Περιοχική ροπή αδράνειας για ορισμένα κοινά σχήματα
Η αδράνεια είναι απλώς η ιδιότητα ενός σώματος να βρίσκεται πάντα σε συνεχή κατάσταση ηρεμίας ή συνεχή ομοιόμορφη κίνηση μέχρι εξωτερική δύναμη δρα πάνω του. Φυσικά, το δεδομένο σώμα πρέπει επίσης να παρουσιάζει αντίσταση όταν περιστρέφεται. Αυτό το μέτρο της αντίστασης που προσφέρει το σώμα στη γωνιακή επιτάχυνση ονομάζεται Ροπή Αδράνειας ή Ροπή Μάζας Αδράνειας.
Τι είναι η Περιοχική Ροπή Αδράνειας;
Φανταστείτε ένα δισδιάστατο επίπεδο σώμα υπό φόρτωση. Τι είδους εκτροπή θα περάσει; Και το πιο σημαντικό, πώς το μετράμε;
Η εμβαδική ροπή αδράνειας είναι χαρακτηριστικό ενός σώματος που μας βοηθά ακριβώς σε αυτό. Η εμβαδική ροπή αδράνειας χαρακτηρίζει την εκτροπή ενός επιπέδου σώματος όταν εφαρμόζεται εξωτερικό φορτίο.
Υπάρχουν πολλά ονόματα για τη στιγμή της αδράνειας. Μερικά από αυτά είναι δεύτερη ροπή εμβαδού, τετραγωνική ροπή περιοχής ή δεύτερη ροπή περιοχής. Η εμβαδική ροπή αδράνειας είναι ουσιαστικά η γεωμετρική ιδιότητα μιας περιοχής που αντανακλά τον τρόπο κατανομής των σημείων σε σχέση με έναν άξονα.
Η ροπή εμβαδού αδράνειας συμβολίζεται με ένα I ή με ένα J. Το I χρησιμοποιείται όταν ο άξονας βρίσκεται στο επίπεδο του σώματος και το J χρησιμοποιείται όταν ο άξονας βρίσκεται κάθετα στο σώμα. Ωστόσο, ο υπολογισμός παραμένει ο ίδιος, χρησιμοποιώντας πολλαπλά ολοκληρώματα στο σώμα της εικόνας. Η διάσταση της εμβαδού ροπής αδράνειας είναι το μήκος στη δύναμη των τεσσάρων.
Εφαρμογές Περιοχικής Ροπής Αδράνειας
Η εμβαδική ροπή αδράνειας έχει σημαντικές εφαρμογές δομικής μηχανικής, ειδικά κατά τον υπολογισμό της απόκλισης μιας δοκού και της τάσης που μια ροπή που εφαρμόζεται στη δέσμη προκαλεί.
Η εμβαδική ροπή αδράνειας (επίπεδη) μας δίνει μια εικόνα για το πώς η δοκός αντιστέκεται όταν η κάμψη συμβαίνει λόγω μιας εφαρμοσμένης ροπής ή μιας δύναμης. Ενώ η ροπή της πολικής περιοχής μας δίνει μια εικόνα για το πώς η δέσμη αντιστέκεται σε μια στρεπτική παραμόρφωση.
Θεώρημα παράλληλου άξονα
Το θεώρημα Huygens–Steiner, γνωστό και ως Θεώρημα Παράλληλου Άξονα, χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της εμβαδικής ροπής αδράνειας ενός άκαμπτου σώματος για οποιονδήποτε δεδομένο άξονα, με την προϋπόθεση ότι η ροπή αδράνειας του αντικειμένου υπολογίζεται ως προς έναν παράλληλο άξονα που διέρχεται από το κέντρο βάρους του αντικειμένου και η κάθετη απόσταση μεταξύ των αξόνων είναι γνωστή.
Ας δούμε πώς:
Σκεφτείτε ένα σώμα με εμβαδόν Α. Για παράδειγμα, το κέντρο ή το κέντρο βάρους του σώματος βρίσκεται στο C και ο άξονας ΒΒ' είναι ο κεντροειδής άξονας. AA’ είναι ο άξονας γύρω από τον οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε την εμβαδόν ροπή αδράνειας και η απόσταση μεταξύ του κεντροειδούς άξονα (BB’) και του AA’ είναι d.
Τώρα,
Ix =∫ (dy + y’)2dA
=∫ (dy)2 dA + 2 * ∫ (dy*y') dA + ∫ (y')2 dA
Αλλά, ∫ y’dA =0
Αυτό συμβαίνει επειδή το κέντρο βάρους βρίσκεται στον ίδιο τον άξονα x.
Έτσι,
Ix =∫ (dy)2 dA + (y’)2 * ∫ dA
Ix =Ix’ + A*(dy)2
Θεώρημα κάθετου άξονα
Για ένα δισδιάστατο πλανητικό σώμα, η αδράνεια ως προς έναν άξονα κάθετο στο επίπεδο του σώματος είναι η πρόσθεση των ροπών αδράνειας του σώματος ως προς τους άλλους δύο άξονες που είναι κάθετοι μεταξύ τους στο επίπεδο του σώματος όπου και οι τρεις άξονες τέμνονται μεταξύ τους.
Από το σχήμα, CC' είναι ο κάθετος άξονας γύρω από τον οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε την αδράνεια. Οι AA' και BB' είναι αμοιβαία κάθετοι άξονες που τέμνονται με το CC' στο επίπεδο του σώματος.
ICC’ =IAA’ + IBB’
Εμβαδικές στιγμές αδράνειας για ορισμένα κοινά σχήματα
Συμπέρασμα
Το γράμμα 'I' αντιπροσωπεύει τη 'μαζική ροπή αδράνειας' και την 'εμβαδική ροπή αδράνειας'. Μερικές φορές αυτό μπορεί να σας μπερδέψει, αλλά μπορούμε πάντα να το καταλάβουμε εφαρμόζοντας τους τύπους.
Η σημασία της εμβαδικής ροπής αδράνειας γίνεται αισθητή στον τομέα της μηχανικής μηχανικής, όπου ο υπολογισμός των κάμψεων και απαιτούνται τάσεις σε μια δοκό.
Για να υπολογίσουμε την τετραγωνική ροπή του εμβαδού για σύνθετες περιοχές, πρέπει να διαιρέσουμε τη δεδομένη περιοχή σε πολλαπλές απλές περιοχές ή σχήματα. Η τετραγωνική ροπή του εμβαδού θα είναι τότε το άθροισμα των τετραγωνικών ροπών όλων των άλλων απλούστερων σχημάτων που υπολογίζονται γύρω από έναν κοινό άξονα. Τα σχήματα που απουσιάζουν όπως τα κοίλα σχήματα ή οι τρύπες πρέπει να αφαιρεθούν και να μην προστεθούν για να υπολογιστεί η συνολική τετραγωνική ροπή του εμβαδού του δεδομένου επιπέδου σώματος. Αυτό σημαίνει ότι η τετραγωνική ροπή του εμβαδού για τα μέρη που λείπουν αντιμετωπίζεται ως αρνητική.
