Θεώρημα Bayes Εισαγωγή

Στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική, το θεώρημα Bayes (ή ο νόμος του Bayes ή ο κανόνας του Bayes) βεβαιώνει ότι η πιθανότητα ενός γεγονότος αυξάνεται όταν παρέχονται προηγούμενες πληροφορίες ή γνώση των συνθηκών. Ας υποθέσουμε ότι ο καρκίνος συνδέεται με την ηλικία, για παράδειγμα. Σε αυτήν την περίπτωση, το θεώρημα του Bayes μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αξιολογήσει την πιθανότητα να έχει καρκίνο ένα άτομο με μεγαλύτερη ακρίβεια αντί να προσδιορίσει την πιθανότητα καρκίνου χωρίς να γνωρίζει την ηλικία του ατόμου.

Στη Στοιχειώδη Στατιστική εισάγεται η έννοια της υπό όρους πιθανότητας. Η υπό όρους πιθανότητα ενός γεγονότος υπολογίζεται με τη γνώση ότι ένα άλλο γεγονός έχει ήδη συμβεί. Δεδομένου ότι το γεγονός Α έχει ήδη συμβεί, η υπό όρους πιθανότητα να συμβεί το γεγονός Β συμβολίζεται με P(B|A).

Σημασία του θεωρήματος Bayes

Το θεώρημα Bayes, ή ο κανόνας Bayes, είναι ένας χρήσιμος μαθηματικός τύπος που χρησιμοποιείται στη στατιστική και τη θεωρία πιθανοτήτων για τον υπολογισμό της υπό όρους πιθανότητας γεγονότων. Το θεώρημα Bayes εκφράζει την πιθανότητα ενός γεγονότος που βασίζεται σε προηγούμενη γνώση των περιστάσεων.

Ο Thomas Bayes το εισήγαγε αυτό προτείνοντας μια εξίσωση που επιτρέπει τη χρήση νέων στοιχείων για την ενημέρωση των προηγούμενων πεποιθήσεων. Εάν η υπό όρους πιθανότητα είναι P(B|A), μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Bayes για να πάρουμε τις αντίστροφες πιθανότητες P(A|B).

Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι:

Όταν ένα τυχαίο πείραμα ή προηγούμενα δεδομένα προσφέρει νέες ή πρόσθετες πληροφορίες, μπορούμε να αλλάξουμε τις πιθανότητες. Για να καταλήξουν σε ένα σωστό συμπέρασμα ενόψει της ασάφειας, οι ηγέτες επιχειρήσεων και διοίκησης πρέπει να είναι σε θέση να ενημερώνουν τις τρέχουσες (δεδομένες) πιθανότητες υπό το φως των νέων πληροφοριών.

P(A|B) =P(B|A) ×P(A) / P(A)

Ακολουθεί μια ευρεία δήλωση που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να επεξηγήσει τον παραπάνω ισχυρισμό:

P(Ai|B) =P(B|Ai) × P(Ai)i=1n (P(B|Ai) × P(Ai))

Το P(Ai) είναι η πιθανότητα της ith εμφάνισης, Ai.

Παραγωγή

Σύμφωνα με τον ορισμό της υπό όρους πιθανότητας, P(A|B)=P(A∩B)P(B), P(B)≠0 και γνωρίζουμε ότι P(A∩B)=P(B∩A)=P(B|A)P(A), που σημαίνει,

P(A|B) =P(B|A)P(A)P(B)

Ως εκ τούτου, προκύπτει ο τύπος του θεωρήματος Bayes για τα γεγονότα.

Απόδειξη του θεωρήματος Bayes

Οι τύποι πιθανοτήτων υπό όρους και ολικής πιθανότητας θα χρησιμοποιηθούν για την απόδειξη του Θεωρήματος Bayes.

Όταν δεν υπάρχουν επαρκή στοιχεία για τον υπολογισμό της συνολικής πιθανότητας ενός γεγονότος Α, χρησιμοποιούνται άλλα γεγονότα που συνδέονται με το γεγονός Α για την εκτίμηση της πιθανότητας του. Η πιθανότητα του συμβάντος Α, υπό τον όρο ότι οι άλλες παρόμοιες δραστηριότητες έχουν ήδη συμβεί, είναι γνωστή ως πιθανότητα υπό όρους.

Το (Ei)  είναι ένα διαμέρισμα του δείγματος χώρου S. Έστω A ένα γεγονός που συνέβη. Ας εκφράσουμε το Α με όρους (Ei).

A =A ∩ S

=A ∩ (E1, E2, E3,…,En)

A =(A ∩E1) ∪ (A ∩E2) ∪ (A ∩E3)….∪ ( A ∩En)

P(A) =P[(A ∩E1) ∪ (A ∩E2) ∪ (A ∩E3)….∪ ( A ∩En)]

Βλέπουμε ότι τα Α και Β είναι ασύνδετα σύνολα, τότε P(A∪B) =P(A) + P(B)

Άρα, P(A) =P(A ∩E1) +P(A ∩E2)+ P(A ∩E3)…..P(A ∩En)

Σύμφωνα με το θεώρημα πολλαπλασιασμού ενός εξαρτημένου γεγονότος,

Ρ(Α) =Ρ(Ε). Ρ(Α/Ε1) + Ρ(Ε). Ρ(Α/Ε2) + Ρ(Ε). P(A/E3)……+ P(A/En)

Άρα, συνολική πιθανότητα του P(A) =i=1n P(Ei)P(A|Ei), i=1,2,3,…,n — (1)

Τώρα, θυμηθείτε την υπό όρους πιθανότητα, 

P(Ei|A)=P(Ei∩A)/P(A), i=1,2,3,…,n —(2)

Βάζοντας τον τύπο για την υπό όρους πιθανότητα του P(A|Ei) παίρνουμε

P(Ei∩A) =P(A|Ei)P(Ei) — (3)

Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (1) και (3) στην εξίσωση (2) παίρνουμε

P(Ei|A)=P(A|Ei)P(Ei)/k=1n P(Ek)P(A|Ek), i=1,2,3,…,n

Ως εκ τούτου, αποδεικνύεται το θεώρημα Bayes.

Όροι που σχετίζονται με το θεώρημα του Bayes 

Ας κατανοήσουμε τους ορισμούς μερικών φράσεων που συνδέονται με την έννοια που έχει χρησιμοποιηθεί στον τύπο και την παραγωγή του θεωρήματος Bayes:

• Πιθανότητα υπό όρους – Είναι η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν Α με βάση ένα άλλο γεγονός Β. Το P(A|B) υποδηλώνει την πιθανότητα να συμβεί το Α δεδομένου ότι το γεγονός Β έχει ήδη συμβεί.
• Κοινή πιθανότητα – Η πιθανότητα δύο ή περισσότερων περιστατικών να συνυπάρχουν μετριέται με κοινή πιθανότητα, που συμβολίζεται με P(A∩B) για δύο γεγονότα, το A και το B.
• Τυχαίες μεταβλητές – Μια τυχαία μεταβλητή είναι μια γνήσια μεταβλητή της οποίας οι τιμές αποφασίζονται τυχαία και η πειραματική πιθανότητα αναφέρεται στην πιθανότητα ορισμένων μεταβλητών.
• Μεταγενέστερη πιθανότητα – Είναι η πιθανότητα ενός συμβάντος που εκτιμάται αφού ληφθούν υπόψη όλα τα σχετικά δεδομένα, του οποίου το άλλο όνομα είναι πιθανότητα υπό όρους.
• Προηγούμενη πιθανότητα – Είναι η πιθανότητα ενός συμβάντος που υπολογίζεται πριν ληφθούν υπόψη νέες πληροφορίες. Πριν από το πείραμα, η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου αποτελέσματος υπολογίζεται με βάση τις τρέχουσες πληροφορίες.

Σημειώσεις του θεωρήματος Bayes

• Η υπό όρους πιθανότητα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας το θεώρημα Bayes.
• Όταν συμβαίνουν δύο ανεξάρτητα περιστατικά Α και Β, P(A|B) =P(A) και P(B|A) =P(B) 
• Για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, το θεώρημα Bayes μπορεί να υπολογίσει την υπό όρους πιθανότητα.

Συμπέρασμα 

Το θεώρημα Bayes έχει ένα ευρύ φάσμα εφαρμογών που δεν περιορίζονται στον οικονομικό κόσμο. Το θεώρημα του Bayes, για παράδειγμα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση της ακρίβειας των ευρημάτων ιατρικών εξετάσεων, λαμβάνοντας υπόψη πόσο πιθανό είναι ένα συγκεκριμένο άτομο να έχει μια πάθηση, καθώς και τη συνολική ακρίβεια του τεστ.