Παράδειγμα πρόβλημα και απάντηση της κίνησης των βλήματος;

Πρόβλημα:

Μια μπάλα ποδοσφαίρου κλωτσάει από το έδαφος με αρχική ταχύτητα 20 m/s σε γωνία 30 μοίρες πάνω από την οριζόντια.

a) Υπολογίστε το μέγιστο ύψος που επιτεύχθηκε από την μπάλα.

b) Υπολογίστε το χρόνο που χρειάζεται για να φτάσει η μπάλα στο μέγιστο ύψος του.

c) Υπολογίστε την οριζόντια απόσταση που ταξιδεύει η μπάλα πριν χτυπήσει το έδαφος (εύρος).

d) Υπολογίστε την ταχύτητα της μπάλας λίγο πριν χτυπήσει το έδαφος.

παραδοχές:

* Θα αγνοήσουμε την αντίσταση στον αέρα.

* Θα υποθέσουμε ότι το έδαφος είναι επίπεδο.

* Θα χρησιμοποιήσουμε την τυπική τιμή για επιτάχυνση λόγω βαρύτητας, G =9,8 m/s2.

Λύση:

A) Μέγιστο ύψος:

* κατακόρυφη συνιστώσα της αρχικής ταχύτητας: v y =V * sin (θ) =20 m/s * sin (30 °) =10 m/s

* Εφαρμογή της κινηματικής εξίσωσης: v f ² =v i ² + 2 * a * δy

* Στο μέγιστο ύψος, v f =0 m/s

* Επίλυση για ΔY (μέγιστο ύψος):ΔY =(V F ² - v i ²) / (2 * a) =(02 - 10²) / (2 * -9.8) ≈ 5.1 m

b) Ώρα για να φτάσετε στο μέγιστο ύψος:

* Εφαρμογή της κινηματικής εξίσωσης: v f =v i + a * t

* Στο μέγιστο ύψος, v f =0 m/s

* Επίλυση για t:t =(v f - v i ) / a =(0 - 10) / -9.8 ≈ 1.02 s

c) Εύρος:

* Οριζόντια συνιστώσα της αρχικής ταχύτητας: v x =V * cos (θ) =20 m/s * cos (30 °) ≈ 17,32 m/s

* Χρόνος πτήσης: Ο χρόνος που χρειάζεται η μπάλα για να ανεβεί στο μέγιστο ύψος της είναι ίσος με το χρόνο που χρειάζεται για να πέσει πίσω. Επομένως, ο συνολικός χρόνος πτήσης είναι 2 * 1.02 s =2.04 s.

* εύρος (οριζόντια απόσταση): R =v x * t =17,32 m/s * 2.04 s ≈ 35,3 m

d) ταχύτητα λίγο πριν χτυπήσετε το έδαφος:

* Οριζόντια ταχύτητα παραμένει σταθερή: v x =17,32 m/s

* κατακόρυφη ταχύτητα σε κρούση: v y =v i + a * t =0 + 9.8 m/s² * 2.04 s ≈ 20 m/s (προς τα κάτω)

* Μέγεθος ταχύτητας: v =√ (v x ² + v y ²) =√ (17.32² + 20²) ≈ 26.5 m/s

* κατεύθυνση ταχύτητας: θ =tan⁻⁻ (v y / v x ) =tan⁻⁻ (20/17.32) ≈ 49.1 ° κάτω από την οριζόντια

Επομένως:

* Το μέγιστο ύψος που επιτυγχάνεται από την μπάλα είναι περίπου 5,1 μέτρα.

* Ο χρόνος που χρειάζεται για να φτάσει η μπάλα στο μέγιστο ύψος της είναι περίπου 1,02 δευτερόλεπτα.

* Η οριζόντια απόσταση που ταξιδεύει η μπάλα πριν χτυπήσει το έδαφος (εύρος) είναι περίπου 35,3 μέτρα.

* Η ταχύτητα της μπάλας λίγο πριν χτυπήσει το έδαφος είναι περίπου 26,5 m/s σε γωνία 49,1 ° κάτω από την οριζόντια.