Κατανόηση αριθμών χωρίς διαστάσεις σε οριακά επίπεδα (Prandtl, Schmidt, Lewis)

Για να περιγραφεί η μεταφορά θερμότητας και μάζας, εισάγονται αδιάστατοι αριθμοί για να περιγράψουν τις διαδικασίες εντός των οριακών στρωμάτων.

Μεταξύ ενός ρέοντος ρευστού και μιας στερεής επιφάνειας, σχηματίζονται διαφορετικά οριακά στρώματα, τα οποία συζητήθηκαν λεπτομερώς στα συνδεδεμένα άρθρα:

• οριακό στρώμα ταχύτητας (υδροδυναμικό οριακό στρώμα)
• οριακό στρώμα θερμοκρασίας (θερμικό οριακό στρώμα)
• οριακό στρώμα συγκέντρωσης (οριακό στρώμα ουσίας)

Σημειώστε ότι αυτά τα οριακά επίπεδα είναι γενικά διαφορετικά μεταξύ τους και δεν έχουν το ίδιο προφίλ. Για παράδειγμα, ενώ ένα υδροδυναμικό οριακό στρώμα θα αναπτύσσεται πάντα, ένα οριακό στρώμα θερμοκρασίας ή συγκέντρωσης μπορεί να μην υπάρχει πάντα. Εάν, για παράδειγμα, το τοίχωμα και το ρευστό έχουν την ίδια θερμοκρασία, τότε δεν υπάρχει κλίση θερμοκρασίας και επομένως δεν υπάρχει θερμικό οριακό στρώμα. Με παρόμοιο τρόπο, αυτό ισχύει για τη ροή ομοιογενών ρευστών που δεν έχουν κλίση συγκέντρωσης και επομένως δεν έχουν οριακό στρώμα συγκέντρωσης.

Εικόνα:Υδροδυναμικό, θερμικό και οριακό στρώμα συγκέντρωσης

Σε όλα τα οριακά στρώματα υπάρχουν χαρακτηριστικές κλίσεις, οι οποίες οδηγούν σε μεταφορά ορμής, θερμότητας και μάζας. Ο παρακάτω πίνακας συγκρίνει τις αντίστοιχες εξισώσεις μεταφοράς. Αυτός ο πίνακας έχει ήδη συζητηθεί λεπτομερώς στο άρθρο Θερμικό και οριακό στρώμα συγκέντρωσης.

μεταφορά ορμής μεταφορά θερμότητας μαζικές μεταφορές νόμος NewtonFourierFick\begin{align}
\σημείωση
&\boxed{\tau =\eta~ \frac{\partial v}{\partial y}} \left(=\dot p_a\right)
\end{align}\begin{align}
\σημείωση
&\boxed{\dot q =– \lambda ~\frac{\partial T}{\partial y}}
\end{align}\begin{align}
\σημείωση
&\boxed{\dot n =– D~ \frac{\partial c}{\partial y}}
\end{align}drive ταχύτητα
θερμοκρασία κλίσης
συγκέντρωση κλίσης
κλίσηχαρακτηριστικό
ποσότητα δυναμική
ιξώδες \(\eta\)θερμικό
αγωγιμότητα \(\λάμδα\)διάχυση
συντελεστής \(D\)κινητικός
Ιξώδες
\αρχή{στοίχιση}
\σημείωση
&\boxed{\nu =\frac{\eta}{\rho}} \\[5px]
\end{align}θερμικός
διαχυτικότητα
\αρχή{στοίχιση}
\σημείωση
&\boxed{a =\frac{\lambda}{\rho \cdot c_p}} \\[5px]
\end{align}flux ορμή fluxeat fluxdiffusion flux

Σημειώστε ότι το κινηματικό ιξώδες ν σχετίζεται άμεσα με το δυναμικό ιξώδες από την ογκομετρική πυκνότητα μάζας . Είναι επομένως επίσης μια χαρακτηριστική ποσότητα της μεταφοράς ορμής. Ομοίως, η θερμική διάχυση "a" σχετίζεται άμεσα με τη θερμική αγωγιμότητα κατά πυκνότητα και ειδική θερμοχωρητικότητα cp και μπορεί να θεωρηθεί ως χαρακτηριστική ποσότητα για τη μεταφορά θερμότητας.

Τα τρία οριακά στρώματα δεν υπάρχουν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, αλλά επηρεάζουν το ένα το άλλο. Για παράδειγμα, μια χαμηλή ταχύτητα ροής σημαίνει ότι η θερμότητα δεν μεταφέρεται πολύ γρήγορα με τη ροή. Αυτό οδηγεί σε αυξημένη θέρμανση του υγρού. Αυτό όχι μόνο αλλάζει τη μεταφορά μάζας με διάχυση, αλλά και το ιξώδες που εξαρτάται από τη θερμοκρασία. Αυτό σημαίνει μια αλλαγμένη συμπεριφορά ροής, η οποία με τη σειρά της επηρεάζει τη μεταφορά θερμότητας. Έτσι, οι διεργασίες στα αντίστοιχα οριακά επίπεδα επηρεάζουν η μία την άλλη.

Έτσι, εάν κάποιος θέλει να συγκρίνει την ορμή, τη μεταφορά θερμότητας και μάζας για συστήματα διαφορετικών μεγεθών, τότε αυτό είναι δυνατό μόνο εάν όλα τα οριακά στρώματα ή οι διεργασίες που λαμβάνουν χώρα μέσα σε αυτά είναι στην ίδια αναλογία. Για αυτόν τον λόγο, συνολικά τρεις παράμετροι ομοιότητας χωρίς διάσταση εισάγονται. Αυτοί οι αδιάστατοι αριθμοί θέτουν δύο χαρακτηριστικές παραμέτρους των οριακών στρωμάτων σε σχέση μεταξύ τους. Αυτοί οι αδιάστατοι αριθμοί είναι ο αριθμός Prandtl Pr, ο αριθμός Schmidt Sc και τον αριθμό Lewis Le:

Αριθμός Prandtl Pr Αριθμός Schmidt Sc Αριθμός Lewis Le Λόγος μεταφοράς ορμής προς μεταφορά ενέργειας αναλογία μεταφοράς ορμής προς μαζική μεταφορά θερμότητας προς μαζική μεταφορά\begin{align}
\σημείωση
&\boxed{Pr =\frac{\nu}{a}}=\frac{\eta \cdot c_p}{\lambda} \\[5px]
\end{align}\begin{align}
\σημείωση
&\boxed{Sc =\frac{\nu}{D}} =\frac{\eta}{\rho \cdot D}\\[5px]
\end{align}\begin{align}
\σημείωση
&\boxed{Le =\frac{a}{D}}=\frac{\lambda}{\rho \cdot c_p \cdot D} \\[5px]
\end{στοίχιση}

Μια πιο προσεκτική ματιά αποκαλύπτει ότι ο λόγος του αριθμού Schmidt προς τον αριθμό Prandtl είναι ο αριθμός Lewis:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&\frac{Sc}{Pr}=\frac{\frac{\nu}{D}}{\frac{\nu}{a}}=\frac{\bcancel{\nu} \cdot a}{D \cdot \bcancel{\nu}} =\frac{a}{D }=Le \\[5px]
&\boxed{Le=\frac{Sc}{Pr}}
\end{align}

Τα τρία οριακά στρώματα ορίζονται επομένως πλήρως από αδιάστατους αριθμούς, αφού ο τρίτος αριθμός μπορεί να προσδιοριστεί από αυτούς. Αυτές οι αδιάστατες παράμετροι έχουν μεγάλη σημασία για τη δυνατότητα μεταφοράς των πειραμάτων μοντέλων στην πραγματικότητα. Μόνο εάν αυτές οι αδιάστατες παράμετροι είναι ίδιες για το μοντέλο όπως και για την πραγματική περίπτωση, μπορούν να θεωρηθούν φυσικές παρόμοιες διαδικασίες ορμής, θερμότητας και μεταφοράς μάζας.

Σημειώστε ότι οι ορισμοί των αδιάστατων αριθμών δεν είναι αυθαίρετοι, αλλά βασίζονται στην έννοια της ομοιότητας. Οι αδιάστατοι αριθμοί ονομάζονται επομένως και παράμετροι ομοιότητας . Αυτές οι παράμετροι προσφέρουν έτσι τη δυνατότητα περιγραφής των ροών με πολύ γενικό τρόπο, ανεξάρτητα από το μέγεθος του συστήματος. Είναι σημαντικοί σύνδεσμοι μεταξύ της κλίμακας μοντέλου και της πραγματικής κλίμακας. Τέτοιες παράμετροι ομοιότητας περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, τον αριθμό Reynolds, ο οποίος χρησιμοποιείται για τον χαρακτηρισμό της κινηματικής συμπεριφοράς ροής.

Οι παραπάνω παράμετροι θα συζητηθούν λεπτομερέστερα στα ακόλουθα άρθρα:

• Αριθμός Prandtl
• Αριθμός Schmidt
• Αριθμός Lewis