Τι εννοείται από το νόμο των Infinitesimals;
infinitesimals είναι ποσότητες που είναι μικρότερες από οποιοδήποτε θετικό πραγματικό αριθμό, αλλά όχι μηδέν. Χρησιμοποιούνται στον λογισμό για να μελετήσουν τη συμπεριφορά των λειτουργιών σε σημεία όπου αλλάζουν ταχέως, όπως σε σημεία ασυνέχειας ή σε σημεία όπου η λειτουργία έχει μια απότομη γωνία.
Δείτε πώς χρησιμοποιούνται τα infinitesimals:
* Διαφοροποίηση: Το παράγωγο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο ορίζεται ως το όριο της αναλογίας της μεταβολής της συνάρτησης στη μεταβολή της ανεξάρτητης μεταβλητής, καθώς η μεταβολή της ανεξάρτητης μεταβλητής πλησιάζει μηδενική. Τα infinitesimals μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αντιπροσωπεύουν αυτή την "άπειρη μικρή" αλλαγή.
* Ενσωμάτωση: Το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα ορίζεται ως η περιοχή κάτω από την καμπύλη της λειτουργίας πάνω από αυτό το διάστημα. Τα infinitesimals μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να διαιρέσουν το διάστημα σε έναν άπειρο αριθμό υποδιαστολών, το καθένα με ένα άπειρο πλάτος και στη συνέχεια να συνοψίσει τις περιοχές των ορθογώνιων που σχηματίζονται από τις τιμές λειτουργίας και τα πλάτη υποδιαστολής.
Ενώ η έννοια των infinitesimals χρησιμοποιείται συχνά για παιδαγωγικούς σκοπούς, υπάρχουν ορισμένα τεχνικά ζητήματα με τη χρήση τους σε αυστηρά μαθηματικά. Αυτά τα ζητήματα οδήγησαν στην ανάπτυξη αυστηρότερων συνθέσεων λογισμού χρησιμοποιώντας όρια και άλλες έννοιες.
Αντί ενός "νόμου των infinitesimals", μπορούμε να πούμε ότι τα infinitesimals είναι ένα εργαλείο που χρησιμοποιείται στον λογισμό για να κατανοήσει τη συμπεριφορά των λειτουργιών σε καταστάσεις όπου αλλάζουν γρήγορα. Η χρήση των infinitesimals βασίζεται στην ιδέα ότι αυτές οι "άπειρες" ποσότητες μπορούν να χειραγωγηθούν και να χρησιμοποιηθούν για την εκτέλεση υπολογισμών.
Βασικά σημεία:
* Δεν υπάρχει ενιαίος "νόμος των Infinitesimals". Είναι περισσότερο μια έννοια που χρησιμοποιείται στον λογισμό.
* Τα infinitesimals αντιπροσωπεύουν ποσότητες μικρότερες από οποιονδήποτε θετικό πραγματικό αριθμό αλλά όχι μηδέν.
* Βοηθούν στην κατανόηση της συμπεριφοράς των λειτουργιών σε σημεία ταχείας αλλαγής.
* Ενώ είναι χρήσιμο για κατανόηση, απαιτούν προσεκτικό χειρισμό λόγω τεχνικών ζητημάτων σε αυστηρά μαθηματικά.
Εάν ενδιαφέρεστε να μάθετε περισσότερα σχετικά με τα InfinitesImals και τη χρήση τους στον λογισμό, σας συνιστώ να διαβάσετε την ιστορία του λογισμικού και την ανάπτυξη του αυστηρού του θεμελίου.
