Ultrafinitism:Exploring the Limits of Infinity στα Μαθηματικά

Ο υπερφινιτισμός, μια φιλοσοφία που απορρίπτει το άπειρο, έχει από καιρό απορριφθεί ως μαθηματική αίρεση. Αλλά παράγει επίσης νέες γνώσεις στα μαθηματικά και όχι μόνο.

Ο Doron Zeilberger είναι ένας μαθηματικός που πιστεύει ότι όλα τα πράγματα τελειώνουν. Ότι, όπως είμαστε περιορισμένα όντα, έτσι και η φύση έχει όρια — και επομένως και οι αριθμοί. Κοιτάξτε έξω από το παράθυρο, και εκεί που οι άλλοι βλέπουν την πραγματικότητα ως μια συνεχή έκταση, που ρέει αδυσώπητα προς τα εμπρός από στιγμή σε στιγμή, ο Zeilberger βλέπει ένα σύμπαν που χτυπάει. Είναι ένα διακριτικό μηχάνημα. Στην ομαλή κίνηση του κόσμου γύρω του, πιάνει το διακριτικό θάμπωμα ενός βιβλίου.

Για τον Zeilberger, η πίστη στο άπειρο είναι σαν να πιστεύεις στον Θεό. Είναι μια δελεαστική ιδέα που κολακεύει τη διαίσθησή μας και μας βοηθά να κατανοήσουμε κάθε είδους φαινόμενα. Αλλά το πρόβλημα είναι ότι δεν μπορούμε να παρατηρήσουμε πραγματικά το άπειρο, και έτσι δεν μπορούμε να πούμε πραγματικά τι είναι. Οι εξισώσεις ορίζουν γραμμές που συνεχίζονται από τον πίνακα κιμωλίας, αλλά μέχρι πού; Οι αποδείξεις είναι γεμάτες με υποδηλωτικές ελλείψεις. Αυτές οι εξισώσεις και οι αποδείξεις είναι, σύμφωνα με τον Zeilberger - έναν μακροχρόνιο καθηγητή στο Πανεπιστήμιο Rutgers και μια διάσημη φιγούρα στη συνδυαστική - και "πολύ άσχημες" και ψευδείς. Είναι "εντελώς ανοησία", είπε, βουίζοντας κάθε συλλαβή με μια γεροδεμένη φωνή που φαινόταν φθαρμένη από το να πει την άποψή του.

Ως θέμα πρακτικότητας, το άπειρο μπορεί να εξαλειφθεί, υποστηρίζει. «Δεν το χρειάζεσαι πραγματικά». Οι μαθηματικοί μπορούν να κατασκευάσουν μια μορφή λογισμού χωρίς άπειρο, για παράδειγμα, αποκόπτοντας εντελώς απειροελάχιστα όρια από την εικόνα. Οι καμπύλες μπορεί να φαίνονται ομαλές, αλλά κρύβουν μια λεπτή τραχύτητα. Οι υπολογιστές χειρίζονται τα μαθηματικά μια χαρά με ένα πεπερασμένο εύρος ψηφίων. (Ο Zeilberger παραθέτει τον δικό του υπολογιστή, τον οποίο ονόμασε «Shalosh B. Ekhad», ως συνεργάτη στα χαρτιά του.) Με το άπειρο να έχει εξαλειφθεί, το μόνο πράγμα που χάνεται είναι τα μαθηματικά που «δεν άξιζε να γίνουν καθόλου», είπε ο Zeilberger.

Οι περισσότεροι μαθηματικοί θα έλεγαν ακριβώς το αντίθετο - ότι είναι ο Ζάιλμπεργκερ που εκτοξεύει την πλήρη ανοησία. Όχι μόνο επειδή το άπειρο είναι τόσο χρήσιμο και τόσο φυσικό για τις περιγραφές μας για το σύμπαν, αλλά επειδή η αντιμετώπιση συνόλων αριθμών (όπως οι ακέραιοι) ως πραγματικών, άπειρων αντικειμένων βρίσκεται στον πυρήνα των μαθηματικών, ενσωματωμένο στους πιο θεμελιώδεις κανόνες και υποθέσεις του.

Τουλάχιστον, ακόμα κι αν οι μαθηματικοί δεν θέλουν να σκέφτονται το άπειρο ως πραγματική οντότητα, αναγνωρίζουν ότι οι ακολουθίες, τα σχήματα και άλλα μαθηματικά αντικείμενα έχουν τη δυνατότητα να αναπτύσσονται επ' αόριστον. Δύο παράλληλες ευθείες μπορούν θεωρητικά να συνεχίζονται για πάντα. μπορεί πάντα να προστεθεί ένας άλλος αριθμός στο τέλος της αριθμητικής γραμμής.

Ο Ζάιλμπεργκερ διαφωνεί. Για αυτόν, αυτό που έχει σημασία δεν είναι αν κάτι είναι κατ' αρχήν δυνατό, αλλά αν είναι πραγματικά εφικτό. Αυτό σημαίνει, στην πράξη, ότι όχι μόνο είναι ύποπτο το άπειρο, αλλά και εξαιρετικά μεγάλοι αριθμοί. Σκεφτείτε το "Skewes' number," $latex e^{e^{e^{79}}}$. Αυτός είναι ένας εξαιρετικά μεγάλος αριθμός και κανείς δεν μπόρεσε ποτέ να τον γράψει σε δεκαδική μορφή. Τι πραγματικά μπορούμε να πούμε για αυτό; Είναι ακέραιος; Είναι πρωταρχικό; Μπορούμε να βρούμε τέτοιο αριθμό οπουδήποτε στη φύση; Θα μπορούσαμε ποτέ να το γράψουμε; Ίσως, λοιπόν, να μην είναι καθόλου αριθμός.

Αυτό εγείρει προφανή ερωτήματα, όπως πού ακριβώς θα βρούμε το τελικό σημείο. Ο Ζάιλμπεργκερ δεν μπορεί να πει. Κανείς δεν μπορεί. Αυτός είναι ο πρώτος λόγος που πολλοί απορρίπτουν τη φιλοσοφία του, γνωστή ως υπερφινιτισμός. «Όταν εκφράζεις για πρώτη φορά την ιδέα του υπερφινιτισμού σε κάποιον, ακούγεται σαν κραυγαλέος — όπως «νομίζω ότι υπάρχει ο μεγαλύτερος αριθμός» ή κάτι τέτοιο», είπε ο Τζάστιν Κλαρκ-Ντόαν, φιλόσοφος στο Πανεπιστήμιο Κολούμπια.

«Πολλοί μαθηματικοί απλώς βρίσκουν την όλη πρόταση παράλογη», είπε ο Τζόελ Ντέιβιντ Χάμκινς, θεωρητικός συνόλου στο Πανεπιστήμιο της Νοτρ Νταμ. Ο υπερφινιτισμός δεν είναι ευγενική συζήτηση σε ένα δείπνο της μαθηματικής κοινωνίας. Λίγοι (θα έλεγε κανείς υπερπεπερασμένος αριθμός) το δουλεύουν. Λιγότερα ακόμη μέλη που φέρουν κάρτες, όπως ο Zeilberger, είναι πρόθυμα να φωνάξουν τις απόψεις τους στο κενό. Αυτό δεν συμβαίνει μόνο επειδή ο υπερφινιτισμός είναι αντίθετος, αλλά επειδή υποστηρίζει τα μαθηματικά που είναι θεμελιωδώς μικρότερα, εκείνα όπου ορισμένα σημαντικά ερωτήματα δεν μπορούν πλέον να τεθούν.

Και όμως δίνει στον Hamkins και σε άλλους πολλά να σκεφτούν. Από μια οπτική γωνία, ο υπερφινιτισμός μπορεί να θεωρηθεί ως πιο ρεαλιστικά μαθηματικά. Είναι τα μαθηματικά που αντικατοπτρίζουν καλύτερα τα όρια του τι μπορούν να δημιουργήσουν και να επαληθεύσουν οι άνθρωποι. μπορεί ακόμη καλύτερα να αντανακλά το φυσικό σύμπαν. Ενώ μπορεί να έχουμε την τάση να θεωρούμε τον χώρο και τον χρόνο ως αιώνια επεκτατικά και διαιρούμενα, ο υπερφινιτιστής θα υποστήριζε ότι αυτές είναι υποθέσεις που η επιστήμη αμφισβητεί όλο και περισσότερο — όπως θα μπορούσε να πει ο Zeilberger, η επιστήμη έφερε την αμφιβολία στο κατώφλι του Θεού.

«Ο κόσμος που περιγράφουμε πρέπει να είναι ειλικρινής κατά καιρούς», είπε ο Clarke-Doane, ο οποίος τον Απρίλιο του 2025 συγκάλεσε μια σπάνια συγκέντρωση ειδικών για να εξερευνήσει τις υπερφινιτιστικές ιδέες. «Αν μπορεί να υπάρχουν μόνο πεπερασμένα πολλά πράγματα, τότε θα ήταν καλύτερα να χρησιμοποιήσουμε επίσης μαθηματικά που δεν υποθέτουν απλώς ότι υπάρχουν άπειρα πολλά πράγματα στην αρχή». Για αυτόν, "φαίνεται σίγουρα ότι αυτό πρέπει να είναι μέρος του μενού στη φιλοσοφία των μαθηματικών."

Για να το πάρουν στα σοβαρά, ωστόσο, οι μαθηματικοί, οι υπερφινιτιστές πρέπει πρώτα να συμφωνήσουν σε αυτό για το οποίο μιλούν - να μετατρέψουν τα επιχειρήματα που ακούγονται σαν «κακτικά», όπως το θέτει ο Hamkins, σε επίσημη θεωρία. Τα μαθηματικά είναι βουτηγμένα σε επίσημα συστήματα και κοινά πλαίσια. Ο υπερφινιτισμός, εν τω μεταξύ, στερείται τέτοιας δομής.

Είναι ένα πράγμα να αντιμετωπίζουμε τα προβλήματα αποσπασματικά. Είναι εντελώς διαφορετικό να ξαναγράψουμε τα ίδια τα λογικά θεμέλια των μαθηματικών. «Δεν νομίζω ότι ο λόγος που απορρίφθηκε ο υπερφινιτισμός είναι ότι οι άνθρωποι έχουν καλά επιχειρήματα εναντίον του», είπε ο Clarke-Doane. "Η αίσθηση είναι ότι, ω, καλά, είναι απελπιστικό."

Αυτό είναι ένα πρόβλημα που ορισμένοι υπερφινιτιστές εξακολουθούν να προσπαθούν να αντιμετωπίσουν.

Ο Ζάιλμπεργκερ, εν τω μεταξύ, είναι διατεθειμένος να εγκαταλείψει τα μαθηματικά ιδανικά προς όφελος των μαθηματικών που είναι εγγενώς ακατάστατα - όπως ακριβώς είναι ο κόσμος. Είναι λιγότερο άνθρωπος των θεμελιωδών θεωριών παρά ένας άνθρωπος των απόψεων, από τις οποίες απαριθμεί 195 στον ιστότοπό του. «Δεν μπορώ να γίνω μόνιμος καθηγητής χωρίς να κάνω αυτά τα πράγματα», είπε. Αλλά μια μέρα, πρόσθεσε, οι μαθηματικοί θα κοιτάξουν πίσω και θα δουν ότι αυτό το κράξιμο, όπως εκείνοι του παρελθόντος που αμφισβητούσαν τους θεούς και τις δεισιδαιμονίες, είχαν δίκιο. "Ευτυχώς, οι αιρετικοί δεν καίγονται πλέον στην πυρά."

Αντιφρονητικά Μαθηματικά

Ο Αριστοτέλης έβλεπε το άπειρο ως κάτι προς το οποίο μπορούσες να κινηθείς αλλά ποτέ να μην φτάσεις. «Το γεγονός ότι η διαδικασία της διαίρεσης δεν τελειώνει ποτέ διασφαλίζει ότι αυτή η δραστηριότητα υπάρχει δυνητικά», έγραψε. «Αλλά όχι ότι το άπειρο υπάρχει χωριστά». Για χιλιετίες, αυτή η «δυνητική» εκδοχή του απείρου βασίλευε υπέρτατη.

Αλλά στα τέλη του 1800, ο Georg Cantor και άλλοι μαθηματικοί έδειξαν ότι το άπειρο μπορεί πραγματικά να υπάρχει. Η προσέγγιση του Cantor ήταν να αντιμετωπίσει μια σειρά αριθμών, όπως οι ακέραιοι, ως ένα πλήρες άπειρο σύνολο. Αυτή η προσέγγιση θα γίνει ουσιαστική για τη δημιουργία της θεμελιώδους θεωρίας των μαθηματικών, γνωστή ως θεωρία συνόλων Zermelo-Fraenkel, την οποία οι μαθηματικοί εξακολουθούν να χρησιμοποιούν σήμερα. Το άπειρο, έδειξε, είναι ένα πραγματικό αντικείμενο. Επιπλέον, μπορεί να έρθει σε πολλά διαφορετικά μεγέθη. χειραγωγώντας και συγκρίνοντας αυτά τα διαφορετικά άπειρα, οι μαθηματικοί μπορούν να αποδείξουν εκπληκτικές αλήθειες που στο πρόσωπό τους δεν φαίνεται να έχουν καμία σχέση με το άπειρο. Ενώ λίγοι μαθηματικοί περνούν πολύ χρόνο στη σφαίρα του ανώτερου άπειρου, «σήμερα, σχεδόν κάθε μαθηματικός είναι πραγματιστής», είπε ο Hamkins. Το άπειρο θεωρείται από προεπιλογή.

Αλλά αυτό το θεμέλιο των σύγχρονων μαθηματικών έχει εμπνεύσει σκληρά επιχειρήματα από τότε που προτάθηκε για πρώτη φορά. Ένας λόγος είναι ότι η αποδοχή μιας βασικής υπόθεσης για το άπειρο σάς επιτρέπει να δημιουργήσετε περίεργα παράδοξα:Γίνεται, για παράδειγμα, δυνατό να χαράξετε μια μπάλα σε πέντε μέρη και να τα χρησιμοποιήσετε για να δημιουργήσετε πέντε νέες μπάλες, η καθεμία με όγκο ίσο με αυτόν της πρώτης.

Μια άλλη ένσταση είναι πιο φιλοσοφική. Τις δεκαετίες μετά τις αποκαλύψεις του Κάντορ, ορισμένοι μαθηματικοί υποστήριξαν ότι δεν μπορείτε απλώς να επιβεβαιώσετε την ύπαρξη μιας μαθηματικής δομής — πρέπει να αποδείξετε ότι υπάρχει μέσω μιας διαδικασίας νοητικής κατασκευής. Σε αυτήν τη «διαισθητική» φιλοσοφία, για παράδειγμα, το pi είναι λιγότερο ένας αριθμός με άπειρη μη επαναλαμβανόμενη δεκαδική επέκταση και περισσότερο ένα σύμβολο που αντιπροσωπεύει μια αλγοριθμική διαδικασία για τη δημιουργία ψηφίων.

Αλλά ο διαισθητισμός απαιτεί μόνο μια δεδομένη νοητική κατασκευή να είναι δυνατή στη θεωρία:Απαγορεύει το πραγματικό άπειρο αλλά επιτρέπει δυναμικό το άπειρο. Μερικοί μαθηματικοί δεν ήταν ακόμα ικανοποιημένοι με αυτό. Παρέμειναν προβληματισμένοι από τον αριθμό του Skewes και άλλες αξίες τόσο μεγάλες που δεν μπορούσαν ποτέ να γραφτούν. Και έτσι προσπάθησαν να οδηγήσουν τις διαισθητικές ιδέες στα άκρα.

«Αν σκέφτεστε ποιοι αριθμοί θα υπάρχουν σε αυτήν την άποψη, αυτοί θα πρέπει να είναι αριθμοί που μπορούμε στην πράξη να κατασκευάσουμε», όχι μόνο θεωρητικά, είπε η Ofra Magidor, φιλόσοφος στο Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης.

Μια νέα εκδοχή του διαισθητισμού — που έλαβε υπόψη του αυτούς τους πρακτικούς περιορισμούς — αποκρυσταλλώθηκε στις δεκαετίες του 1960 και του 1970, με το έργο του Alexander Esenin-Volpin, ενός Σοβιετικού μαθηματικού και ποιητή.

Ο Εσενίν-Βόλπιν ήταν γνωστός πρώτα και κύρια ως πολιτικός αντιφρονών. Για την ηγεσία διαδηλώσεων και τη διάδοση αντισοβιετικής ρητορικής και ποίησης, θεσμοθετήθηκε. "Είπε, "Είμαι άνθρωπος. Έχω θεμελιώδη δικαιώματα", είπε ο Rohit Parikh, ένας λογικός στο Πανεπιστήμιο City της Νέας Υόρκης που φιλοξένησε τον Esenin-Volpin στο σπίτι του αφού οι Σοβιετικοί τον ανάγκασαν να μεταναστεύσει τη δεκαετία του 1970. Ο Esenin-Volpin ήταν ένας παράξενος φιλοξενούμενος, που περπατούσε στη σοφίτα του Parikh όλη τη νύχτα και χρησιμοποιούσε τα αγαπημένα κεραμικά της συζύγου του ως τασάκι ενώ εργαζόταν πάνω σε μια περίεργη θεωρία που απέρριπτε όχι μόνο το δυνητικό άπειρο, αλλά ακόμη και εξαιρετικά μεγάλους αριθμούς - αυτούς που δεν μπορούσαν να κατασκευαστούν στο μυαλό ενός ατόμου.

Ο Alexander Esenin-Volpin ήταν Σοβιετικός αντιφρονών, μαθηματικός και ποιητής που φυλακίστηκε πολλές φορές για τον ακτιβισμό του για τα ανθρώπινα δικαιώματα.

Ειρήνη Καίσαρα

Ο λογικός Χάρβεϊ Φρίντμαν ζήτησε κάποτε από τον Έσενιν-Βόλπιν να προσδιορίσει με ακρίβεια ένα όριο για το τι κάνει έναν αριθμό πολύ μεγάλο. Δίνεται μια έκφραση όπως 2n , σε ποια τιμή n σταματούν οι αριθμοί; Το 20 ήταν όντως αριθμός; Τι γίνεται με 21, 22, και ούτω καθεξής, μέχρι το 2100; Ο Esenin-Volpin απάντησε σε κάθε αριθμό με τη σειρά. Ναι, υπήρχαν 21. Ναι, το έκαναν 22. Αλλά κάθε φορά, περίμενε περισσότερο για να απαντήσει. Ο διάλογος έγινε σύντομα ατελείωτος.

Ο Έσενιν-Βόλπιν είχε πει την άποψή του. Όπως θα το έθεσαν αργότερα ο Parikh και άλλοι, τα όρια των αριθμών είχαν τις ρίζες τους στους περιορισμένους πόρους που απαιτούνταν για να αποδειχθεί η ύπαρξή τους, όπως ο χρόνος. Ή διαθέσιμη μνήμη υπολογιστή ή το φυσικό μήκος μιας απόδειξης. "Οι περισσότεροι υπερφινιτιστές έχουν την άποψη ότι η διάκριση μεταξύ του πεπερασμένου και του άπειρου είναι εγγενώς ασαφής", είπε ο Clarke-Doane.

Για το Esenin-Volpin, μια συνθήκη μπορεί να ισχύει για το n , και για n + 1 — μέχρι να μην είναι. Ένα παιδί μεγαλώνει και μεγαλώνει, ώσπου μια μέρα δεν είναι πια παιδί. Δεν χρειάζεται να προσδιορίσετε ένα συγκεκριμένο τελικό σημείο. Το σημαντικό είναι ότι το τέλος είναι εκεί, κάπου.

Το έργο του Esenin-Volpin ήταν ένα κάλεσμα για ένα νέο είδος μαθηματικών που θα μπορούσε, κατά κάποιο τρόπο, να ανεχθεί την ασάφεια. Οι υπερφινιτιστές συνέχισαν έκτοτε από εκεί που σταμάτησε, εξερευνώντας πώς να κάνουν τα ασαφή, οριακά-ανόητα μαθηματικά του σταθερά.

Έλεγχος κρίσεων

Ένα πρωί του 1976, ο μαθηματικός του Πρίνστον Έντουαρντ Νέλσον ξύπνησε και βίωσε μια κρίση πίστης. «Ένιωσα τη στιγμιαία συντριπτική παρουσία κάποιου που με καταδίκασε για αλαζονεία για την πίστη μου στην πραγματική ύπαρξη ενός άπειρου κόσμου αριθμών», συλλογίστηκε δεκαετίες αργότερα, «αφήνοντάς με σαν βρέφος στην κούνια μου να μετριέμαι στα δάχτυλά μου».

Τα μαθηματικά έχουν βασικούς κανόνες ή αξιώματα. Ο Νέλσον γνώριζε ότι ακόμη και τα γυμνά αξιώματα που καθιστούν δυνατή την απλή αριθμητική περιέχει υποθέσεις για το άπειρο — για παράδειγμα, ότι μπορούμε πάντα να προσθέτουμε 1 σε έναν αριθμό για να δημιουργήσουμε νέους αριθμούς. Ήθελε να ξεκινήσει από την αρχή, να φτιάξει ένα νέο σύνολο κανόνων που θα απαγόρευε εντελώς το άπειρο. Πώς θα έμοιαζαν τα μαθηματικά εάν μπορούσαν να δημιουργηθούν μόνο από αυτά τα νέα αξιώματα;

Εξαιρετικά αδύναμο, αποδείχθηκε. Ο Νέλσον μελέτησε διάφορα σύνολα αξιωμάτων που διώχνουν το άπειρο και διαπίστωσε ότι αν χρησιμοποιούσε κάποιο από αυτά για να προσπαθήσει να κάνει βασική αριθμητική, θα ήταν αδύνατο να αποδείξει κάτι τόσο απλό όσο η δήλωση ότι a + β ισούται πάντα με b + a . Οι στοιχειώδεις πράξεις όπως η εκθετικότητα δεν ήταν πλέον πάντα δυνατές:Ίσως να μπορείτε να κατασκευάσετε τον αριθμό 100 ή τον αριθμό 1.000, αλλά όχι τον αριθμό 1001.000. Μια από τις πιο ισχυρές τεχνικές στο κιτ εργαλείων ενός μαθηματικού - μια μέθοδος γνωστή ως επαγωγή, η οποία λέει ότι αν μπορείτε να αποδείξετε ότι μια πρόταση είναι αληθής για έναν αριθμό, τότε πρέπει να ισχύει για όλους - χάθηκε εντελώς.

Για τον Νέλσον, αυτή η αδυναμία αντιπροσώπευε μια αναλαμπή αλήθειας. Ήλπιζε να δείξει ότι τα πιο ισχυρά αξιώματα της αριθμητικής που οι μαθηματικοί θεωρούσαν δεδομένα (τα «αξιώματα Peano» που επέτρεπαν το άπειρο) ήταν θεμελιωδώς ελαττωματικά — ότι θα μπορούσαν να οδηγήσουν σε αντιφάσεις. "Πιστεύω ότι πολλά από τα πράγματα που θεωρούμε ότι έχουν καθιερωθεί στα μαθηματικά θα ανατραπούν", είπε κάποτε.

Ωστόσο, ο Νέλσον δεν μπόρεσε να τους ανατρέψει. Το 2003, ανακοίνωσε ότι είχε χρησιμοποιήσει τα πιο αδύναμα αξιώματά του για να βρει μια ασυνέπεια στα αξιώματα του Peano, αλλά το εκρηκτικό αποτέλεσμα απομυθοποιήθηκε γρήγορα.

Η πιο περιορισμένη αριθμητική του Nelson - καθώς και οι σχετικές μορφές μη τυπικής αριθμητικής που αναπτύχθηκαν από τον Parikh και άλλους - αποδείχθηκαν χρήσιμες στη σφαίρα των υπολογιστών, όπου οι ερευνητές θέλουν να καταλάβουν τι μπορούν να αποδείξουν αποτελεσματικά οι αλγόριθμοι και τι όχι. Αυτές οι υπερφινιτιστικές προσεγγίσεις στα μαθηματικά έχουν μεταφραστεί στη γλώσσα της υπολογιστικής αποτελεσματικότητας και έχουν χρησιμοποιηθεί για να διερευνήσουν τα όρια των δυνατοτήτων των αλγορίθμων.

Για τον Νέλσον, τα μαθηματικά έχουν να κάνουν με «την αλήθεια που επιλέγεις να πιστεύεις» — τα αξιώματα που αποφασίζεις ότι είναι τα σωστά. Αυτό ισχύει ακόμα κι αν έχετε επιλέξει να πιστεύετε τα προεπιλεγμένα αξιώματα. Φυσικά, ο υπερφινιτιστής, ως ο αιρετικός χωρίς σταθερά θεμέλια, έχει πολλά περισσότερα να αποδείξει.

Ασκήσεις υπομονής

Τον Απρίλιο του 2025, ένα ετερόκλητο πλήρωμα συγκεντρώθηκε στη Νέα Υόρκη για ένα συνέδριο στο Πανεπιστήμιο Κολούμπια για την κατάργηση του άπειρου. Περιλάμβαναν φυσικούς, φιλοσόφους, λογικούς και μαθηματικούς. Υπήρχαν υπερφινιτιστές με κάρτες όπως ο Zeilberger. θεωρητικοί συνόλων, που πιστεύουν σε κάθε είδους άπειρο. και οι απλώς περίεργοι. Το αποτέλεσμα ήταν, θυμάται ο Clarke-Doane, ο διοργανωτής του συνεδρίου, «μια άσκηση υπομονής για όλους». Οι φιλόσοφοι, γενικά, συνηθίζουν να διαφωνούν έντονα στην τάξη και μετά να μαζεύονται για μια μπύρα. Οι μαθηματικοί δεν είναι. Συνήθως, αν διαφωνούν, σημαίνει ότι κάποιος τα έχει μπερδέψει βασιλικά.

Αυτό που ήταν ξεκάθαρο ήταν ότι η πρόοδος προς μια καθολική θεωρία του υπερφινιτισμού έχει σταματήσει εν μέρει επειδή δεν υπήρχε κανένα σαφές κίνητρο για το κίνημα ή κάποια μοναδική προσέγγιση για να αποφασίσουμε πώς θα έπρεπε να είναι η υποκείμενη λογική του. Ίσως, λοιπόν, η προσήλωση στους βασικούς κανόνες, όπως έκανε ο Νέλσον, δεν είναι η σωστή προσέγγιση. «Νομίζω ότι είναι χαμός», μου είπε ο Parikh. "Πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον φορμαλισμό ως κιάλια και να δώσετε περισσότερη προσοχή σε αυτό που βλέπετε. Εάν αρχίσετε να μελετάτε τα ίδια τα κιάλια, έχετε χάσει το παιχνίδι."

Ο Ζάιλμπεργκερ είναι χαρούμενος που βλέπει τα πράγματα μέσα από το (πιθανώς παραμορφωμένο) γυαλί, ακόμα κι αν πρέπει να το κάνει σε έναν κόσμο όπου το άπειρο είναι πολύ ζωντανό και παρόν. Δεν ελπίζει να ξαναχτίσει τα μαθηματικά χωρίς άπειρο από την αρχή. Μπορεί να δουλεύει από πάνω προς τα κάτω. Πάρτε, για παράδειγμα, την πραγματική ανάλυση, η οποία ασχολείται με το πώς συμπεριφέρονται οι πραγματικοί αριθμοί και οι συναρτήσεις. Ο Zeilberger την αποκαλεί «εκφυλισμένη περίπτωση» διακριτής ανάλυσης (η οποία μελετά τη συμπεριφορά διακριτών αντικειμένων παρά συνεχών). Μπορείτε να αντικαταστήσετε το συνεχές τοπίο των πραγματικών, λέει, με ένα «διακριτικό περιδέραιο» αριθμών, που χωρίζονται από μικροσκοπικές —αλλά όχι απειροελάχιστες— διαφορές στην αξία. Στη συνέχεια, μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε για να ξαναγράψετε τους κανόνες του λογισμού και των διαφορικών εξισώσεων (που τώρα ονομάζονται εξισώσεις «διαφοράς») για να αφαιρέσετε ακόμη και ανεπαίσθητες χρήσεις του απείρου από αυτούς. Η πορεία είναι δύσκολη, αναγνωρίζει, αλλά εφικτό, ειδικά με τη βοήθεια ενός υπολογιστή. Και ενώ το αποτέλεσμα μπορεί να φαίνεται λιγότερο κομψό από τα κλασικά μαθηματικά, είναι πιο όμορφο, λέει, επειδή αντικατοπτρίζει τη φυσική πραγματικότητα όπως πιστεύει πραγματικά ότι είναι.

Για τον Jean Paul Van Bendegem, φιλόσοφο των μαθηματικών στο Ελεύθερο Πανεπιστήμιο των Βρυξελλών, το ταξίδι στον υπερφινιτισμό ξεκίνησε όχι με αριθμούς, αλλά με τη γεωμετρία του δημοτικού σχολείου. Παρακολούθησε τη δασκάλα του στα μαθηματικά να σχεδιάζει μια γραμμή στον πίνακα κιμωλίας που υποτίθεται ότι εκτεινόταν άπειρα. «Προς πού;» θυμήθηκε ότι ρώτησε. Αν η δεξιά πλευρά πήγαινε απείρως μακριά προς μια κατεύθυνση και η αριστερή πλευρά προς μια άλλη, έφτασαν στο ίδιο σημείο; Ή μήπως διαφορετικά άπειρα κρύβονται από τις άκρες του πίνακα; Ο δάσκαλός του του είπε να σταματήσει να κάνει ερωτήσεις.

Ο Jean-Paul van Bendegem ανέπτυξε μια πεπερασμένη εκδοχή της γεωμετρίας στην οποία τα σημεία και οι καμπύλες έχουν πλάτος.

Inge Kinnet

Ο Van Bendegem, ο οποίος θα γινόταν κορυφαίος μελετητής της υπερφινιτιστικής λογικής, αργότερα αντιμετώπισε αυτές τις ανησυχίες εξετάζοντας μια γεωμετρία στην οποία μια γραμμή ή καμπύλη έχει πλάτος και είναι ταυτόχρονα πεπερασμένη και πεπερασμένα διαιρετή. Μπορεί να χωριστεί σε μια σειρά σημείων που, αν και απίστευτα μικρά, δεν είναι άπειρα. Οποιαδήποτε δομή στη συνέχεια χτίζει κανείς με αυτά τα σημεία, γραμμές και καμπύλες πρέπει επίσης να είναι πεπερασμένη, παρέχοντας ένα διακριτό ανάλογο της κλασικής γεωμετρίας. Αν και αυτά τα εργαλεία παραμένουν περιορισμένα, έχουν διερευνηθεί σε βάθος τις τελευταίες δεκαετίες — όχι μόνο για χάρη του υπερφινιτισμού, αλλά επειδή η ταξινόμηση του σχήματος των πραγμάτων είναι σημαντική για την ανάπτυξη μιας πεπερασμένης φυσικής.

Ενώ συχνά φανταζόμαστε το φυσικό σύμπαν ως ατελείωτα απέραντο και ατελείωτα διαιρούμενο, οι ίδιοι οι φυσικοί αμφισβητούν αυτή την υπόθεση. Υπάρχουν θεμελιώδη όρια, όπως η κλίμακα Planck (μερικές φορές ονομάζεται μέγεθος pixel του σύμπαντος), πέρα ​​από τα οποία η ίδια η ιδέα της απόστασης χάνει νόημα. Και όταν το άπειρο εμφανίζεται στις εξισώσεις των φυσικών, μπορεί να είναι προβληματικό, κάτι που θέλουν να αποφύγουν. «Το να κάνουμε προβλέψεις για το τι να περιμένουμε σε ένα σύμπαν που αναπτύσσεται χωρίς όρια και επαναλαμβάνεται και τέτοια πράγματα αποδεικνύεται πολύ, πολύ δύσκολο», είπε ο Sean Carroll, ένας φυσικός στο Πανεπιστήμιο Johns Hopkins που έχει πειραματιστεί με πεπερασμένα μοντέλα κβαντικής μηχανικής. "Ο τρόπος με τον οποίο οι περισσότεροι κοσμολόγοι αντιμετωπίζουν αυτό το πρόβλημα είναι προσποιούμενοι ότι δεν υπάρχει."

Για τον Nicolas Gisin, έναν κβαντικό φυσικό στο Constructor University στη Βρέμη της Γερμανίας και στο Πανεπιστήμιο της Γενεύης, τα μαθηματικά της διαισθητικότητας παρέχουν έναν τρόπο σκέψης για ένα από τα βασικά μυστήρια της φυσικής:Σε μεγάλη κλίμακα, η συμπεριφορά των φυσικών συστημάτων είναι ντετερμινιστική, προβλέψιμη. Αλλά στο κβαντικό βασίλειο, η τυχαιότητα βασιλεύει. ένα σωματίδιο έρχεται με πολλαπλές κβαντικές καταστάσεις, καταρρέοντας σε μία μόνο από αυτές με απρόβλεπτους τρόπους. Οι φυσικοί προσπαθούν να κατανοήσουν την πηγή αυτής της αναντιστοιχίας τον περασμένο αιώνα.

Ο Nicolas Gisin πρότεινε ότι ένα από τα μεγαλύτερα μυστήρια στη φυσική μπορεί να οφείλεται σε λανθασμένες υποθέσεις για το άπειρο.

Carole Parodi

Ο Gisin υποστηρίζει ότι οφείλεται σε μια εσφαλμένη υπόθεση. Οι ερευνητές πιστεύουν σιωπηρά, λέει, ότι από την αρχή του σύμπαντος, η κβαντική κατάσταση ενός σωματιδίου μπορεί να οριστεί με άπειρη ακρίβεια, από πραγματικούς αριθμούς με άπειρα πολλά ψηφία. Όμως, σύμφωνα με τον Gisin, η χρήση των πραγματικών αριθμών είναι λάθος. Αν χρησιμοποιήσετε αντ' αυτού μαθηματικά διαισθητικά, τότε γίνεται σαφές ότι ο ντετερμινισμός δεν είναι παρά ένα τεχνούργημα της κατοχής μη ρεαλιστικά τέλειων πληροφοριών. Η μεγάλης κλίμακας, ντετερμινιστική συμπεριφορά των φυσικών συστημάτων γίνεται φυσικά ανακριβής και απρόβλεπτη, διαλύοντας το χάσμα μεταξύ του κλασικού και του κβαντικού πεδίου. Η θεωρία του Γκίσιν έχει αποδειχτεί ενδιαφέρουσα για άλλους φυσικούς, εν μέρει επειδή θα μπορούσε να βοηθήσει στην επίλυση παραδόξων σχετικά με φαινόμενα όπως το Big Bang.

Αλλά είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι το έργο του δεν καταργεί το δυνητικό άπειρο, με την αριστοτελική έννοια του κάτι που μπορεί δυνητικά να φτάσει. Σύμφωνα με την παράδοση του διαισθητικού μαθηματικού που υπολογίζει μεγαλύτερους ή ακριβέστερους αριθμούς με χρόνο και προσπάθεια, ο Gisin επιτρέπει τη δημιουργία ολοένα και περισσότερων πληροφοριών. Κάποια μέρα, το σύμπαν θα περιέχει τέλειες, απείρως ακριβείς πληροφορίες. Αλλά δεν πειράζει, γιατί αυτή κάποια μέρα δεν θα έρθει ποτέ. «Το δυνητικό άπειρο εδώ περιμένει πραγματικά άπειρο χρόνο, που δεν έχει καμία σχέση με την πραγματικότητα», είπε ο Γκισίν. Το σημαντικό είναι ότι το άπειρο δεν είναι πλέον η προεπιλεγμένη υπόθεση.

Αυτές οι προκλήσεις στο άπειρο που βασίζονται στη φυσική τείνουν να ευχαριστούν τους υπερφινιτιστές μαθηματικούς, οι οποίοι τους θεωρούν ως απόδειξη ότι τα μαθηματικά τους είναι μια πιο αληθινή περιγραφή της πραγματικότητας. Στο συνέδριο του 2025, η ομιλία του Κάρολ για το αν το σύμπαν είναι πραγματικά άπειρο ή «απλώς πολύ μεγάλο», όπως το έθεσε, τον έκανε κάτι σαν διασημότητα στις αίθουσες του Πανεπιστημίου Κολούμπια. Αλλά το βάρος της απόδειξης, προειδοποιεί, παραμένει στους αμφισβητούμενους για το άπειρο. Εάν μπορούσατε με κάποιο τρόπο να αποδείξετε πειραματικά ότι το φυσικό σύμπαν είναι πράγματι πεπερασμένο, ακόμη και οι πιο ένθερμοι υποστηρικτές του ανώτερου άπειρου πιθανότατα θα χρειάζονταν μια στιγμή για να σταματήσουν και να προβληματιστούν. Πιθανότατα θα αναρωτιόντουσαν ακόμη και για τη συνέπεια της θεωρίας συνόλων, δεδομένων των πύργων των πραγματικών απείρων που επιτρέπει. Αυτό είναι ένα υγιές πράγμα που πρέπει να κάνετε από καιρό σε καιρό, ούτως ή άλλως.

Ακόμα κι αν αυτό συνέβαινε, οι θεωρητικοί των συνόλων που μελετούν και χρησιμοποιούν το άπειρο θα εξακολουθούσαν να έχουν τα δικαιώματά τους να συνεχίσουν το έργο τους αμέτοχοι - για να πουν ότι ίσως εδώ πρέπει να διακλαδίζονται η φυσική και τα μαθηματικά το ένα από το άλλο. Δεν απαιτείται τα μαθηματικά και η φυσική να περιγράφουν τα ίδια πράγματα (αν και πολλοί πιστεύουν ότι είναι) και το άπειρο μπορεί να επιβιώσει με κάποια μεγαλύτερη πλατωνική έννοια.

Αλλά αν αυτά τα πειράματα αποδείκνυαν το αντίθετο - ότι το άπειρο υπάρχει στη φύση - ο υπερφινιτιστής θα είχε πολύ λιγότερο χώρο για διαπραγμάτευση. «Θα ήταν δύσκολο να είσαι υπερφινιτιστής αν ο πραγματικός φυσικός κόσμος είχε άπειρα μέσα του», είπε ο Κάρολ.

Επανασήμανση του Ultrafinite

«Νιώθω άσχημα για τους υπερφινιτιστές γιατί οι άνθρωποι το απορρίπτουν χωρίς να το καταλαβαίνουν», μου είπε ο Κάρολ αργότερα. "Αλλά από την άλλη πλευρά, οι υπερφινιτιστές δεν κάνουν αρκετά καλή δουλειά στο μάρκετινγκ του προϊόντος τους."

Στα μαθηματικά, μια καλύτερη εκστρατεία μάρκετινγκ θα έμοιαζε πιθανώς με μια συνεκτική θεωρία, όπως επιδίωξε ο Νέλσον — ένα σύνολο επίσημων κανόνων, όπως αυτοί που βασίζονται στα σύγχρονα μαθηματικά, που αποκλείει το άπειρο αλλά είναι αρκετά ισχυρό για να κάνει χρήσιμα μαθηματικά.

Δεν υπάρχει έλλειψη ιδεών, είπε ο Clarke-Doane - αν και υπάρχει ίσως έλλειψη μεταπτυχιακών φοιτητών που είναι πρόθυμοι να ποντάρουν την πρώιμη σταδιοδρομία τους για την ανάπτυξή τους. Για αυτόν, η συγκέντρωση στη Νέα Υόρκη ήταν ένα σημάδι αλλαγής, ότι οι άνθρωποι είναι αρκετά περίεργοι να της δώσουν μια άλλη ματιά και δεν φοβούνται πολύ τις πιθανές αντιδράσεις. "Οι άνθρωποι μιλούν για την άποψη και προσπαθούν ενεργά να σκεφτούν πώς να βάλουν την άποψη σε μια σοβαρή βάση", είπε.

Οι περισσότεροι μαθηματικοί ζουν έξω από όλα αυτά. Οι τυπικές θεωρίες που περικλείουν το σύνολο των μαθηματικών δεν τους αφορούν. Ενδιαφέρονται για το τι λειτουργεί, για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων και τη δημιουργία αποδείξεων. Βασικά ερωτήματα — υπάρχουν οι αριθμοί πέρα ​​από τη φυσική πραγματικότητα; Είναι τα μαθηματικά μια διαδικασία εφεύρεσης ή ανακάλυψης; — μπορεί να αισθάνεται μια μικρή ανατριχίλα, κάτι που κάνουν οι μαθηματικοί μόνο όταν ξυπνήσουν μια μέρα σε κατάσταση κρίσης.

Αλλά ο εργαζόμενος μαθηματικός μπορεί να βρει κοινό έδαφος με τον Zeilberger, ο οποίος δεν ενοχλείται από τα επιχειρήματα των θεωρητικών συνόλων και των φιλοσόφων. Είναι μια μέθοδος αδίστακτης πρακτικότητας, να χωρίζεις τα μαθηματικά κομμάτι-κομμάτι και να ρωτάς ό,τι είναι απαραίτητο. Ίσως, λέει, υποθέσαμε πάρα πολλά, κάναμε το άπειρο υπερβολικά μια προεπιλογή, πιστέψαμε στις ψευδαισθήσεις. Δεν χρειάζεται να δηλώσει κανείς τον εαυτό του ως υπερφινιτιστή για να ικανοποιηθεί από αυτό, για να το προσθέσει στο μενού των αληθών επιλογών.

Ο Ζάιλμπεργκερ λατρεύει να αναφέρει τον εαυτό του σε ένα ντοκιμαντέρ του BBC από το 2010 – αυτό που θεωρεί τα 15 δευτερόλεπτα της φήμης του. «Το άπειρο μπορεί να υπάρχει ή να μην υπάρχει, ο Θεός μπορεί να υπάρχει ή να μην υπάρχει», είπε. «Αλλά στα μαθηματικά, δεν πρέπει να υπάρχει κανένα μέρος, ούτε για το άπειρο ούτε για τον Θεό». Απαντούσε, ασύγχρονα, στον Hugh Woodin, έναν κορυφαίο θεωρητικό των συνόλων και έναν από τους πιο ατρόμητους εξερευνητές του ανώτερου απείρου, που είχε πει ότι λυπόταν τον Zeilberger, ανίκανος να κοιτάξει τον ουρανό και να καταλάβει την ομορφιά της απέραντης έκτασης. "Λυπάμαι γι 'αυτόν που χρειάζεται το οπιούχο του άπειρου για να συνεχίσει", είπε ο Zeilberger. "Υπάρχει τόση ομορφιά στα δέντρα και στο έδαφος. Δεν χρειάζεται να κοιτάς προς τη μυθοπλασία."

«Λυπούμαστε λοιπόν και οι δύο ο ένας για τον άλλον», είπε. Λυπάμαι που ο άλλος πρέπει να αισθάνεται φυλακισμένος σε έναν κόσμο της πίστης που έχει επιλέξει.