Πώς βρίσκετε την πολική στιγμή της αδράνειας ένα 3D άκαμπτο σώμα;
Κατανόηση της πολικής στιγμής αδράνειας
* Ορισμός: Η πολική στιγμή της αδράνειας (που ονομάζεται επίσης δεύτερη στιγμή της περιοχής) μετρά την αντίσταση ενός άκαμπτου σώματος στην συστροφή ή την περιστροφή γύρω από έναν άξονα που περνάει μέσα από το κέντρο της μάζας.
* Μονάδες: Συνήθως σε kg ·m2 (τετράγωνο τετραγωνικών μέτρων κιλών) ή lb ·ft2 (τετράγωνο λίβρας-ποδιών).
* Σημασία: Είναι ζωτικής σημασίας για εφαρμογές μηχανικής που περιλαμβάνουν στρέψη, όπως το σχεδιασμό άξονα, άξονες και άλλα περιστρεφόμενα εξαρτήματα.
Υπολογισμός της πολικής στιγμής αδράνειας για 3D σώματα
1. Επιλέξτε τον άξονα περιστροφής: Προσδιορίστε σαφώς τον άξονα για τον οποίο θέλετε να υπολογίσετε την πολική στιγμή της αδράνειας.
2. Διαχωρίστε το σώμα σε μικρά στοιχεία: Φανταστείτε να διαιρέσετε το 3D σώμα σε μικρά, απεριόριστα μικρά στοιχεία όγκου (σκεφτείτε αυτά ως μικροσκοπικά κύβους).
3. Υπολογίστε τη στιγμή της αδράνειας κάθε στοιχείου: Για κάθε στοιχείο (DV), πρέπει να προσδιορίσετε την ατομική πολική του ροπή αδράνειας (DI). Αυτό περιλαμβάνει:
* απόσταση: Βρείτε την κάθετη απόσταση (R) από τον άξονα περιστροφής στο κέντρο κάθε στοιχείου.
* μάζα: Υπολογίστε τη μάζα (DM) κάθε στοιχείου χρησιμοποιώντας την πυκνότητα (ρ) και τον όγκο (DV):DM =ρ * DV
* Φόρμουλα: Η πολική στιγμή της αδράνειας (DI) κάθε στοιχείου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:DI =DM * R²
4. Ενσωματώστε σε ολόκληρο το σώμα: Για να αποκτήσετε τη συνολική πολική στιγμή της αδράνειας (i) για ολόκληρο το 3D σώμα, ενσωματώστε τις μεμονωμένες τιμές DI σε ολόκληρο τον όγκο του σώματος:
* Γενική φόρμουλα: I =∫∫∫ dm * r²
* Πού:
* I:Συνολική πολική στιγμή αδράνειας
* DM:Μάζα ενός μικρού στοιχείου
* R:κάθετη απόσταση από το στοιχείο στον άξονα περιστροφής
* ∫∫∫:Triple Integral που αντιπροσωπεύει την ολοκλήρωση σε ολόκληρο τον τόμο
Μέθοδοι και απλουστεύσεις
* Θεώρημα παράλληλου άξονα: Εάν πρέπει να βρείτε την πολική στιγμή της αδράνειας για έναν άξονα που είναι παράλληλη με τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο της μάζας, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα παράλληλου άξονα για να απλοποιήσετε τον υπολογισμό.
* Συμμετρία: Επωφεληθείτε από τυχόν συμμετρίες μέσα στο σώμα για να απλοποιήσετε τη διαδικασία ολοκλήρωσης.
* Πίνακες και τύποι: Για τα κοινά γεωμετρικά σχήματα (π.χ. σφαίρες, κυλίνδρους, ορθογώνια στερεά), μπορείτε συχνά να βρείτε προκαταρκτικούς τύπους για τις πολικές στιγμές τους αδράνειας.
Παράδειγμα:στερεός κύλινδρος
Εξετάστε έναν συμπαγές κύλινδρο με ακτίνα R, ύψος Η και ομοιόμορφη πυκνότητα ρ. Για να βρει την πολική στιγμή της αδράνειας για τον κεντρικό άξονά του (ο άξονας της συμμετρίας):
1. Επιλέξτε Axis: Ο άξονας περιστροφής είναι ο κεντρικός άξονας του κυλίνδρου.
2. Στοιχεία: Σκεφτείτε τον κύλινδρο ως κατασκευασμένο από πολλούς λεπτούς κυλινδρικούς δίσκους που στοιβάζονται το ένα πάνω στο άλλο.
3. Υπολογισμός στοιχείων:
* Για κάθε δίσκο, αφήστε την ακτίνα του να είναι R (ίση με την ακτίνα του κυλίνδρου R), το πάχος του είναι DZ, και η μάζα του είναι DM.
* dm =ρ * πρ ² * dz
* di =dm * r² =ρ * πρ * dz
4. Ενσωμάτωση:
* Ενσωματώστε το DI σε όλο το ύψος του κυλίνδρου (από 0 έως H):
* I =∫ (από 0 έως h) ρ * πρ * dz =ρ * πρ ⁴ * h
* Δεδομένου ότι r =r, η τελική φόρμουλα για την πολική στιγμή της αδράνειας ενός συμπαγούς κυλίνδρου για τον κεντρικό άξονά του είναι:
* I =(ρ * π * r⁴ * h) / 2
Βασικά σημεία
* Η επιλογή του άξονα είναι κρίσιμη και θα επηρεάσει την προκύπτουσα πολική στιγμή της αδράνειας.
* Για σύνθετα σχήματα, μπορεί να χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε τεχνικές αριθμητικής ολοκλήρωσης.
* Εξετάστε τη χρήση λογισμικού μηχανικής (CAE) για σύνθετα 3D σώματα.
Επιτρέψτε μου να ξέρω αν θέλετε να εξερευνήσετε τον υπολογισμό για ένα συγκεκριμένο σχήμα 3D!
