Συσχέτιση και Συνδιακύμανση για Τυποποιημένα Χαρακτηριστικά
Η κατανόηση των στατιστικών είναι ένα ουσιαστικό μέρος της εκμάθησης της Φυσικής. Όλες οι πρωτογενείς τεχνικές μέτρησης στη Φυσική απαιτούν Στατιστική σε κάποια μορφή. Βοηθά στην επίλυση σφαλμάτων και στη βελτίωση της ορθότητας των μετρήσεων.
Η συσχέτιση και η συνδιακύμανση είναι δύο σημαντικές πτυχές της στατιστικής που βοηθούν τους φυσικούς να καθορίσουν τις σχέσεις. Η συνδιακύμανση και η συσχέτιση μας βοηθούν να προσδιορίσουμε την επίδραση δύο διαφορετικών μεταβλητών μεταξύ τους. Για παράδειγμα, θα μπορούσε να έχει θετικό ή αρνητικό αντίκτυπο.
Σε αυτό το άρθρο, θα συζητήσουμε τις έννοιες της συνδιακύμανσης και της συσχέτισης. Αλλά προτού περάσουμε στο θέμα, ας ρίξουμε μια σύντομη ματιά στη διακύμανση και την τυπική απόκλιση.
Διακύμανση και τυπική απόκλιση
Οι τύποι για τις δύο σημαντικές μαθηματικές πτυχές, τη διακύμανση και την τυπική απόκλιση, είναι οι ακόλουθοι.
Διακύμανση
Πρώτα, βρείτε τις αποκλίσεις από το μέσο όρο. Μετά, τα τετράγωνά τους. Τώρα, πρέπει να βρείτε τη μέση τιμή των τετραγώνων.
σ2 =1ni=1n(xi-x̅)2
Τυπική απόκλιση
Είναι η θετική τετραγωνική ρίζα του παραπάνω τύπου για τη διακύμανση.
σ =[1ni=1n(xi-x̅)2]1/2
Ας κατανοήσουμε την έννοια της συσχέτισης και της συνδιακύμανσης.
Σημασία συνδιακύμανσης και συσχέτισης
Σε απλούς ορισμούς, η συνδιακύμανση και η συσχέτιση συνδυάζουν δύο μεταβλητές και μας λένε τη σχέση μεταξύ των μεταβλητών. Λοιπόν, ας δούμε τη σημασία της συσχέτισης και της συνδιακύμανσης ξεχωριστά.
Συνδιακύμανση
Μετρά την εξάρτηση δύο τυχαίων μεταβλητών μεταξύ τους. δηλαδή πώς αλλάζουν με την παρουσία τους. Δύο τυχαίες μεταβλητές μπορεί να αντιστοιχούν σε εξαρτημένες ή ανεξάρτητες.
Δύο τυχαίες μεταβλητές εξαρτώνται όταν η συνδιακύμανση αλλάζει θετικά ή αρνητικά. Η αλλαγή είναι θετική όταν οι δύο μεταβλητές διαφέρουν προς την ίδια κατεύθυνση. Η αρνητική αλλαγή προκύπτει όταν οι μεταβλητές διαφέρουν σε αντίθετες κατευθύνσεις.
Οι δύο τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες αν δεν διαφέρουν μαζί. Έτσι, κάνει τη συνδιακύμανσή τους μηδέν.
Μαθηματικός ορισμός της συνδιακύμανσης
Τώρα που καταλάβαμε την έννοια της συνδιακύμανσης, εδώ είναι ο μαθηματικός ορισμός.
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο τυχαίες μεταβλητές, η X και η Y. Η συνδιακύμανση για τις μεταβλητές συμβολίζεται με Cov (X, Y) και δίνεται με:
Cov (X, Y) =∑ (X – X) (Y –Y ) / N=∑ xy/N
Όπου X =∑ X / N
Y ∑ Y / N
x =X –X
y =Y –Y
x είναι η απόκλιση της τιμής i του X από τη μέση τιμή του.
Το y είναι η απόκλιση της i-ης τιμής του Y από τη μέση τιμή του.
Συσχετισμός
Η συσχέτιση ορίζεται με όρους συνδιακύμανσης. Ας πάρουμε ένα απλό παράδειγμα αύξησης στις πωλήσεις πουλόβερ και ανθρώπων που πεθαίνουν από υποθερμία. Η βασική αιτία και των δύο περιπτώσεων είναι η πτώση της θερμοκρασίας. Εδώ, η πτώση της θερμοκρασίας είναι ο λόγος για τη συσχέτιση μεταξύ των δύο.
Η συσχέτιση μας λέει πόσο έντονα σχετίζονται οι δύο τυχαίες μεταβλητές. Μελετά επίσης την κατεύθυνση προς την οποία αλλάζουν οι μεταβλητές.
Άρα, η συσχέτιση μπορεί να είναι είτε θετική είτε αρνητική. Το θετικό και το αρνητικό πρόσημο δείχνουν την κατεύθυνση της σχέσης μεταξύ των μεταβλητών. Εάν η συσχέτιση είναι μηδέν, συνάγεται ότι οι δύο μεταβλητές δεν σχετίζονται σε καμία περίπτωση. Εάν η συνδιακύμανση είναι μηδέν, η συσχέτιση είναι επίσης μηδέν.
Συντελεστής συσχέτισης
Ο συντελεστής συσχέτισης ή ο συντελεστής συσχέτισης του Karl Pearson δίνεται από:
r =∑ xy / N σx σy
r =(X –X)(Y –Y )∑(X -X)2∑(Y -Y )2
r ={[∑XY – (∑X) (∑Y)]/ N} / [√∑X2 – (∑X2)/ N] [ √∑Y2 – (∑Y)2/N]
r =N∑XY – (∑X)(∑Y) / √N∑X2 – (∑X)2 × √N∑Y2 – (∑Y)2
r =∑ xy / N σx σy
r =∑ (X –X) (Y –Y ) √∑ (X -X)2 √∑ (Y -Y )2
Η τιμή του r δεν έχει μονάδα αφού είναι συντελεστής. Εάν το r είναι αρνητικό, υπάρχει αντίστροφη σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Σημαίνει ότι οι μεταβλητές αλλάζουν προς δύο διαφορετικές κατευθύνσεις. Εάν το r είναι θετικό, οι δύο μεταβλητές ποικίλλουν προς την ίδια κατεύθυνση. Εάν το r είναι 0, οι δύο μεταβλητές δεν σχετίζονται μεταξύ τους.
Η τιμή της συσχέτισης βρίσκεται πάντα μεταξύ -1 και 1.
Γιατί η συσχέτιση έχει προτίμηση έναντι της συνδιακύμανσης;
Η συνδιακύμανση δεν θεωρείται τόσο συχνά όσο η συσχέτιση. Οι λόγοι είναι οι εξής.
- Η συνδιακύμανση ποικίλλει ανάλογα με τη μονάδα. Αλλά η συσχέτιση δεν έχει μονάδα. Έτσι, είναι πιο εύκολο να κάνετε διαισθήσεις στην περίπτωση του συσχετισμού.
- Η συνδιακύμανση δεν έχει πρόσημο. Έτσι, δεν είναι πάντα δυνατό να πούμε την ισχύ της σχέσης μεταξύ των δύο μεταβλητών. Ωστόσο, τα θετικά και αρνητικά σημάδια συσχέτισης βοηθούν στον προσδιορισμό της δύναμης της σχέσης τους.
- Μια μηδενική συνδιακύμανση δεν συνεπάγεται πάντα καμία σχέση μεταξύ των μεταβλητών. Αλλά ένα
Συμπέρασμα
Η συσχέτιση και η συνδιακύμανση είναι χρήσιμες τεχνικές μέτρησης που βοηθούν στον προσδιορισμό της ισχύος και των σχέσεων μεταξύ δύο μεταβλητών.
Έχουμε συζητήσει πολλές πτυχές της συνδιακύμανσης και της συσχέτισης σε αυτό το άρθρο. Αρχικά, συζητήσαμε τη σημασία της συσχέτισης και της συνδιακύμανσης. Μάθαμε επίσης τους λόγους για τους οποίους η συσχέτιση βρίσκει προτίμηση έναντι της συνδιακύμανσης.
Οι παραπάνω σημειώσεις συσχέτισης και συνδιακύμανσης θα βοηθήσουν τους επίδοξους μαθητές του IIT/JEE να κατανοήσουν διάφορες έννοιες της Φυσικής και των Μαθηματικών.
