Ορισμένα Ολοκληρώματα
Τα πάντα σε αυτόν τον κόσμο αποτελούνται από διαφορετικά σχήματα. Μερικά είναι οριστικά, ενώ άλλα είναι αόριστα με τρόπο. Τώρα, ας δούμε τα σχήματα για να προσδιορίσουμε την παρούσα περιοχή. Για συγκεκριμένα σχήματα, μπορούμε να εφαρμόσουμε τύπους για να βρούμε την περιοχή. Ωστόσο, για αόριστα σχήματα, πρέπει να χωρίσουμε τα σχήματα σε μερικούς αριθμούς για να γίνουν τα σχήματα καθορισμένα, αλλά αυτή η μέθοδος δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε κάθε σχήμα. Για τέτοια σχήματα, η περιοχή μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της ολοκλήρωσης. Η μέθοδος των ορισμένων ολοκληρωμάτων χρησιμοποιείται επίσης για τον προσδιορισμό της δεδομένης περιοχής καμπυλών για την οποία είναι γνωστή η εξίσωση της καμπύλης.
Τι εννοείτε με τον όρο οριστικά ολοκληρώματα;
Τα καθορισμένα ολοκληρώματα αντιπροσωπεύουν την περιοχή κάτω από την καμπύλη μεταξύ δύο σταθερών ορίων. Αυτά τα ολοκληρώματα βοηθούν στον προσδιορισμό του εμβαδού μιας καμπύλης σε ένα γράφημα. Κατά την αξιολόγηση ορισμένων ολοκληρωμάτων, μπορεί κανείς να λάβει οριακά σημεία ως (a,b) και να βρει το εμβαδόν της καμπύλης που αφορά τον άξονα x.
Μπορείτε να αναπαραστήσετε τα οριστικά ολοκληρώματα ως:
∫baf(x)dx
πού,
a σημαίνει το κατώτερο όριο και
Τοb υποδηλώνει το ανώτερο όριο.
Ενώ η ολοκλήρωση σημαίνει προσθήκη περιοχών, τα καθορισμένα ολοκληρώματα είναι το άθροισμα των περιοχών με καθορισμένα όρια.
Ο τύπος ορισμένων ολοκληρωμάτων:
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)
Εδώ, το F(a) είναι η κατώτερη οριακή τιμή του ολοκληρώματος και το F(b) είναι η ανώτερη οριακή τιμή του ολοκληρώματος. Οι αριθμοί a και b στο κάτω και πάνω μέρος του ολοκληρώματος είναι το κατώτερο και το ανώτερο όριο. Αν και έχετε την τιμή των b και a, το κατώτερο όριο μπορεί να είναι υψηλότερο από το ανώτερο όριο. Επομένως, τα b και a ονομάζονται διαστήματα ολοκληρωμάτων.
Ιδιότητες ορισμένων ολοκληρωμάτων:
Οι καθορισμένες ολοκληρωτικές ιδιότητες βοηθούν στην εύρεση του ολοκληρώματος για μια συνάρτηση πολλαπλασιασμένη με μια σταθερά, για το άθροισμα των συναρτήσεων και για άρτιες και περιττές συναρτήσεις. Παρακάτω δίνονται οι ιδιότητες:
1η ιδιότητα: p∫q f(x) dx = p∫q f(y) dy
2η ιδιότητα:p∫ q f(x) d(x) =– q∫p f(x) d(x), επίσης p∫p f(x) d(x) =0
3η ιδιότητα: p∫ q f(x) d(x) = p∫r f(x) d(x) + r∫q f(x) d(x)
4η ιδιότητα:p∫ q f(x) d(x) = p∫q f( p + q – x) d(x)
5η ιδιότητα:o∫ p f(x) d(x) = o∫p f(p – x) d(x)
6η ιδιότητα:∫02p f(x)dx =∫0p f(x)dx +∫0p f(2p-x)dx…αν f(2p-x) =f(x)
7η ιδιότητα:
∫02 f(x)dx =2∫0x f(x) dx … if f(2p-x) =f(x)
∫02 p f(x)dx =0 … if f(2p-x) =-f(x)
8η ιδιότητα:
∫-pp f(x)dx =2∫0p f(x) dx … εάν f(-x) =f(x) ή οι λειτουργίες μπορεί να είναι ζυγές
∫-ppf(x)dx =0 … εάν f(2p-x) =-f(x) ή είναι περιττές συναρτήσεις
Πώς μπορείτε να προσδιορίσετε οριστικά ολοκληρώματα;
Το πρωταρχικό βήμα για τον προσδιορισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων είναι ο προσδιορισμός του αντιπαραγώγου που είναι F(x)
Το δευτερεύον βήμα είναι ο προσδιορισμός των τιμών των F(x) και F(y)
Το τελευταίο βήμα είναι να βρείτε F(x)-F(y)
Παράδειγμα:
- ∫21 2y dy
Σε y=1: ∫2y dy = 12 + C
Σε y=2: ∫2y dy = 22 + C
(22 + C) − (12 + C)
22 + C − 12 − C
4 − 1 + C − C =3
- ∫1 2 2y dy = 3
A = 2+4 × 1/2 =3
Το οποίο έχει εμβαδόν 3.
Εφαρμογή ορισμένων ολοκληρωμάτων:
Τα οριστικά ολοκληρώματα χρησιμοποιούνται κυρίως για την εύρεση των περιοχών των επίπεδων μορφών όπως κύκλοι, παραβολές, ελλείψεις.
Η μηχανική είναι ο κύριος τομέας που περιλαμβάνει την ενοποίηση σε πολλούς τομείς. Οι έννοιες της ολοκλήρωσης εξήγησαν τους τύπους της φυσικής. Όπου η περιοχή διατομής του υλικού μελέτης είναι ανομοιόμορφη, χρησιμοποιούμε την έννοια της ολοκλήρωσης. Για παράδειγμα, όταν το εμβαδόν μιας διατομής του υλικού για την εύρεση του κέντρου μάζας είναι ανομοιόμορφο, χρησιμοποιούμε καθορισμένα ολοκληρώματα για να βρούμε τις συντεταγμένες του COM από οποιοδήποτε σημείο αναφοράς.
Η ταχύτητα και η μετατόπιση των σωμάτων σε κίνηση θα υπολογιστούν χρησιμοποιώντας καθορισμένα ολοκληρώματα. Ο όγκος των αόριστων καμπυλών βρίσκεται χρησιμοποιώντας τα οριστικά ολοκληρώματα. Αρκετές φυσικές εφαρμογές του ορισμένου ολοκληρώματος είναι κοινές στη μηχανική και τη φυσική.
Μέσω ορισμένων ολοκληρωμάτων, μπορεί κανείς να προσδιορίσει τη μάζα του σώματος εάν και μόνο εάν είναι γνωστή η συνάρτηση της πυκνότητάς του. Μπορείτε επίσης να προσδιορίσετε την αξία της εργασίας ενσωματώνοντας τη συνάρτηση δύναμης.
Ορισμένα ολοκληρώματα μπορούν επίσης να προσδιορίσουν τη δύναμη που ασκείται σε ένα αντικείμενο βυθισμένο σε ένα υγρό.
Συμπέρασμα:
Πολλά πεδία περιλαμβάνουν συγκεκριμένα ολοκληρώματα στην πραγματική ζωή. Η ενσωμάτωση των καμπυλών ήταν ο ευκολότερος και πιο αποτελεσματικός τρόπος όταν καταφέραμε να το χρησιμοποιήσουμε. Οι περισσότεροι λένε ότι οι έννοιες που μάθαμε στο γυμνάσιο δεν μας ήταν χρήσιμες στην πραγματική ζωή. Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια. τα πράγματα που μαθαίνουμε στο γυμνάσιο είναι τα βασικά των μαθηματικών μηχανικής.
