Παράδειγμα Προβλήματος Κίνησης Βλημάτων – Βοήθεια Εργασίας Φυσικής 1

Η ρίψη ή η βολή ενός βλήματος ακολουθεί μια παραβολική πορεία. Εάν γνωρίζετε την αρχική ταχύτητα και τη γωνία ανύψωσης του βλήματος, μπορείτε να βρείτε τον χρόνο του στο ύψος, το μέγιστο ύψος ή την εμβέλειά του. Μπορείτε επίσης να διανύσετε το υψόμετρο και την απόσταση που διανύσατε εάν σας δοθεί χρόνος. Αυτό το παράδειγμα προβλήματος δείχνει πώς να τα κάνετε όλα αυτά.

Παράδειγμα προβλήματος κίνησης βλήματος:
Ένα πυροβόλο εκτοξεύεται με ταχύτητα στομίου 150 m/s σε γωνία ανύψωσης =45°. Βαρύτητα =9,8 m/s.
α) Ποιο είναι το μέγιστο ύψος που φτάνει το βλήμα;
β) Ποιος είναι ο συνολικός χρόνος σε ύψος;
γ) Πόσο μακριά προσγειώθηκε το βλήμα; (Εύρος)
δ) Πού βρίσκεται το βλήμα 10 δευτερόλεπτα μετά τη βολή;

Ας ρυθμίσουμε αυτό που ξέρουμε. Αρχικά, ας ορίσουμε τις μεταβλητές μας.

V₀ =αρχική ταχύτητα =ταχύτητα ρύγχους =150 m/s
v_x =συνιστώσα οριζόντιας ταχύτητας
v_y =συνιστώσα κατακόρυφης ταχύτητας
θ =γωνία ανύψωσης =45°
h =μέγιστο ύψος
R =εύρος
x =οριζόντια θέση σε t=10 s
y =κατακόρυφη θέση σε t=10 s
m =μάζα βλήματος
g =επιτάχυνση λόγω βαρύτητας =9,8 m/s

Μέρος α) Βρείτε h.

Οι τύποι που θα χρησιμοποιήσουμε είναι:

d =v₀ t + ½at

και

v_στ – v₀ =στο

Για να βρούμε την απόσταση h, πρέπει να γνωρίζουμε δύο πράγματα:την ταχύτητα στο h και τον χρόνο που χρειάζεται για να φτάσουμε εκεί. Το πρώτο είναι εύκολο. Η κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας είναι ίση με μηδέν στο σημείο h. Αυτό είναι το σημείο όπου η ανοδική κίνηση σταματά και το βλήμα αρχίζει να πέφτει πίσω στη Γη.

Η αρχική κατακόρυφη ταχύτητα είναι
v_{0 ε} =v₀ ·sinθ
v_{0 ε} =150 m/s · αμαρτία (45°)
v_{0 ε} =106,1 m/s

Τώρα γνωρίζουμε την αρχή και την τελική ταχύτητα. Το επόμενο πράγμα που χρειαζόμαστε είναι η επιτάχυνση.

Η μόνη δύναμη που ασκεί το βλήμα είναι η δύναμη της βαρύτητας. Η βαρύτητα έχει μέγεθος g και κατεύθυνση στην αρνητική διεύθυνση y.

F =ma =-mg

επίλυση για α

a =-g

Τώρα έχουμε αρκετές πληροφορίες για να βρούμε το χρόνο. Γνωρίζουμε την αρχική κατακόρυφη ταχύτητα (V_0y ) και την τελική κατακόρυφη ταχύτητα στο h (v_hy =0)

v_hy – v_{0 ε} =στο
0 – v_{0 ε} =-9,8 m/s·t
0 – 106,1 m/s =-9,8 m/s·t

Λύση για t

t =10,8 s

Λύστε τώρα την πρώτη εξίσωση για το h

h =v_{0 ε} t + ½ at
h =(106,1 m/s) (10,8 s) + ½ (-9,8 m/s) (10,8 s)
h =1145,9 m – 571,5 m
h =574,4 m

Το υψηλότερο ύψος που φτάνει το βλήμα είναι 574,4 μέτρα.

Μέρος β:Βρείτε τον συνολικό χρόνο.

Έχουμε ήδη κάνει το μεγαλύτερο μέρος της δουλειάς για να λάβουμε αυτό το μέρος της ερώτησης, αν σταματήσετε να σκεφτείτε. Το ταξίδι του βλήματος μπορεί να χωριστεί σε δύο μέρη:ανέβασμα και κατέβασμα.

t_σύνολο =t_επάνω + t_κάτω

Η ίδια δύναμη επιτάχυνσης δρα στο βλήμα και στις δύο κατευθύνσεις. Ο χρόνος διακοπής απαιτεί τον ίδιο χρόνο που χρειάστηκε για να ανέβει.

t_επάνω =t_κάτω

ή

t_σύνολο =2 t_επάνω

βρήκαμε t_επάνω στο Μέρος α του προβλήματος:10,8 δευτερόλεπτα

t_σύνολο =2 (10,8 δευτ.)
t_σύνολο =21,6 s

Ο συνολικός χρόνος ανύψωσης για το βλήμα είναι 21,6 δευτερόλεπτα.

Μέρος γ:Εύρεση εύρους R

Για να βρούμε το εύρος, πρέπει να γνωρίζουμε την αρχική ταχύτητα προς την κατεύθυνση x.

v_0x =v₀ cosθ
v_0x =150 m/s·cos(45)
v_0x =106,1 m/s

Για να βρείτε το εύρος R, χρησιμοποιήστε την εξίσωση:

R =v_0x t + ½at

Δεν υπάρχει δύναμη που να ενεργεί κατά μήκος του άξονα x. Αυτό σημαίνει ότι η επιτάχυνση στην κατεύθυνση x είναι μηδέν. Η εξίσωση της κίνησης ανάγεται σε:

R =v_0x t + ½(0)t
R =v_0x t

Η εμβέλεια είναι το σημείο όπου το βλήμα προσκρούει στο έδαφος, κάτι που συμβαίνει τη στιγμή που βρήκαμε στο Μέρος β του προβλήματος.

R =106,1 m/s · 21,6s
R =2291,8 m

Το βλήμα προσγειώθηκε 2291,8 μέτρα από το κανόνι.

Μέρος δ:Βρείτε τη θέση σε t =10 δευτερόλεπτα.

Η θέση έχει δύο στοιχεία:οριζόντια και κάθετη θέση. Η οριζόντια θέση, x, είναι πολύ κάτω από το βλήμα μετά την εκτόξευση και η κατακόρυφη συνιστώσα είναι το τρέχον ύψος, y, του βλήματος.

Για να βρούμε αυτές τις θέσεις, θα χρησιμοποιήσουμε την ίδια εξίσωση:

d =v₀ t + ½at

Αρχικά, ας κάνουμε την οριζόντια θέση. Δεν υπάρχει επιτάχυνση στην οριζόντια κατεύθυνση, επομένως το δεύτερο μισό της εξίσωσης είναι μηδέν, όπως στο Μέρος γ.

x =v_0x t

Μας δίνονται t =10 δευτερόλεπτα. V_0x υπολογίστηκε στο Μέρος γ του προβλήματος.

x =106,1 m/s · 10 s
x =1061 m

Τώρα κάντε το ίδιο πράγμα για την κατακόρυφη θέση.

y =v_0y t + ½at

Είδαμε στο μέρος β ότι v_0y =109,6 m/s και a =-g =-9,8 m/s. Σε t =10 s:

y =106,1 m/s · 10 s + ½(-9,8 m/s)(10 s)
y =1061 – 490 m
y =571 m

Σε t=10 δευτερόλεπτα, το βλήμα βρίσκεται σε (1061 m, 571 m) ή 1061 m κάτω εμβέλειας και σε υψόμετρο 571 μέτρων.

Εάν πρέπει να γνωρίζετε την ταχύτητα του βλήματος σε μια συγκεκριμένη στιγμή, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο

v – v₀ =στο

και λύστε το v. Απλώς να θυμάστε ότι η ταχύτητα είναι διάνυσμα και θα έχει συνιστώσες x και y.

Αυτό το συγκεκριμένο παράδειγμα μπορεί εύκολα να προσαρμοστεί για οποιαδήποτε αρχική ταχύτητα και οποιαδήποτε γωνία ανύψωσης. Εάν το κανόνι εκτοξευθεί σε άλλο πλανήτη με διαφορετική δύναμη βαρύτητας, απλώς αλλάξτε την τιμή του g ανάλογα.