Fluid Motion on Streamlines:Παραγωγή Εξισώσεων

Σε αυτό το άρθρο εξάγουμε την εξίσωση κίνησης ενός ρευστού στοιχείου σε μια γραμμή ροής και μιας κάθετης σε αυτήν.

Εισαγωγή

Στη συνέχεια θέλουμε να εξάγουμε την εξίσωση κίνησης ενός ρευστού στοιχείου σε μια γραμμή ροής για μια επίπεδη, στρωτή ροή (δισδιάστατη ροή). Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να φανταστεί μια ροή σε ένα καμπύλο, βαθύ κανάλι, το οποίο φαίνεται από ψηλά. Ορίζουμε ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων s σε ένα οριζόντιο επίπεδο παράλληλο στην επιφάνεια της γης, το οποίο εκτείνεται προς την κατεύθυνση της γραμμής ροής. Η ακτίνα καμπυλότητας της γραμμής ροής συμβολίζεται με rc.

Εικόνα:Ρευστό στοιχείο σε κυρτή γραμμή

Το ρευστό στοιχείο έχει το πλάτος dr στην ακτινική διεύθυνση και το μήκος ds προς την κατεύθυνση της γραμμής ροής. Η κλίση πίεσης προς την κατεύθυνση της γραμμής ροής είναι ∂p/∂s<0 και στην ακτινική διεύθυνση ∂p/∂r>0. Το ρευστό στοιχείο με όγκο dV κινείται με την ταχύτητα c στη γραμμή ροής.

Εξίσωση κίνησης ενός ρευστού στοιχείου προς την κατεύθυνση της γραμμής ροής

Σημαντική επιτάχυνση

Πρώτον, εξετάζουμε την κινητική ενός ρευστού στοιχείου μόνο προς την κατεύθυνση της γραμμής ροής. Εξ ορισμού, το ρευστό στοιχείο κινείται με την ταχύτητα c που εφάπτεται στη γραμμή ροής. Εφόσον, ωστόσο, στην περίπτωση μιας ασταθούς ροής, η ταχύτητα ροής c όχι μόνο διαφέρει από μέρος σε μέρος, αλλά αλλάζει και με την πάροδο του χρόνου σε μια σταθερή θέση (π.χ. όταν η ροή «αρχίζει»), η επιτάχυνση ενός ρευστού στοιχείου αποτελείται βασικά από δύο μέρη:

1. η χρονική αλλαγή της ταχύτητας σε μια σταθερή τοποθεσία (τοπική επιτάχυνση ) και
2. η χωρική αλλαγή της ταχύτητας από μέρος σε μέρος (συναγωγική επιτάχυνση ).

Το πρώτο μέρος προκύπτει από το γεγονός ότι κάθε χρονική αλλαγή της ταχύτητας σε μια σταθερή θέση αντιπροσωπεύει μια επιτάχυνση. Αυτό σημαίνει:Εάν η ταχύτητα του ρευστού στοιχείου αλλάξει σε μια σταθερή θέση, αυτό μπορεί να είναι συνέπεια μιας αντίστοιχης επιτάχυνσης. Το δεύτερο μέρος οφείλεται στο γεγονός ότι η ταχύτητα όχι μόνο αλλάζει χρονικά σε μια σταθερή τοποθεσία, αλλά επίσης διαφέρει από μέρος σε μέρος σε μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Αυτό σημαίνει ότι ένα ρευστό στοιχείο πρέπει να επιταχυνθεί στη νέα ταχύτητα ροής, ας πούμε έτσι, όταν αλλάζει η θέση του. Και τα δύο μέρη μαζί αντιπροσωπεύουν τη λεγόμενη ουσιαστική επιτάχυνση , δηλ. η επιτάχυνση που ουσιαστικά δρα στο ρευστό στοιχείο ως σύνολο (ονομάζεται επίσης υλική επιτάχυνση ).

Η ουσιαστική μεταβολή της ταχύτητας dc προκύπτει επομένως από μια χρονική αλλαγή της ταχύτητας ∂c/∂t εντός του χρόνου dt και από μια χωρική αλλαγή της ταχύτητας ∂c/∂s (κλίση) σε απόσταση ds:

\αρχή{στοίχιση}
&\underbrace{\text{d}c}_{\text{ουσιαστική αλλαγή}} =\underbrace{\frac{\partial c}{\partial t} \text{d}t}_{\text{τοπική αλλαγή}} + \underbrace{\frac{\partial c}{\partial s} \context αλλαγή}}\\[5 εικονοστοιχεία]
\end{align}

Εάν αυτή η εξίσωση διαιρεθεί με το χρόνο dt, προκύπτει ο ακόλουθος τύπος για την ουσιαστική επιτάχυνση κατά την εφαπτομενική διεύθυνση της γραμμής ροής:

\αρχή{στοίχιση}
&a_t =\frac{\text{d}c}{\text{d}t} =\frac{\partial c}{\partial t} + \frac{\partial c}{\partial s} \underbrace{\frac{\text{d}s}{\text{d}t}}_{c}\\[5px]
&\underline{a_t =\frac{\partial c}{\partial t} + c\frac{\partial c}{\partial s}} \\[5px]
\end{align}

Σημειώστε ότι ο όρος της συναγωγικής επιτάχυνσης εξαρτάται από την ταχύτητα ροής. Αυτό είναι επίσης ξεκάθαρο, γιατί αν το ρευστό στοιχείο ρέει πολύ γρήγορα, καλύπτει μια σχετικά μεγάλη απόσταση μέσα σε ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Για μια δεδομένη κλίση ταχύτητας ∂c/∂s αυτό σημαίνει μια αντίστοιχη μεγάλη αλλαγή στην ταχύτητα και επομένως μια μεγάλη επιτάχυνση.

Έτσι, η ακόλουθη εφαπτομενική δύναμη επιτάχυνσης Ft δρα σε ένα θεωρούμενο ρευστό στοιχείο μάζας dm σε κατεύθυνση εξορθολογισμού, όπου η μάζα μπορεί να εκφραστεί από τον όγκο του ρευστού στοιχείου dV και την πυκνότητα ϱ:

\αρχή{στοίχιση}
\label{t}
&\boxed{F_t =\text{d}m \cdot a_t =\text{d}V \cdot \rho \cdot \left( \frac{\partial c}{\partial t} + c\frac{\partial c}{\partial s}\right)} ~~~px]text{επιτάχυνση
\end{align}

Δυνάμεις πίεσης

Η ανώτερη εξίσωση περιγράφει μόνο την επίδραση μιας τοπικής και χρονικής αλλαγής στην ταχύτητα στην επιτάχυνση (κινητική), αλλά όχι την αιτία αυτής της επιτάχυνσης (κινητική). Η αιτία της δύναμης επιτάχυνσης είναι οι δυνάμεις που ασκούνται στο ρευστό στοιχείο. Θα πρέπει επομένως να ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά και να εξισορροπήσουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο ρευστό στοιχείο. Εδώ, επίσης, θα εξετάσουμε μόνο την κίνηση ή τις δυνάμεις προς την κατεύθυνση της γραμμής ροής.

Δυνάμεις ενεργούν στις ακραίες επιφάνειες του ρευστού στοιχείου λόγω της πίεσης που ασκείται εκεί, η οποία μειώνεται κατά μήκος της γραμμής ροής. Σημειώστε ότι ένα σωματίδιο ρευστού μπορεί να κινηθεί μόνο προς την κατεύθυνση της φθίνουσας πίεσης, επειδή μια φθίνουσα βαθμίδα πίεσης ∂p/∂s<0 είναι αυτή που οδηγεί αρχικά μια ροή. Έτσι, εάν μια πίεση p δρα στο αριστερό άκρο dAs, τότε στη δεξιά ακραία πλευρά (στην απόσταση ds), υπάρχει πίεση χαμηλότερη κατά p+∂p/∂s⋅ds:

\αρχή{στοίχιση}
&\underline{F_{p1} =p \cdot \text{d}A_s} \\[5px]
&\underline{F_{p2} =\left(p+\frac{\partial p}{\partial s}\cdot \text{d}s \right) \cdot \text{d}A_s} \\[5px]
\end{align}

Εικόνα:Δυνάμεις πίεσης που δρουν στις ακραίες επιφάνειες του ρευστού στοιχείου

Η προκύπτουσα δύναμη πίεσης που επενεργεί στο ρευστό στοιχείο Fp προκύπτει τελικά από τη διαφορά μεταξύ των δύο δυνάμεων:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
F_p &=F_{p1} – F_{p2} \\[5px]
&=p \cdot \text{d}A_s – \left(p+\frac{\partial p}{\partial s}\cdot \text{d}s \right) \cdot \text{d}A_s \\[5px]
&=\cancel{p \cdot \text{d}A_s} – \cancel{p \cdot \text{d}A_s} – \frac{\partial p}{\partial s}\cdot \underbrace{\text{d}s \cdot \text{d}A_s}_{\text \[d}V}V
\end{align}

\αρχή{στοίχιση}
\boxed{F_p =– \frac{\partial p}{\partial s}\cdot \text{d}V}~~~~~\text{προκύπτουσα δύναμη πίεσης} \\[5px]
\end{align}

Δυνάμεις τριβής

Επιπλέον, δυνάμεις τριβής δρουν στις πλευρικές επιφάνειες λόγω του δυναμικού ιξώδους η του ρευστού. Αυτά μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας το νόμο της τριβής του Νεύτωνα για τα υγρά:

\αρχή{στοίχιση}
\label{n}
&\tau=\eta \cdot \frac{\partial c}{\partial r} \\[5px]
\end{align}

Σε αυτή την εξίσωση το τ υποδηλώνει τη διατμητική τάση που δρα στην επιφάνεια, η οποία είναι ανάλογη με την ακτινική κλίση της ταχύτητας ∂c/∂r. Αυτή η κλίση ταχύτητας περιγράφει τη χωρική αλλαγή στην ταχύτητα κάθετα στη γραμμή ροής. Ωστόσο, σε όλο το πλάτος dr του ρευστού στοιχείου, αυτή η κλίση ταχύτητας αλλάζει γενικά. Έτσι, διαφορετικές διατμητικές τάσεις δρουν και στις δύο πλευρές.

Αν ∂τ/∂r υποδηλώνει τη μεταβολή της διατμητικής τάσης στην ακτινική διεύθυνση (κλίση διατμητικής τάσης), τότε για ένα δεδομένο πλάτος του ρευστού στοιχείου του dr η διατμητική τάση μεταβάλλεται κατά την ποσότητα ∂τ/∂r⋅dr. Για τις πλευρικά ενεργούσες δυνάμεις διάτμησης ισχύουν επομένως οι ακόλουθοι τύποι:

\αρχή{στοίχιση}
&F_{f1} =\tau \cdot \text{d}A_r \\[5px]
&F_{f2} =\left(\tau+ \frac{\partial \tau}{\partial r}\text{d}r\right) \cdot \text{d}A_r \\[5px]
\end{align}

Σχήμα:Δυνάμεις τριβής που δρουν στις πλευρικές επιφάνειες του ρευστού στοιχείου

Σημειώστε ότι οι δυνάμεις που δρουν πλευρικά δείχνουν προς διαφορετικές κατευθύνσεις. Αν υποθέσουμε ότι η ταχύτητα ροής αυξάνεται κατά την ακτινική κατεύθυνση, το περιβάλλον ρευστό στη δεξιά πλευρά (βλέποντας προς την κατεύθυνση της ροής) ρέει με χαμηλότερη ταχύτητα από το ρευστό στοιχείο. Το ρευστό στοιχείο επιβραδύνεται, θα λέγαμε, και η δύναμη κατευθύνεται ανάλογα προς την κατεύθυνση ροής. Στην αντίθετη αριστερή πλευρά, το περιβάλλον ρευστό ρέει πιο γρήγορα από το ρευστό στοιχείο. Το περιβάλλον ρευστό προσπαθεί να «σύρει» το ρευστό στοιχείο κατά μήκος, ας πούμε, και επομένως η δύναμη δρα προς την κατεύθυνση της ροής.

Εάν σε αυτό το σημείο οι διατμητικές τάσεις που εμφανίζονται στις ανώτερες εξισώσεις εκφράζονται με τον νόμο της τριβής του Νεύτωνα σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{n}), τότε προκύπτει η ακόλουθη σχέση για τις πλευρικά δρώντες διατμητικές δυνάμεις (δυνάμεις τριβής):

\αρχή{στοίχιση}
&\underline{F_{f1} =\eta \cdot \frac{\partial c}{\partial r} \cdot \text{d}A_r} \\[5px]
\end{align}

\αρχή{στοίχιση}
F_{f2} &=\left(\eta \cdot \frac{\partial c}{\partial r}+ \frac{\partial}{\partial r}\left(\eta \cdot \frac{\partial c}{\partial r}\right) \text{d}r\right)\cdot \text{d[5]A_r
&=\left(\eta \cdot \frac{\partial c}{\partial r}+ \eta \cdot \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial c}{\partial r}\right) \text{d}r\right)\cdot \text{d}A_r \\[5px]
\end{align}

\αρχή{στοίχιση}
&\underline{F_{f2}=\eta \left(\frac{\partial c}{\partial r}+ \frac{\partial^2 c}{\partial r^2}~\text{d}r\right) \cdot \text{d}A_r} \\[5px]
\end{align}

Όλες οι δυνάμεις τριβής στο ρευστό στοιχείο περιγράφονται τώρα μαθηματικά. Σημειώστε ότι δεν υπάρχουν δυνάμεις τριβής που να ενεργούν κάθετα στο εξεταζόμενο οριζόντιο επίπεδο (δηλαδή στην επάνω και κάτω πλευρά του ρευστού στοιχείου), καθώς δεν υπάρχει κλίση ταχύτητας στην κατακόρυφη διεύθυνση σε μια επίπεδη ροή (χωρικά σταθερή ταχύτητα). Και αν δεν υπάρχει κλίση ταχύτητας, τότε σύμφωνα με το νόμο της τριβής του Νεύτωνα δεν υπάρχει τριβή. Αυτό είναι επίσης σαφές, διότι εάν η ταχύτητα των ρευστών στρωμάτων είναι πανομοιότυπη στην κατακόρυφη διεύθυνση, τότε αυτά δεν μετακινούνται μεταξύ τους και επομένως δεν δημιουργούν δυνάμεις τριβής ούτε προκαλούν μεταφορά ορμής.

Η προκύπτουσα δύναμη τριβής Ff που ενεργεί στο ρευστό στοιχείο προκύπτει τελικά από τη διαφορά μεταξύ των δύο αντίθετων δυνάμεων:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
F_{f} &=F_{f2} – F_{f1} \\[5px]
&=\eta \left(\frac{\partial c}{\partial r}+ \frac{\partial^2 c}{\partial r^2}~\text{d}r\right) \cdot \text{d}A_r – \eta \cdot \frac{\partial c}{\partial r} \cdot \rext\{d}
&=\cancel{\eta \cdot \frac{\partial c}{\partial r}\cdot \text{d}A_r}+\eta \frac{\partial^2 c}{\partial r^2}~\underbrace{\text{d}r \cdot \text{d}A_r}_{\text \Vpartial{d} c}{\partial r} \cdot \text{d}A_r}\\[5px]
\end{align}

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{F_f=\eta \frac{\partial^2 c}{\partial r^2}~\text{d}V} ~~~~~\text{προκύπτουσα δύναμη τριβής}\\[5px]
\end{align}

Ισορροπία δυνάμεων

Το άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται στο ρευστό στοιχείο, που αποτελείται από τη δύναμη πίεσης Fp που ενεργεί στην πλευρά της όψης και τη δύναμη τριβής Ff που ενεργεί στην πλευρική πλευρά, αντιστοιχεί τελικά στην εφαπτομενική δύναμη επιτάχυνσης σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{t}):

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
&F_{t} =F_{f} + F_{p} \\[5px]
&\cancel{\text{d}V} \cdot \rho \cdot \left( \frac{\partial c}{\partial t} + c\frac{\partial c}{\partial s}\right) =\eta \frac{\partial^2 c}{\partial r^2}~\cancel{\text{d}partial s} \cancel{\text{d}V} \\[5px]
&\frac{\partial c}{\partial t} + c\frac{\partial c}{\partial s}=\underbrace{\frac{\eta}{\rho}}_{\nu} \frac{\partial^2 c}{\partial r^2} – \frac{1}{\rho}\frac{\partial p} \\partial
&\boxed{\frac{\partial c}{\partial t} + c\frac{\partial c}{\partial s}=\nu \frac{\partial^2 c}{\partial r^2} – \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s}} ~~~~~~\text σε οριζόντια γραμμή e
\end{align}

Σχήμα:Παραγωγή της εξίσωσης κίνησης ενός ρευστού στοιχείου σε μια γραμμή ροής

Κατά την εξαγωγή της εξίσωσης απλοποιημένης γραμμής χρησιμοποιήθηκε ότι το πηλίκο δυναμικού ιξώδους και πυκνότητας αντιστοιχεί στο κινηματικό ιξώδες ν (μικρό ελληνικό γράμμα Nu). Σημειώστε ότι αυτή η εξίσωση ισχύει μόνο για μια επίπεδη ροή όπου η βαρύτητα δρα κάθετα στο επίπεδο ροής (οριζόντιο επίπεδο).

Εάν, ωστόσο, ληφθεί υπόψη μια ροή σε κατακόρυφο επίπεδο, τότε πρέπει επίσης να ληφθεί υπόψη η συνιστώσα της δύναμης βάρους που δείχνει προς την κατεύθυνση της γραμμής ροής. Στην εξίσωση βελτιστοποίησης εμφανίζεται ένας επιπλέον όρος.

\αρχή{στοίχιση}
\label{euler}
&\boxed{\frac{\partial c}{\partial t} + c\frac{\partial c}{\partial s}=\nu \frac{\partial^2 c}{\partial r^2} – \frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial s}-g\frac{\ partial z}-g\frac{~{partial z}{~}partial ένα κατακόρυφο επίπεδο}\\[5 px]
\end{align}

Σχήμα:Εξίσωση κίνησης ενός ρευστού στοιχείου σε μια γραμμή ροής λαμβάνοντας υπόψη τη βαρύτητα

Ο όρος ∂z/∂s αντιστοιχεί τελικά στο ημίτονο της γωνίας μεταξύ του κατακόρυφου άξονα (άξονας z) και της κατεύθυνσης της γραμμής ροής (∂z/∂s=sin(α)). Ο όρος στην παραπάνω εξίσωση θα μπορούσε επομένως να γραφτεί ως g⋅sin(α). Τώρα γίνεται σαφές ότι αυτός ο όρος αντιστοιχεί στη συνιστώσα της δύναμης βάρους προς την κατεύθυνση της γραμμής ροής.

Ωστόσο, για μια οριζόντια ροή, προφανώς δεν υπάρχει συνιστώσα βάρους στην κατεύθυνση εξορθολογισμού, επομένως αυτός ο όρος εξαφανίζεται. Και οι δύο εξισώσεις απλοποιούνται περαιτέρω εάν ληφθεί υπόψη μια σταθερή ροή, όπου οι ταχύτητες ροής δεν αλλάζουν στο χρόνο εξ ορισμού. Η χρονική παράγωγος της ταχύτητας είναι επομένως μηδέν:∂c/∂t=0 (χωρίς τοπική επιτάχυνση, μόνο συναγωγική επιτάχυνση)!

Η εξίσωση (\ref{euler}) είναι στην πραγματικότητα μια ειδική περίπτωση της εξίσωσης Euler, η οποία έχει επεκταθεί κατά τον όρο του ιξώδους.

Εξίσωση κίνησης ενός ρευστού στοιχείου κάθετου στη γραμμή ροής

Σε αυτό το τμήμα εξετάζουμε το ρευστό στοιχείο και τις δυνάμεις που δρουν κάθετα στη γραμμή ροής. Για λόγους απλότητας, υποθέτουμε μια σταθερή ροή. Η καμπύλη γραμμή μπορεί να θεωρηθεί ως ένα τόξο με ακτίνα καμπυλότητας rc. Για να προκληθεί μια τέτοια κυκλική διαδρομή, οι δυνάμεις που δρουν στην ακτινική κατεύθυνση πρέπει να δημιουργήσουν μια κεντρομόλο δύναμη Fc. Το μέγεθος αυτής της κεντρομόλου δύναμης που θα εφαρμοστεί εξαρτάται από την ταχύτητα ροής c, την ακτίνα καμπυλότητας rc και τη μάζα του ρευστού στοιχείου dm:

\αρχή{στοίχιση}
&\boxed{F_c =\frac{\text{d}m \cdot c^2}{r_c}} ~~~~\text{κεντρομόλος δύναμη προς εφαρμογή} \\[5px]
\end{align}

Εάν αγνοήσουμε τις δυνάμεις τριβής στις επιφάνειες του ρευστού στοιχείου σε αυτό το σημείο, η κεντρομόλος δύναμη μπορεί να έχει μόνο μία αιτία:Οι δυνάμεις πίεσης στις πλευρικές επιφάνειες του ρευστού στοιχείου πρέπει να είναι διαφορετικές, έτσι ώστε να δημιουργείται μια κεντρομόλος δύναμη ενάντια στην ακτινική κατεύθυνση. Η πίεση στην ακτινική κατεύθυνση πρέπει επομένως να αυξηθεί σε όλο το πλάτος του ρευστού στοιχείου. Οι ποσότητες από τις οποίες εξαρτάται αυτή η ακτινική κλίση πίεσης ∂p/∂r φαίνονται παρακάτω.

Η πίεση αυξάνεται κάθετα στις γραμμές ροής σε ακτινική κατεύθυνση!

Σχήμα:Παραγωγή της κλίσης πίεσης κάθετα στη γραμμή ροής ως αποτέλεσμα μιας κεντρομόλου δύναμης

Εάν μια πίεση p δρα στο «μέσα» του ρευστού στοιχείου (μέσα όσον αφορά την καμπύλη), τότε για μια δεδομένη κλίση πίεσης ∂p/∂r>0, μια πίεση μικρότερη κατά ∂p/∂r⋅dr προκύπτει στο "εξωτερικό" του ρευστού στοιχείου. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τις ακόλουθες ακτινικές δυνάμεις:

\αρχή{στοίχιση}
&\underline{F_{ri} =p \cdot \text{d}A_r} \\[5px]
&\underline{F_{ro} =\left(p+\frac{\partial p}{\partial r}\cdot \text{d}r \right) \cdot \text{d}A_r} \\[5px]
\end{align}

Το μέγεθος της προκύπτουσας δύναμης πίεσης στην ακτινική διεύθυνση Fr προκύπτει τελικά από τη διαφορά και των δύο δυνάμεων:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
F_r &=F_{ro} – F_{ri} \\[5 px]
&=\left(p+\frac{\partial p}{\partial r}\cdot \text{d}r \right) \cdot \text{d}A_r – p \cdot \text{d}A_r \\[5px]
&=\cancel{p \cdot \text{d}A_r} + \frac{\partial p}{\partial r}\cdot \underbrace{\text{d}r \cdot \text{d}A_r}_{\text{d}V}- \cancel{p \cdot \text{d\[5_r]
\end{align}

\αρχή{στοίχιση}
\boxed{F_r =\frac{\partial p}{\partial r}\cdot \text{d}V}~~~~~\text{προκύπτουσα ακτινική δύναμη} \\[5px]
\end{align}

Αυτή η προκύπτουσα δύναμη πίεσης στην ακτινική κατεύθυνση είναι η αιτία της κεντρομόλου δύναμης. Η εξίσωση και των δύο εξισώσεων παρέχει τελικά την ακόλουθη σχέση μεταξύ της ροής του ρευστού και της προκύπτουσας κλίσης πίεσης σε ακτινική κατεύθυνση:

\αρχή{στοίχιση}
&F_r =F_c \\[5 px]
&\frac{\partial p}{\partial r}\cdot \text{d}V =\frac{\text{d}m \cdot c^2}{r_K} \\[5px]
&\frac{\partial p}{\partial r}=\frac{\overbrace{\frac{\text{d}m}{\text{d}V}}^{\rho} \cdot c^2}{r_K} \\[5px]
&\boxed{\frac{\partial p}{\partial r}=\frac{\rho \cdot c^2}{r_K}} \\[5px]
\end{align}

Όσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα ροής και όσο πιο πυκνό είναι το ρευστό και όσο μικρότερη είναι η ακτίνα καμπυλότητας της γραμμής ροής, τόσο μεγαλύτερη είναι η κλίση πίεσης στην ακτινική διεύθυνση!

Ωστόσο, η παραπάνω εξίσωση δείχνει επίσης ότι για μεγάλες ακτίνες καμπυλότητας η ακτινική κλίση πίεσης γίνεται όλο και μικρότερη. Για ευθείες γραμμές με απείρως μεγάλη ακτίνα καμπυλότητας, η κλίση πίεσης είναι απείρως μικρή. Με άλλα λόγια, για ευθείες γραμμές δεν υπάρχει κλίση πίεσης στην ακτινική κατεύθυνση.

Επομένως, οι μετρήσεις πίεσης σε σωλήνες θα πρέπει να γίνονται πάντα σε ευθύγραμμα τμήματα σωλήνων με ευθείες γραμμές. Σε αυτές τις περιπτώσεις η μετρούμενη πίεση είναι ανεξάρτητη από την τοποθέτηση του μανόμετρου στην περιφέρεια του σωλήνα. Κατά τη μέτρηση της πίεσης σε γωνίες σωλήνων, από την άλλη πλευρά, η πίεση ποικίλλει ανάλογα με την απόσταση από το κέντρο της καμπυλότητας και επομένως με την τοποθέτησή της στην περιφέρεια του σωλήνα.

Εικόνα:Μέτρηση πίεσης σε σύστημα σωλήνων