 

Και 

VL(t) =(V0)L sin(wt+π/2) καθώς στον επαγωγέα το ρεύμα υστερεί στο δυναμικό κατά 900

Όπου (V0)L είναι η μέγιστη τιμή του δυναμικού στην επαγωγή και (V0)R είναι η τιμή κορυφής του δυναμικού στην αντίσταση.

Εδώ, το V0 μπορεί να υπολογιστεί με: 

(V0)2 =(V0)R2 + (V0)L2

(V0) =√( (V0)R2 + (V0)L2)

Καθώς πρόκειται για κύκλωμα σειράς, το ρεύμα που διέρχεται από την αντίσταση και την επαγωγή είναι το ίδιο. Ως εκ τούτου

 i0 =iL =iR

(V0) =√(i02R2 + i02XL2)

(V0) =√(i02 (R2 + XL2))

(V0) =i0 √ (R2 + XL2)

Εδώ √ (R2 + XL2) είναι ένα είδος αντίστασης, επομένως 

(V0) =i0Z

Εδώ, το Z είναι γνωστό ως η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος.

Έτσι, η σύνθετη αντίσταση είναι η συλλογική αντίσταση της αντίστασης R και της επαγωγής L που αντιτίθεται στη ροή του ρεύματος σε ένα κύκλωμα σειράς RL.

Σύμφωνα με το διάγραμμα φάσης, το ρεύμα εξακολουθεί να καθυστερεί το δυναμικό στο κύκλωμα RL, αλλά όχι κατά 90° όπως σε ένα καθαρό κύκλωμα επαγωγέα. Είναι κάπου μεταξύ 0 και 90°. Αυτή η γωνία είναι γνωστή ως Φ.

Η τιμή του Φ μπορεί να βρεθεί εύκολα από το διάγραμμα phasor:

tanΦ =XL / R

Συντελεστής ισχύος στο AC

Συνήθως, η ισχύς P υπολογίζεται ως,

P =VI

Αλλά, σε ένα κύκλωμα εναλλασσόμενου ρεύματος, τόσο η τάση V όσο και το ρεύμα ποικίλλουν με το χρόνο. Επομένως, υπολογίζουμε τη στιγμιαία ισχύ P(t) ως εξής:

P(t) =V(t)I(t)

Ή

P(t) =V0sinwt I0(sinwt + Ф)

Το κύκλωμα RL είναι πάντα ένα κύκλωμα όπου το ρεύμα καθυστερεί το δυναμικό και ο συντελεστής ισχύος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο απλό τύπο

cosФ =R/Z

Παραδείγματα κυκλωμάτων LR

Παράδειγμα 1:

Για αυτό το κύκλωμα ας βρούμε τα εξής:

1. επαγωγική αντίδραση XL

2. Αντίσταση Z

3. Ρεύμα αιχμής i0

4. i(t) 

Λύση: 

επαγωγική αντίδραση XL

XL =wL =100ㄫ x 2/ㄫ =200 Ω

Αντίσταση Z

Z =√ (R2 + XL2) =√((200)2 + (200)2 =200√2 Ω

Ρεύμα αιχμής i0

i0,=V0/Z =200/200√2 =1/√2 A

i(t) =i0sin(100ㄫt-Φ)

tanΦ =XL / R =200/200 =1

Φ =450

Επομένως,

i(t) =1/√2 sin(100ㄫt-ㄫ/4)

Παράδειγμα 2:

Σκεφτείτε το ακόλουθο κύκλωμα:

Εύρεση 

1. XL

2. Z

3. I0

4. i(t)

5. VR(t)

6. VL(t)

Λύση:

1. XL =wL =10 * 0,4 =4Ω

2. Z =  √ (R2 + XL2) =  √ (42+32) =5Ω

3. I0 =V0/Z =20/5 =4A

4. Ας υπολογίσουμε πρώτα την τιμή του Φ για αυτό

tanΦ =XL / R =4/3 

    

       Φ =530 

     i(t) =i0sin(10t + 600 – Φ)

     i(t) =4sin(10t +600 – 530)

     i(t) =4sin(10t + 70)

VR(t) =(V0)R sin(10t + 70)

 (V0)R =i0R

     =4 x 3

     =12

VR(t) =12 sin(10t + 70)

VL(t) =(V0)L sin(10t + 70 + 900)

(V0)L =i0XL 

      =4 x 4 

   =16 

VL(t) =16 sin(10t + 970)

Συμπέρασμα

Με τη βοήθεια απλών τύπων και ορισμών, μπορούμε να λύσουμε ένα κύκλωμα LR εύκολα. Η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος LR παίζει σημαντικό ρόλο στον καθορισμό της συνολικής υστέρησης του ρεύματος από το δυναμικό. Διάφορες πτυχές όπως ο συντελεστής ισχύος, Ф, w συνεργάζονται για την αποτελεσματική λειτουργία ενός φίλτρου LR.