Εξίσωση Bernoulli:Ασκήσεις &Λύσεις για Ρευστοδυναμική

Σε αυτό το άρθρο δίνονται ασκήσεις με λύσεις που βασίζονται στην εξίσωση Bernoulli.

Η εξίσωση Bernoulli βασίζεται στη διατήρηση της ενέργειας των ρευστών που ρέουν. Η εξαγωγή αυτής της εξίσωσης παρουσιάστηκε αναλυτικά στο άρθρο Παραγωγή της εξίσωσης Bernoulli. Για μη ιξώδη και ασυμπίεστα ρευστά όπως τα υγρά, αυτή η εξίσωση δηλώνει ότι το άθροισμα της στατικής πίεσης p, της δυναμικής πίεσης ½⋅ϱ⋅v² και της υδροστατικής πίεσης ϱ⋅ κατά μήκος μιας γραμμής είναι σταθερό:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{p + \frac{1}{2} \rho ~v^2 +\rho g h=\text{konstant}} ~~~\text{Equation Bernoulli}\\[5px]
\end{align}

Δύο καταστάσεις σε μια γραμμή εξορθολογισμού συνδέονται επομένως με την ακόλουθη εξίσωση:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 +\rho g h_1=p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2} \\[5px]
\end{align}

Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν διάφορες ασκήσεις για την εφαρμογή της εξίσωσης Bernoulli.

Οριζόντια ροή μέσω σωλήνα με στενή διατομή

Μέσα από έναν οριζόντιο σωλήνα ρέει νερό με πυκνότητα 1 g/cm³. Η διατομή του σωλήνα λεπταίνει από 80 cm² σε 40 cm² σε μειωτήρα. Η στατική πίεση πριν από τον μειωτήρα είναι 4 bar και η ταχύτητα ροής είναι 4 m/s. Η ροή είναι ασυμπίεστη και χωρίς τριβή (άπαχη). Ποια στατική πίεση μετριέται μετά τον μειωτήρα;

Εικόνα:Οριζόντια ροή μέσω σωλήνα με στενή διατομή

Για να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση, εξετάζουμε έναν εξορθολογισμό και σε ένα σημείο πριν από τον μειωτήρα και μετά τον μειωτήρα. Οι ακόλουθες μεταβλητές κατάστασης είναι γνωστές:

κατάσταση 1 (μεγάλη διατομή) κατάσταση 2 (μικρή διατομή) ύψος h1 =h2h2 =h1ταχύτητα v1 =4 m/sv2 =?στατική πίεση p1 =4 barp2 =άγνωστο

Σημειώστε ότι λόγω του οριζόντιου προσανατολισμού του σωλήνα, και τα δύο εξεταζόμενα σημεία βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (h1 =h2). Η εξίσωση Bernoulli είναι επομένως απλοποιημένη στο ότι οι υδροστατικές πιέσεις αλληλοεξουδετερώνονται. Επομένως, για τη στατική πίεση p2 προκύπτει ο ακόλουθος τύπος:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \cancel{\rho g h_1}=p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \cancel{\rho g h_2}\\[5 px]
&p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 =p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 \\[5 px]
\label{p2}
&\underline{p_2 =p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 -\frac{1}{2} \rho v_2^2} \\[5px]
\end{align}

Για τον υπολογισμό της στατικής πίεσης χρειαζόμαστε ακόμα την ταχύτητα ροής μετά τη στένωση. Αυτό το λαμβάνουμε από την συνθήκη της διατήρησης της μάζας. Μέσα στο χρόνο Δt το ρευστό ρέει μπροστά από τον μειωτήρα με την ταχύτητα v1 και έτσι καλύπτει την απόσταση Δs1=v1⋅Δt. Ο ακόλουθος όγκος υγρού ωθεί έτσι τη διατομή A1:

\αρχή{στοίχιση}
\label{1}
&\Delta V =A_1 \cdot \Delta s_1 =A_1 \cdot v_1 \cdot \Delta t \\[5px]
\end{align}

Σχήμα:Σχέση των ταχυτήτων ροής

Λόγω της διατήρησης της μάζας και της ασυμπίεσης του νερού, ο ίδιος όγκος ΔV πρέπει επίσης να ωθηθεί μέσω της διατομής Α2 στον ίδιο χρόνο Δt. Εφόσον η διατομή είναι μικρότερη, η απόσταση Δs2 του όγκου του ρευστού πρέπει να είναι μεγαλύτερη, γεγονός που εξηγεί την υψηλότερη ταχύτητα ροής v2:

\αρχή{στοίχιση}
\label{2}
&\Delta V =A_2 \cdot \Delta s_2 =A_2 \cdot v_2 \cdot \Delta t \\[5px]
\end{align}

Η εξίσωση των τύπων (\ref{1}) και (\ref{2}) και η επίλυση της εξίσωσης που προκύπτει για το v2 παρέχει τελικά την ταχύτητα ροής μετά τον μειωτήρα:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&A_2 \cdot v_2 \cdot \cancel{\Delta t} =A_1 \cdot v_1 \cdot \cancel{\Delta t} \\[5px]
&\boxed{v_2 =\frac{A_1}{A_2} \cdot v_1} =\frac{80~ \text{m²}}{40 ~\text{m²}} \cdot 4 \frac{\text{m}}{\text{s}} =\underline{\underline{8}text{m²} \\[5 εικονοστοιχεία]
\end{align}

Λόγω της συστολής της διατομής στο μισό μόνο μέγεθος, η ταχύτητα ροής διπλασιάζεται. Όλες οι γνωστές τιμές μπορούν τώρα να τεθούν στην εξίσωση (\ref{p2}). Σημειώστε ότι η πίεση πρέπει να χρησιμοποιείται στη βασική μονάδα N/m² και η πυκνότητα στη μονάδα kg/m³.

\αρχή{στοίχιση}
&p_2 =p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 -\frac{1}{2} \rho v_2^2 \\[5px]
&p_2 =4 \cdot 10^5 \tfrac{\text{N}}{\text{m²}} + \frac{1}{2} 1000 \tfrac{\text{kg}}{\text{m³}} ~\left(4 \tfrac{\text{m}}{\ctext{0}}{\c{0) \tfrac{\text{kg}}{\text{m³}} ~\left(8 \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \right)^2 =3,76 \cdot 10^5 \tfrac{\text{N}}{\text{m²}} \\[5px]
&\underline{\underline{p_2 =3,76 ~\text{bar}}}\\[5px]
\end{align}

Έτσι, η αύξηση της ταχύτητας ροής προκαλεί πτώση της στατικής πίεσης από 4,00 bar σε 3,76 bar. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί από το γεγονός ότι μέρος της ενέργειας που σχετίζεται με τη στατική πίεση έπρεπε να χρησιμοποιηθεί για την επιτάχυνση του νερού. Η αύξηση της κινητικής ενέργειας του νερού γίνεται σε βάρος της στατικής πίεσης. Περισσότερες λεπτομερείς πληροφορίες σχετικά με αυτό το φαινόμενο μπορείτε να βρείτε στο άρθρο Venturi effect.

Ρεύστε σε σωλήνα νερού με ακροφύσιο

Ένας εύκαμπτος σωλήνας με εσωτερική διατομή 1,24 cm² συνδέεται σε μια βρύση νερού. Ο εύκαμπτος σωλήνας οδηγεί σε ύψος 6 μέτρων από το έδαφος, όπου το νερό ρέει έξω από ένα ακροφύσιο και συγκεντρώνεται σε μια πισίνα. Η πισίνα γεμίζει με 30 λίτρα το λεπτό. Ένα μέτρο πάνω από το έδαφος, ένα μανόμετρο είναι στερεωμένο στον εύκαμπτο σωλήνα για τη μέτρηση της στατικής πίεσης. Το μανόμετρο δείχνει πίεση 2 bar. Η πίεση του αέρα περιβάλλοντος είναι 1 bar. Η ροή είναι ασυμπίεστη και αδιάβροχη. Με ποια ταχύτητα βγαίνει το νερό από το ακροφύσιο;

Εικόνα:Γέμισμα πισίνας που βρίσκεται ψηλότερα

Για να απαντήσουμε σε αυτή την ερώτηση, εξετάζουμε έναν εξορθολογισμό που οδηγεί από το μανόμετρο στην έξοδο του ακροφυσίου. Στην περίπτωση αυτή, πρέπει να ληφθούν υπόψη οι όροι για τις βαρυτικές δυνάμεις ενέργειες (υδροστατικές πιέσεις) στην εξίσωση Bernoulli. Δίνονται οι ακόλουθες μεταβλητές:

κατάσταση 1 (μανόμετρο) κατάσταση 2 (άνοιγμα ακροφυσίου) ύψος h1 =1 mh2 =6 mταχύτητα v1 =?v2 =άγνωστηστατική πίεση p1 =2 barp2 =? Εικόνα:Εφαρμογή της εξίσωσης Bernoulli για δύο καταστάσεις σε διαφορετικά ύψη

Η ταχύτητα ροής v1 στο σημείο μέτρησης μπορεί να προσδιοριστεί μέσω του ογκομετρικού ρυθμού ροής με τον οποίο γεμίζει η πισίνα. Λόγω της ασυμπίεσης του ρευστού, ο ρυθμός ροής στο μανόμετρο πρέπει να είναι ίδιος με τον ρυθμό ροής που βγαίνει από το ακροφύσιο και γεμίζει την πισίνα. Με ταχύτητα ροής v1, ο ακόλουθος όγκος ΔV διέρχεται από τη διατομή του σωλήνα A1 εντός της χρονικής περιόδου Δt:

\αρχή{στοίχιση}
&\Delta V =A_1 \cdot v_1 \cdot \Delta t\\[5px]
\end{align}

Επομένως, για τον ογκομετρικό ρυθμό ροής V* (=όγκος ανά μονάδα χρόνου) ως πηλίκο του όγκου ΔV και της χρονικής διάρκειας Δt:

\αρχή{στοίχιση}
&\dot V =\frac{\Delta V}{\Delta t} =A_1 \cdot v_1 \\[5px]
\end{align}

Η επίλυση αυτής της εξίσωσης για την ταχύτητα ροής, παρέχει μια τιμή περίπου 4,03 m/s για το v1. Σημειώστε ότι ο ογκομετρικός ρυθμός ροής πρέπει να δίνεται στη μονάδα m³/s:

\αρχή{στοίχιση}
&v_1 =\frac{\dot V}{A_1} =\frac{5 \cdot 10^{-4} ~ \tfrac{\text{m³}}{\text{s}}}{1.24\cdot 10^{-4} ~\text{m²}}=\underline{\underline{\underline. \frac{\text{m}}{\text{s}}}} \\[5px]
\end{align}

Τι γίνεται με τη στατική πίεση p2 στην έξοδο του ακροφυσίου; Δεδομένου ότι το νερό ρέει ανεμπόδιστα στην ατμόσφαιρα, μόνο ο αέρας του περιβάλλοντος ασκεί πίεση στον πίδακα νερού. Επομένως, η πίεση περιβάλλοντος επιβάλλει τη στατική της πίεση στον πίδακα νερού όταν ρέει έξω από το ακροφύσιο:

\αρχή{στοίχιση}
&p_2 =\underline{\underline{1~ \text{bar}}} \\[5px]
\end{align}

Τώρα που όλες οι απαραίτητες ποσότητες είναι γνωστές, μπορούν να τεθούν στην εξίσωση Bernoulli και να λυθούν για την ταχύτητα ροής v2:

\αρχή{στοίχιση}
&p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 +\rho g h_1=p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 \\[5px]
&v_2 =\sqrt{\frac{2~(p_1-p_2)}{\rho} + 2g (h_1-h_2) + v_1^2} =\underline{\underline{10,87 \frac{\text{m}}{\text{s}}}} \\[5px]
\end{align}

Έτσι βγαίνει νερό από το ακροφύσιο με ταχύτητα 10,87 m/s.

Νόμος του Τοριτσέλι

Μια βρύση είναι συνδεδεμένη στο πλάι μιας ανοιχτής δεξαμενής νερού. Ένας εύκαμπτος σωλήνας συνδέεται στο ένα άκρο με τη βρύση. Στο άλλο άκρο είναι τοποθετημένο ένα ακροφύσιο με μεταβλητή διατομή. Η δεξαμενή είναι τόσο μεγάλη που η στάθμη του νερού (σχεδόν) δεν αλλάζει όσο το νερό βγαίνει από το ακροφύσιο. Η ροή είναι ασυμπίεστη και αδιάβροχη. Με ποια ταχύτητα βγαίνει το νερό από το ακροφύσιο όταν η επιφάνεια του νερού βρίσκεται στο ύψος h πάνω από το άνοιγμα του ακροφυσίου;

Εικόνα:Εκκένωση νερού από σωλήνα

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, εξετάζουμε μια γραμμή ροής που οδηγεί από την επιφάνεια του νερού στην έξοδο του ακροφυσίου. Το επίπεδο αναφοράς για τα ύψη που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό των υδροστατικών πιέσεων ορίζεται στο ύψος του ακροφυσίου. Έτσι είναι γνωστές οι ακόλουθες μεταβλητές:

κατάσταση 1 (στάθμη νερού) κατάσταση 2 (άνοιγμα ακροφυσίου) ύψος h1 =hh2 =0ταχύτητα v1 ≈ 0v2 =άγνωστηστατική πίεση p1 =pambp2 =pu Εικόνα:Εκκένωση νερού από σωλήνα (νόμος Torricelli)

Σημειώστε ότι η στάθμη του νερού δεν αλλάζει αισθητά όταν το νερό ρέει έξω από το ακροφύσιο. Η ταχύτητα βύθισης ή η ταχύτητα ροής ενός σωματιδίου ρευστού στην επιφάνεια του νερού είναι επομένως περίπου μηδέν (v1≈0). Επιπλέον, η στατική πίεση στην επιφάνεια του νερού αντιστοιχεί στην πίεση περιβάλλοντος, επειδή αυτή η πίεση εφαρμόζεται στην επιφάνεια του νερού. Η πίεση περιβάλλοντος επιδρά επίσης στον πίδακα νερού που βγαίνει από το ακροφύσιο. Για να λυθεί το πρόβλημα, δεν απαιτείται η ακριβής τιμή της πίεσης περιβάλλοντος επειδή οι στατικές πιέσεις στην εξίσωση Bernoulli αλληλοεξουδετερώνονται:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 +\rho g h_1=p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 \\[5px]
&\ ακύρωση{p_\text{amb} }+ \frac{1}{2} \rho \underbrace{v_1^2}_{=0} + \rho g\underbrace{h_1}_{=h}=\cancel{p_\text{amb}} + \frac{1}{2} \rho vrho v_2^ \\[5 εικονοστοιχεία]
&\cancel{\rho} g h=\frac{1}{2} \cancel{\rho} v_2^2 \\[5px]
\label{aus}
&\boxed{v_2=\sqrt{2gh}} \\[5px]
\end{align}

Αυτό το αποτέλεσμα είναι αξιοσημείωτο με δύο τρόπους. Πρώτον, προφανώς μόνο το ύψος της στάθμης του νερού πάνω από το ακροφύσιο έχει σημασία για την ταχύτητα εκκένωσης – η διατομή του ακροφυσίου δεν επηρεάζει! Δεύτερον, μπορεί να φανεί ότι η ταχύτητα εκροής αντιστοιχεί ακριβώς στην ταχύτητα πτώσης vf εάν ένα ρευστό δέμα έπεφτε από την επιφάνεια του νερού (αυτός είναι επίσης γνωστός ως νόμος του Torricelli). Η βαρυτική ενέργεια θέσης ενός ρευστού δέματος με μάζα m μετατρέπεται πλήρως σε κινητική ενέργεια:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&\cancel{m}~g~h=\frac{1}{2}\cancel{m}~v_\text{f}^2 \\[5px]
&\boxed{v_\text{f}=\sqrt{2gh}} ~~~\text{Νόμος του Torricelli}\\[5px]
\end{align}

Από ενεργειακή άποψη γίνεται σαφές ότι η ταχύτητα εκροής δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από αυτή που δίνεται από τον τύπο (\ref{aus}). Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι σε αυτή την ταχύτητα ένα δέμα ρευστού που εκρέει μπορεί το πολύ να φτάσει ξανά στο αρχικό του ύψος, δηλαδή το ύψος μέχρι την επιφάνεια του νερού. Εάν η ταχύτητα ήταν μεγαλύτερη, αυτό θα έρχονταν σε αντίθεση με το νόμο της διατήρησης της ενέργειας. Γιατί τότε το ρευστό δέμα θα μπορούσε να φτάσει σε μεγαλύτερο ύψος. Στη συνέχεια, θα ήταν δυνατό να γεμίσετε μια πισίνα ψηλότερα χωρίς εισροή ενέργειας.

Πίεση σε ορισμένο βάθος λίμνης

Στην πραγματικότητα, η εξίσωση Bernoulli δεν ισχύει μόνο για ένα ρέον ρευστό. Η εξίσωση Bernoulli μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε ένα ρευστό σε ηρεμία. Ας εξετάσουμε μια ακίνητη, βαθιά λίμνη. Ποια πίεση υπάρχει στο βάθος h κάτω από την επιφάνεια του νερού;

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα θεωρούμε μια ροή από την επιφάνεια του νερού μέχρι το βάθος h. Σημειώστε ότι μια γραμμή εξορθολογισμού ορίζεται ως εφαπτομένη στα διανύσματα ταχύτητας. Δεδομένου ότι όλα τα διανύσματα είναι μηδέν για ένα ρευστό σε ηρεμία, μπορεί τελικά να σχεδιαστεί μια γραμμή εξορθολογισμού κατά μήκος οποιασδήποτε διαδρομής. Τοποθετούμε το επίπεδο αναφοράς για τις βαρυτικές δυνάμεις ενέργειες στο εξεταζόμενο βάθος. Ως εκ τούτου, σε αυτό το βάθος αποδίδεται το ύψος μηδέν και η επιφάνεια του νερού το ύψος h. Η στατική πίεση στην επιφάνεια του νερού είναι η πίεση περιβάλλοντος. Έτσι είναι γνωστές οι ακόλουθες παράμετροι:

κατάσταση 1 (επιφάνεια νερού) κατάσταση 2 (βάθος) ύψος h1 =hh2 =0ταχύτητα v1 =0v2 =0στατική πίεση p1 =pambp2 =άγνωστο Εικόνα:Πίεση σε ορισμένο βάθος λίμνης

Αυτές οι παράμετροι που χρησιμοποιούνται στην εξίσωση Bernoulli δίνουν το ακόλουθο αποτέλεσμα για την πίεση νερού p2:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&\underbrace{p_1}_{p_\text{amb}} + \frac{1}{2} \rho \underbrace{v_1^2}_{=0} +\rho g \underbrace{h_1}_{=h}=p_2 + \frac{1}{2} \rho \underbrace{v_1^2} \underbrace{h_2}_{=0} \\[5px]
&\boxed{p_2=p_\text{amb} + \rho g h} \\[5px]
\end{align}

Όπως ήταν αναμενόμενο, η πίεση p2 στο βάθος h αντιστοιχεί στην πίεση περιβάλλοντος συν την (υδροστατική) πίεση που δημιουργείται από την παραπάνω στήλη νερού!