Εφαρμογές του νόμου Gauss

Ο νόμος του Gauss μπορεί να εφαρμοστεί για την επίλυση πολλών ηλεκτροστατικών προβλημάτων, τα οποία περιλαμβάνουν μοναδικές συμμετρίες όπως σφαιρικές, επίπεδες ή κυλινδρικές. Ο υπολογισμός των ηλεκτρικών πεδίων σε πολύπλοκα προβλήματα μπορεί να είναι δύσκολος και περιλαμβάνει δύσκολη ολοκλήρωση. Ο νόμος του Gauss αξιολογεί το ηλεκτρικό πεδίο. Υπάρχουν πολλά πεδία ή προβλήματα στα οποία μπορεί να εφαρμοστεί ο νόμος του Gauss και μπορεί να εφαρμοστεί με τον ακόλουθο τρόπο:

• Για να κάνετε την αξιολόγηση του ηλεκτρικού πεδίου εύκολη, επιλέξτε μια επιφάνεια Gauss.
• Για να επιλύσετε αποτελεσματικά τα προβλήματα, χρησιμοποιήστε τη συμμετρία.
• Η επιφάνεια του Gauss δεν χρειάζεται να συμπίπτει με την πραγματική επιφάνεια. Μπορεί να είναι έξω ή μέσα στην επιφάνεια του Gauss.

Ηλεκτρικό πεδίο λόγω παράλληλων φορτισμένων φύλλων

Πάρτε δύο άπειρα παράλληλα φύλλα με αντίθετη και ίση πυκνότητα φορτίου

+𝝈 και -𝝈. Το μέγεθος θα είναι E=𝝈./2ɛ0 και είναι κάθετο στο φύλλο.

Περίπτωση 1. Όταν το σημείο P1 βρίσκεται ανάμεσα στα φύλλα, το προκύπτον πεδίο στο P1 είναι E=E1+E2=𝝈2ɛ0+𝝈2ɛ0=𝝈ɛ0

Περίπτωση 2. Όταν το σημείο P2 είναι έξω από τα φύλλα, το ηλεκτρικό πεδίο θα είναι στην αντίθετη κατεύθυνση και ίσο σε μέγεθος.

Το αποτέλεσμα θα είναι  E=E1–E2=𝝈2ɛ0–𝝈2ɛ0=0.

Ηλεκτρικό πεδίο λόγω ενός ομοιόμορφα φορτισμένου σφαιρικού κελύφους 

Περίπτωση 1. Λαμβάνοντας ένα σημείο έξω από το κέλυφος

Λήψη φορτισμένου κελύφους με:

R =Ακτίνα του φορτισμένου κελύφους.

P =ένα σημείο έξω από το κέλυφος.

R =απόσταση του σημείου από το κέντρο.

Ο =κέντρο.

Η ροή που διασχίζει τη σφαίρα του Gauss θα είναι ɸ=sĒ. ds=sE ds=E(4r2) .

Απλοποίηση με τον νόμο του Gauss E(4r2) =q/ɛ0 ή E=14r2qr2.

Περίπτωση 2. Σε ένα σημείο στην επιφάνεια του κελύφους

E=14r2qr2 επειδή r =R.

Περίπτωση 3. Σε ένα σημείο μέσα στο κέλυφος

Πάρτε ένα σημείο P' μέσα στο κέλυφος σε απόσταση r' από το κέντρο του κελύφους και μια επιφάνεια Gauss με ακτίνα r'.

Η ροή που διασχίζει τη σφαίρα του Gauss προς τα έξω είναι ɸ=sĒ. ds=sEds=E(4r’2) .

Σύμφωνα με το νόμο του Gauss, E4r‘2=qɛ0=0.

Ηλεκτρικό πεδίο λόγω άπειρου φορτισμένου φύλλου πλάκας

Πάρτε ένα άπειρο φορτισμένο φύλλο πλάκας με 

𝝈 =πυκνότητα επιφανειακού φορτίου.

P =ένα σημείο έξω από το κέλυφος.

r =απόσταση του σημείου P από το φύλλο.

E =είναι το ηλεκτρικό πεδίο στο σημείο P. 

Ας υποθέσουμε ότι η επιφάνεια του Gauss είναι ένας κύλινδρος διέλευσης του φύλλου και η περιοχή διασταύρωσης τομής είναι A. Τότε το μήκος θα είναι 2r του κυλίνδρου κάθετα στο φύλλο.

Το ηλεκτρικό πεδίο βρίσκεται σε ορθή γωνία προς το άκρο του cpas και μακριά από το επίπεδο.

Το μέγεθός του είναι το ίδιο με το P και το άλλο P’.

Επομένως, η συνολική ροή μέσω της κλειστής επιφάνειας θα είναι 

ɸ=[∮E.ds]p+[[∮E.ds]p’ =EA+EA=2EA.

Αν 𝝈 είναι το φορτίο ανά μονάδα επιφάνειας στο επίπεδο φύλλο, τότε το καθαρό θετικό φορτίο q εντός της επιφάνειας του Gauss είναι q=𝝈A.

Απλοποίηση με χρήση του νόμου Gauss 2EA=𝝈Aɛ0.

E=𝝈2ɛ0

Ηλεκτρικό πεδίο που προκαλείται από ένα απείρως μακρύ ευθύ φορτισμένο καλώδιο

Πάρτε ένα ομοιόμορφα φορτισμένο καλώδιο άπειρου μήκους με σταθερή γραμμική πυκνότητα 

P =  ένα σημείο.

r =απόσταση από το σύρμα.

E =ηλεκτρικό σημείο στο σημείο P. 

l =το μήκος του κυλίνδρου.

r =ακτίνα.

Πάρτε μια μικρή περιοχή ds στην επιφάνεια του Gauss.

Τα Ē και ds είναι στην ίδια κατεύθυνση.

Τότε η ηλεκτρική ροή με καμπύλη επιφάνεια θα είναι 

ɸ=E ds .

ɸ=E(2rl).

Η ηλεκτρική ροή μέσω των επιπέδων πωμάτων =0. 

Η συνολική ροή θα είναι ɸ=E(2rl).

Απλοποίηση με το νόμο του Gauss  

E(2rl)=0 ή E=2rl0.

Ηλεκτρικό πεδίο έξω από το σφαιρικό κέλυφος

P =ένα σημείο μακριά από το κέλυφος.

r =απόσταση από το σφαιρικό κέλυφος.

r =ακτίνα της επιφάνειας του Gauss.

Ο =κέντρο.

Σύμφωνα με το νόμο του Gauss ɸ=q/ɛ0.

Η φόρτιση μέσα στην επιφάνεια του Gauss θα είναι 4R2 .

Απλοποίηση με τον νόμο του Gauss 

E4R2=4R2/0

E=R20 r2

Θέτοντας την τιμή της επιφανειακής πυκνότητας φορτίου ως q/4R2.

Επομένως, E=kqr2 r.

r είναι το διάνυσμα ακτίνας.

Συμπέρασμα 

Υπάρχουν αρκετές περιπτώσεις όπου ο νόμος του Gauss μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την γρήγορη επίλυση προβλημάτων. Όταν πρόκειται για την επίλυση ηλεκτροστατικών προβλημάτων που περιλαμβάνουν μοναδικά σχήματα όπως κυλινδρική, σφαιρική ή επίπεδη συμμετρία, ο νόμος του Gauss μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση αυτών των προβλημάτων.

Έχουμε συζητήσει διάφορες εφαρμογές όπως ηλεκτρικό πεδίο έξω από το σφαιρικό κέλυφος, ηλεκτρικό πεδίο που προκαλείται από ένα απείρως μακρύ ευθύ φορτισμένο καλώδιο, Ηλεκτρικό πεδίο λόγω ομοιόμορφα φορτισμένου σφαιρικού κελύφους, Ηλεκτρικό πεδίο λόγω παράλληλων φορτισμένων φύλλων και Ηλεκτρικό πεδίο λόγω άπειρης φορτισμένης πλάκας φύλλο.