Ηλεκτρικό πεδίο λόγω ομοιόμορφα φορτισμένης σφαίρας
Η παρουσία φορτισμένων σωματιδίων οπουδήποτε στο διάστημα δημιουργεί ένα ηλεκτρικό πεδίο. Όπου βρίσκετε φορτίο, το ηλεκτρικό πεδίο πρέπει να είναι εκεί. Έτσι, Μια ηλεκτρική ιδιότητα που σχετίζεται με κάθε σημείο του χώρου όταν υπάρχει φορτίο σε οποιαδήποτε μορφή.. Παρουσία άλλου φορτίου, θα ασκήσουν δύναμη το ένα στο άλλο, και αυτή η δύναμη είναι η ηλεκτρική δύναμη. Η ισχύς του ηλεκτρικού πεδίου Ε, σε οποιοδήποτε σημείο, μπορεί να οριστεί ως δύναμη ανά μονάδα θετικού φορτίου, δηλ. E =F/Q. Αυτό είναι γνωστό ως ένταση ηλεκτρικού πεδίου και η μονάδα SI του είναι βολτ/μέτρο. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου εξαρτάται από το φορτίο της πηγής και όχι από άλλα φορτία που υπάρχουν στην περιοχή. Για παράδειγμα, αν φέρουμε ένα δοκιμαστικό φορτίο με διπλάσιο μέγεθος φορτίου, η ηλεκτρική δύναμη θα είναι επίσης διπλή, αλλά ο λόγος F/Q θα παραμείνει σταθερός. Αυτό σημαίνει ότι το Ε θα παραμείνει σταθερό σε εκείνο το σημείο. Η συμμετοχή της δοκιμαστικής χρέωσης αλλάζει ελαφρώς το υπάρχον πεδίο.
Ένταση ηλεκτρικού πεδίου
Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι μια διανυσματική ποσότητα που έχει και μεγέθη και κατεύθυνση. Η κατεύθυνση της δύναμης εξαρτάται από τη φύση του φορτίου. Για παράδειγμα, η κατεύθυνση ενός αρνητικού φορτίου θα ήταν στην αντίθετη κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου. Η κατεύθυνση του θετικού φορτίου λαμβάνεται συμβατικά ως η κατεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου. Το πεδίο που παράγεται από ένα απομονωμένο θετικό φορτίο είναι προς τα έξω καθώς απωθεί πάντα το ένα το άλλο. Οι γραμμές ηλεκτρικού πεδίου αντιπροσωπεύουν ένα ηλεκτρικό πεδίο και προέρχονται πάντα από το θετικό φορτίο (πηγή) και καταλήγουν στο αρνητικό φορτίο (βύθισμα). Το ηλεκτρικό πεδίο μειώνεται όσο αυξάνεται η απόσταση επειδή είναι αντιστρόφως ανάλογο με το τετράγωνο της απόστασης και την κατεύθυνση προς το μέγεθος του φορτίου.
Ηλεκτρική ροή
Όπως έχει ήδη συζητηθεί, το ηλεκτρικό πεδίο αντιπροσωπεύεται από γραμμές ηλεκτρικού πεδίου. Ο αριθμός αυτών των γραμμών που διέρχονται από μια δεδομένη περιοχή ονομάζεται ηλεκτρική ροή. Η ροή μπορεί να είναι θετική, αρνητική ή μηδενική. Εάν ο αριθμός των γραμμών που εισέρχονται σε μια επιφάνεια είναι ισοδύναμος με τον αριθμό των γραμμών που εξέρχονται από αυτήν, τότε η συνολική ροή είναι μηδέν. Η ηλεκτρική ροή αντιπροσωπεύεται από και δίνεται από
=E.A=EAcos
Υπάρχει σχέση μεταξύ της ηλεκτρικής ροής, του φορτίου και της διαπερατότητας του ελεύθερου χώρου που διέπεται από έναν νόμο γνωστό ως ο νόμος του Gauss. Ο νόμος του Gauss δηλώνει ότι η συνολική ηλεκτρική ροή σε οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια είναι ίση με την αναλογία του φορτίου που περικλείεται και της διαπερατότητας.
total=Q/0
Η ολοκληρωμένη μορφή του νόμου του Gauss είναι η εξής
E.da=Q/0
Ένταση ηλεκτρικού πεδίου λόγω ομοιόμορφα φορτισμένης σφαίρας
Ας εξετάσουμε μια ομοιόμορφα φορτισμένη μη αγώγιμη σφαίρα ακτίνας R και το φορτίο Q κατανεμημένο εξίσου μέσα της. Προκύπτουν τρεις περιπτώσεις:
Ένταση ηλεκτρικού πεδίου στην επιφάνεια αυτής της σφαίρας, ηλεκτρικό πεδίο εντός αυτής και ένταση ηλεκτρικού πεδίου εκτός σφαίρα. Η κατεύθυνση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου στην επιφάνεια του Gauss είναι ακτινικά προς τα έξω και είναι προς την κατεύθυνση του διανύσματος εμβαδού της επιφάνειας του Gauss.
Ας πάρουμε την πρώτη περίπτωση όπου πρέπει να υπολογίσουμε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου εκτός της σφαίρας. Ας εξετάσουμε ένα αυθαίρετο σημείο r εκτός της σφαίρας. Πρέπει να βρούμε την ηλεκτρική ροή χρησιμοποιώντας το νόμο του Gauss. Για αυτό, σχεδιάστε μια επιφάνεια Gauss σε ένα σημείο Α έξω από τη σφαίρα έτσι ώστε το στοιχείο εμβαδού της να είναι dA. Η διεύθυνση του στοιχείου εμβαδού είναι πάντα κάθετη σε μια δεδομένη επιφάνεια και η διεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου θα είναι ακτινικά προς τα έξω σε αυτή την περίπτωση. Επομένως, =0.
Τώρα, χρησιμοποιώντας τον ορισμό της ροής
dE=E.dA=EdAcos=EdAcos0=EdA … 1
Ενσωματώνοντας την εξίσωση 1, έχουμε
E=EdA … 2
Χρήση του νόμου του Gauss
E=Q/0 … 3
Από 2 και 3
EdA=Q/0
Ή, EdA=Q/0
Το εμβαδόν της επιλεγμένης μας Γκαουσιανής επιφάνειας θα είναι το εμβαδόν επιφάνειας μιας σφαίρας, που είναι 4r2.
E4r2=Q/0
E=Q/4r20 … 4
Το φορτίο θα κατανεμηθεί στον όγκο της σφαίρας. Επομένως, πρέπει να υπολογίσουμε την πυκνότητα φόρτισης όγκου.
Q=4/3*R3 … 5
Βάζοντας την τιμή του Q στην εξίσωση 4
E=(1/40)4R3/3r2
Επομένως, E=(/0)R3/3r2
Η παραπάνω εξίσωση αντιπροσωπεύει την τιμή του ηλεκτρικού πεδίου έξω από την ομοιόμορφα φορτισμένη μη αγώγιμη σφαίρα.
Ένταση ηλεκτρικού πεδίου στην επιφάνεια της ομοιόμορφα φορτισμένης μη αγώγιμης σφαίρας.
Είχαμε εξετάσει νωρίτερα το σημείο Α, εκτός της σφαίρας. Τώρα, φανταστείτε ότι το ίδιο σημείο Α βρίσκεται στην επιφάνεια της σφαίρας έτσι ώστε R =r.
Αντικαθιστώντας το r με το R στην εξίσωση 4, θα λάβουμε
E=Q/4R20
Αντικατάσταση της τιμής του Q από την εξίσωση 5 στην παραπάνω εξίσωση
E=R/30
Ένταση ηλεκτρικού πεδίου μέσα στη μη αγώγιμη σφαίρα.
Τώρα φανταστείτε το ίδιο σημείο Α να βρίσκεται μέσα στη σφαίρα σε απόσταση r από το κέντρο.
Η επιφάνεια του Gauss έχει γίνει μικρότερη σε μέγεθος, πράγμα που σημαίνει ότι ο αριθμός των Οι γραμμές που διέρχονται από αυτό μειώνονται επίσης.
Ως εκ τούτου, E=E.4r2
Όπου E=q/0
Εξίσωση των δύο εξισώσεων
E.4r2=q/0
Λάβετε υπόψη ότι στις δύο πρώτες περιπτώσεις η εσώκλειστη χρέωση ήταν Q αλλά τώρα έχει αλλάξει σε q.
Πυκνότητα φόρτισης όγκου =Q/(4R3/3)=q/( 4r3/3)
Q=Q(r/R)
Αντικατάσταση της τιμής του q στην εξίσωση 4
E=Qr/40R3
Όπου q=Q(r/R)3
E=r/30
Συμπέρασμα
Για να συνοψίσουμε τις έννοιες, η ισχύς του ηλεκτρικού πεδίου Ε, σε οποιοδήποτε σημείο, μπορεί να οριστεί ως δύναμη ανά μονάδα θετικού φορτίου, δηλ. E =F/Q. Αυτό είναι γνωστό ως ένταση ηλεκτρικού πεδίου. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου μιας ομοιόμορφα φορτισμένης σφαίρας είναι μέγιστη στην επιφάνεια της σφαίρας και μηδέν στο κέντρο της σφαίρας. Καθώς κινούμαστε έξω από τη σφαίρα, η ένταση μειώνεται σύμφωνα με την αντίστροφη τετραγωνική σχέση της με την απόσταση, δηλ. E=1/r2. Ως εκ τούτου, η σφαίρα είναι ηλεκτρικά αγώγιμη.
