Νόμος ισοκατανομής ενέργειας

Tαυτός νόμος ισοκατανομής ενέργειας υποστηρίζει ότι η συνολική ενέργεια οποιουδήποτε δυναμικού συστήματος σε θερμική ισορροπία κατανέμεται ομοιόμορφα μεταξύ των βαθμών ελευθερίας. «Στη θερμική ισορροπία, ολόκληρη η ενέργεια του μορίου μοιράζεται ομοιόμορφα μεταξύ όλων των Βαθμών Ελευθερίας κίνησης», σύμφωνα με το νόμο. Για έναν βαθμό ελευθερίας, η ενέργεια που σχετίζεται με ένα μόριο είναι ½KT, όπου k είναι η σταθερά του Boltzmann και T είναι η θερμοκρασία.

Βαθμός ελευθερίας

Οι κανονικές συνιστώσες (τετρ. τιμή) της ταχύτητας ενός μορίου αερίου c κατανέμονται εξίσου σε θερμική ισορροπία, δηλ. κατά μήκος τριών αξόνων X, Y και Z περιλαμβάνουν u² =v² =w² σύμφωνα με την κινητική θεωρία των αερίων. Η μέση τιμή των συνιστωσών των ταχυτήτων κατά μήκος των αξόνων X, Y και Z είναι u, v και w, αντίστοιχα.

½ mu2 =½ mv2 =½ mw²

Αλλά c² =u² + v² + w² και u² =v²=w²

άρα, ½ mu² =½ mv² =½ mw² =(⅓) x  ½ mc²

Και πάλι, γνωρίζουμε τη μέση κινητική ενέργεια κάθε μορίου.

½ mc² =3/2 KT

Τότε, ½ mu2 =½ mv2 =½ mw2 =½ x (3/2) KT =½ KT

Ως αποτέλεσμα, υπολογίζεται η μέση ενέργεια για κάθε βαθμό ελευθερίας που είναι ½ KT.

Και πάλι, στην περίπτωση ενός ταλαντούμενου σωματιδίου, η κινητική ενέργεια αποτελεί το ήμισυ της συνολικής ενέργειας και η δυναμική ενέργεια το άλλο μισό. Ως αποτέλεσμα, η συνολική ενέργεια ανά βαθμό ελευθερίας ισούται με την κινητική ενέργεια συν δυναμική ενέργεια, η οποία ισούται με ½ KT + ½ KT =KT.

Ως αποτέλεσμα, κάθε στοιχείο της μεταφορικής κινητικής ενέργειας της ταχύτητας αντιπροσωπεύει το ένα τρίτο της συνολικής ενέργειας.

Ολόκληρη η διαθέσιμη ενέργεια κατανέμεται εξίσου μεταξύ των συστατικών ως διάφορες ανεξάρτητες ενέργειες. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο νόμο πριν πάμε στους υπολογισμούς. Εάν ένα μόριο έχει 1000 μονάδες ενέργειας και 5 βαθμούς ελευθερίας (που περιλαμβάνει μεταφορικές, περιστροφικές και δονητικές κινήσεις), σε κάθε κίνηση δίνονται 200 ​​μονάδες ενέργειας.

Τα μόρια δεν είναι γεωμετρικά σημεία, αν και έχουν απεριόριστα μικρό μέγεθος. Επειδή τα μόρια έχουν μια ροπή αδράνειας και μάζας, η περιστροφική κίνηση εμφανίζεται επιπλέον της μεταφορικής κίνησης. Τα μεγέθη των μορίων δεν είναι άκαμπτα, και ως αποτέλεσμα των συγκρούσεων με άλλα μόρια, δεν αποτελεί έκπληξη να περιμένουμε ταλάντωση σε αυτά. Ως αποτέλεσμα, μπορεί να έχουν μεγαλύτερο βαθμό ανεξαρτησίας.

Όταν η ενέργεια που σχετίζεται με έναν βαθμό ελευθερίας γίνεται συνάρτηση μιας εκχωρημένης δισδιάστατης μεταβλητής βαθμών ελευθερίας, η σχετική μέση τιμή ενέργειας ισούται με ½ KT, σύμφωνα με τις στατιστικές Maxwell. Boltzmann's Αν η συνολική ενέργεια κατανέμεται ομοιόμορφα σε όλους τους βαθμούς ελευθερίας, η συνολική ενέργεια =f x ½ KT =f/2 KT για ένα μόριο με βαθμούς ελευθερίας. Αντίθετα, θα εξετάσουμε μια λιγότερο αυστηρή αλλά εύλογη παραγωγή βασισμένη σε στοιχειώδη μηχανικά μοντέλα. Δεν χρησιμοποιεί τη συνάρτηση κατανομής και υποδεικνύει πόσο χρόνο χρειάζεται για να επιτευχθεί θερμική ισορροπία σε μια πρόχειρη κλίμακα.

Τύπος νόμου ισοκατανομής ενέργειας:

Σύμφωνα με τον νόμο της ισοκατανομής της ενέργειας , η συνολική ενέργεια οποιουδήποτε δυναμικού συστήματος σε θερμική ισορροπία κατανέμεται ομοιόμορφα μεταξύ των βαθμών ελευθερίας.

Η κινητική ενέργεια ενός μόνο μορίου κατά μήκος των αξόνων x, y και z δίνεται ως

Μαζί με τον άξονα x → ½mvx²

Μαζί με τον άξονα y → ½mvy²

Μαζί με τον άξονα z→ ½mvz²

Η μέση κινητική ενέργεια ενός μορίου, σύμφωνα με την κινητική θεωρία των αερίων, δίνεται από

½ mv ms ²=(3/2)Κ β Τ

όπου vrms είναι η ρίζα-μέση τετραγωνική ταχύτητα των μορίων, Kb είναι η σταθερά Boltzmann και T είναι η θερμοκρασία του αερίου

Επειδή ένα μονοατομικό αέριο έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας, η μέση κινητική ενέργεια ανά βαθμό ελευθερίας είναι

KE x =½K β Τ

Εάν ένα μόριο είναι ελεύθερο να κινηθεί στο διάστημα, χρειάζεται τρεις συντεταγμένες για να καθορίσει τη θέση του, που σημαίνει ότι έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας στη μετάφραση. Έχει δύο μεταφορικούς βαθμούς ελευθερίας εάν περιορίζεται να ταξιδεύει σε ένα αεροπλάνο και έναν μεταφραστικό βαθμό ελευθερίας εάν είναι περιορισμένος να κινείται σε ευθεία γραμμή. Ένα τριατομικό μόριο έχει έξι βαθμούς ελευθερίας. Η κινητική ενέργεια του αερίου ανά μόριο υπολογίζεται ως εξής:

6×N×½ Κ β T =3×(R/N)NK β T =3RT

Δηλώστε την αρχή της ισοκατανομής της ενέργειας:

Η αρχή της ισοκατανομής της ενέργειας περιγράφει τη συνολική εσωτερική ενέργεια πολύπλοκων μοριακών συστημάτων. Εξηγεί γιατί, καθώς αυξάνεται ο αριθμός των ατόμων ανά μόριο, η ειδική θερμότητα των περίπλοκων αερίων αυξάνεται. Τα μονοατομικά μόρια αερίου έχουν χαμηλότερη εσωτερική ενέργεια και χαμηλότερη μοριακή ειδική περιεκτικότητα σε θερμότητα.

Συμπέρασμα

Ολόκληρη η ενέργεια του συστήματος κατανέμεται εξίσου μεταξύ των πολλών τρόπων ενέργειας που υπάρχουν στο σύστημα υπό συνθήκες θερμικής ισορροπίας, σύμφωνα με τον νόμο της ισοκατανομής της ενέργειας. Η δονητική κίνηση συνεισφέρει ½ kT ενέργειας στη συνολική ενέργεια της κίνησης, ενώ οι μεταφορικές και περιστροφικές κινήσεις συνεισφέρουν η καθεμία (½) kT ενέργειας στη συνολική ενέργεια της κίνησης.