Νόμος Hagen-Poiseuille:Ενεργειακές Θεωρήσεις &Ροή Ρευστών σε Σωλήνες

Η εξίσωση Hagen-Poiseuille για την περιγραφή του προφίλ παραβολικής ταχύτητας των ρευστών σε σωλήνες ισχύει μόνο για μακρούς σωλήνες για ενεργειακούς λόγους!

Σύνοψη

Όπως προκύπτει λεπτομερώς στο άρθρο για την εξίσωση Hagen-Poiseuille, η ροή Poiseuille με το τυπικό του προφίλ παραβολικής ταχύτητας μπορεί να περιγραφεί από τις ακόλουθες εξισώσεις:

\αρχή{στοίχιση}
\label{vrr}
&\boxed{v(r)=v_\text{max} \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]} \\[5px]
\label{max}
&\boxed{v_{\text{max}}=-\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} } \\[5px]
\label{pv}
&\boxed{\frac{\text{d}p}{\text{d}x} =\frac{\Delta p}{ \Delta L}} \\[5px]
\label{loss}
&\boxed{\Delta p_l =\frac{8\eta \cdot \Delta L}{R^2} \cdot c} ~~~\text{απώλεια πίεσης} \\[5px]
\label{vmax}
&\boxed{c =\frac{1}{2} \cdot v_\text{max}} \\[5px]
\end{align}

Εικόνα:Παραβολικό προφίλ ταχύτητας ροής Hagen-Poiseuille σε σωλήνα

Σε αυτές τις εξισώσεις, το ΔL υποδηλώνει το μήκος του τμήματος του σωλήνα και το R είναι η εσωτερική ακτίνα του σωλήνα. Το v(r) δηλώνει την ταχύτητα του ρευστού σε απόσταση r από τον άξονα του σωλήνα και η είναι το ιξώδες του ρευστού. Η κλίση πίεσης dp/dx είναι η κίνηση για τη ροή και αντιστοιχεί στη μεταβολή της πίεσης ανά μονάδα μήκους. Η κλίση πίεσης καθορίζεται από την αλλαγή πίεσης Δp κατά μήκος του σωλήνα. Η μέση ταχύτητα ροής c αντιστοιχεί μόνο στο μισό της μέγιστης ταχύτητας ροής vmax στο μέσο του σωλήνα.

Εκκίνηση (σχηματισμός του προφίλ στρωτής ροής)

Η κλίση πίεσης dp/dx στην παραπάνω εξίσωση απαιτείται για να αντισταθμίσει τις απώλειες τριβής, έτσι ώστε το ρευστό να συνεχίσει να ρέει. Ωστόσο, μια ροή δεν είναι «μόνο εκεί», πρέπει να δημιουργηθεί. Με άλλα λόγια, το ρευστό πρέπει πρώτα να επιταχυνθεί στο χαρακτηριστικό προφίλ παραβολικής ροής. Οι σχέσεις που προκύπτουν και εξηγούνται στο άρθρο για την εξίσωση Hagen-Poiseuille ισχύουν επομένως μόνο για τμήματα σωλήνων στα οποία το προφίλ ροής έχει ήδη αναπτυχθεί πλήρως. Έτσι και οι παραπάνω εξισώσεις.

Στη συνέχεια θα θέλαμε λοιπόν να αναφερθούμε σε ολόκληρη τη διαδικασία ροής με περισσότερες λεπτομέρειες. Για το σκοπό αυτό φανταζόμαστε μια μεγάλη δεξαμενή που είναι πλήρως γεμάτη με ένα υγρό. Στο κάτω μέρος της δεξαμενής, ένας οριζόντιος σωλήνας συνδέεται στο πλάι, μέσω του οποίου το ρευστό ρέει στο ύπαιθρο. Η δεξαμενή είναι τόσο μεγάλη που η στάθμη του υγρού δεν βυθίζεται αισθητά όταν το υγρό ρέει έξω. Το υγρό δεν κινείται μέσα στη δεξαμενή, ας πούμε έτσι, αλλά προφανώς επιταχύνεται μέσω του σωλήνα προς το ανοιχτό.

Η απόσταση που διανύει το ρευστό στον σωλήνα μέχρι να αναπτυχθεί πλήρως το προφίλ παραβολικής ροής αναφέρεται ως μήκος εισόδου ή μήκος εκκίνησης . Η ροή κατά το μήκος εκκίνησης ονομάζεται ροή εισόδου ή ροή εκκίνησης . Το παρακάτω σχήμα δείχνει την κατανομή της ταχύτητας σε διάφορα σημεία του σωλήνα.

Η ροή μπορεί να χωριστεί σε τρία μέρη:

• επιτάχυνση στη σταθερή ταχύτητα εισόδου και
• επακόλουθη επιτάχυνση στο προφίλ της παραβολικής ταχύτητας ,
• καθώς και η τριβή που πρέπει να αποζημιωθεί μόνιμα.

Εικόνα:Διαίρεση της διαδικασίας ροής

Και οι τρεις διεργασίες συνδέονται με αντίστοιχη εισροή ενέργειας και επομένως με πτώση πίεσης. Αυτό θα συζητηθεί με περισσότερες λεπτομέρειες παρακάτω.

Επιτάχυνση στη σταθερή ταχύτητα εισόδου (ροή εισόδου)

Το υγρό αρχικά επιταχύνεται στη δεξαμενή στο επίπεδο του άξονα του σωλήνα μέχρι την αρχή στην είσοδο (ροή εισαγωγής ). Εισέρχεται στην βελτιωμένη, στρογγυλεμένη είσοδο με σχεδόν σταθερή ταχύτητα c. Η στρογγυλοποίηση είναι αποφασιστικής σημασίας στην πράξη, καθώς διαφορετικά το προφίλ ροής θα περιοριζόταν στις μεταβάσεις με αιχμηρές άκρες λόγω της λεγόμενης συστολής φλέβας, γεγονός που θα είχε ως αποτέλεσμα τη μείωση του ρυθμού ροής (για περισσότερες πληροφορίες βλ. άρθρο Εκφόρτωση υγρών).

Εικόνα:Διαίρεση της πτώσης πίεσης σε διαφορετικές αιτίες

Εάν η πίεση p1 δρα στο υγρό ηρεμίας στο επίπεδο του άξονα του σωλήνα, μέρος αυτής της πίεσης χρησιμοποιείται έτσι για την επιτάχυνση του υγρού στη σταθερή ταχύτητα εισόδου c. Σύμφωνα με την εξίσωση του Bernoulli, αυτό οδηγεί σε μείωση της (στατικής) πίεσης στην είσοδο σε μια τιμή p2. Αυτή η πτώση πίεσης Δpa1 λόγω της επιτάχυνσης του υγρού προσδιορίζεται ως εξής:

\αρχή{στοίχιση}
&p_2 =p_1 – \frac{\rho}{2} c^2 \\[5px]
\label{p}
&\Delta p_{a1} =p_1-p_2=\frac{\rho}{2} c^2 \\[5px]
\end{align}

Επιτάχυνση στο προφίλ παραβολικής ταχύτητας (ροή Poiseuille)

Μετά την επιτάχυνση του ρευστού μέχρι την είσοδο στη σταθερή ταχύτητα εισόδου c, η τριβή μεταξύ του ρευστού και του τοιχώματος του σωλήνα αρχίζει να ισχύει σε όλο το μήκος εκκίνησης (αυτή η μετάβαση από τη ροή εισαγωγής στη ροή εκκίνησης είναι ομαλή). Το υγρό εκεί προσκολλάται στον τοίχο, έτσι ώστε η ταχύτητα ροής στον τοίχο να είναι μηδενική (κατάσταση μη ολίσθησης ). Λόγω του ιξώδους, τα στρώματα ρευστού πιο μακριά από τον τοίχο επιβραδύνονται όλο και περισσότερο.

Παρά τη μείωση της ταχύτητας κοντά στο τοίχωμα του σωλήνα, η ίδια μάζα πρέπει ακόμα να ρέει μέσω του σωλήνα λόγω της διατήρησης της μάζας (εξίσωση συνέχειας ). Έτσι, ενώ η ταχύτητα ροής μειώνεται προς τον τοίχο, η ταχύτητα στην κεντρική περιοχή του σωλήνα (ροή πυρήνα) πρέπει να αυξάνεται σε σύγκριση με την ταχύτητα εισόδου. Συχνά η ροή του πυρήνα κατά μήκος του μήκους εκκίνησης θεωρείται ως μια περιοχή με σταθερή ταχύτητα. Προς την άκρη, η ταχύτητα στη συνέχεια μειώνεται παραβολικά στο μηδέν. Σε μια ορισμένη απόσταση, έχει αναπτυχθεί τελικά ένα συνεχές παραβολικό προφίλ. Αυτό σηματοδοτεί το τέλος της διάρκειας εκκίνησης.

Κάποιος θα μπορούσε να βιαστεί στο συμπέρασμα ότι ο σχηματισμός του προφίλ παραβολικής ταχύτητας δεν απαιτεί πρόσθετη ενέργεια, γιατί τελικά, το ρευστό χάνει ταχύτητα κοντά στο τοίχωμα του σωλήνα στον ίδιο βαθμό που αποκτά ταχύτητα κοντά στο κέντρο του σωλήνα. Αυτό μπορεί να ισχύει για την ταχύτητα, αλλά όχι για την κινητική ενέργεια. Η κινητική ενέργεια σχετίζεται τετραγωνικά με την ταχύτητα. Επιπλέον, το ίδιο το προφίλ ταχύτητας είναι παραβολικό, έτσι ώστε οι συνιστώσες υψηλότερης ταχύτητας στο μέσο της ροής να έχουν πολύ μεγαλύτερη επίδραση στην κινητική ενέργεια.

Η απώλεια κινητικής ενέργειας κοντά στον τοίχο δεν υπερτερεί της κινητικής ενέργειας που απαιτείται για την επιτάχυνση του ρευστού κοντά στο κέντρο. Επομένως απαιτείται πρόσθετη ενέργεια για να σχηματιστεί το προφίλ παραβολικής ταχύτητας από το προφίλ σταθερής ταχύτητας εισόδου! Αυτή η πρόσθετη ενέργεια αντιστοιχεί στην ποσότητα της κινητικής ενέργειας της ροής εκκίνησης. Ανάλογα με την εξίσωση (\ref{p}), εμφανίζεται μια περαιτέρω πτώση πίεσης Δpa2 λόγω της ενέργειας που απαιτείται για να σχηματιστεί το προφίλ παραβολικής ροής. Στην πραγματικότητα, αυτή η απαιτούμενη ενέργεια είναι ίδια με την εξίσωση (\ref{p}) (θα εμφανιστεί στην τελευταία ενότητα αυτού του άρθρου):

\αρχή{στοίχιση}
\label{pp}
&\Delta p_{a2} =\frac{\rho}{2} c^2 \\[5px]
\end{align}

Συνολικά, λοιπόν, κατά τη διαδικασία επιτάχυνσης του ρευστού συμβαίνει η ακόλουθη πτώση πίεσης:

\αρχή{στοίχιση}
&\Delta p_{a} =\Delta p_{a1} + \Delta p_{a1} \\[5px]
\label{ppp}
&\boxed{\Delta p_{a} =\rho c^2} ~~~~~\text{correction term} \\[5px]
\end{align}

Για τη συνολική πτώση πίεσης, πρέπει φυσικά να ληφθούν υπόψη οι πραγματικές απώλειες τριβής σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{loss}) (σημειώστε ότι αυτός ο όρος υπάρχει επίσης κατά τη διάρκεια της εκκίνησης, επειδή ανεξάρτητα από το αν έχει σχηματιστεί το προφίλ ροής ή όχι, οι δυνάμεις τριβής που περιγράφονται από αυτόν τον όρο δρουν):

\αρχή{στοίχιση}
&\Delta p =\Delta p_a + \Delta p_V \\[5px]
&\boxed{\Delta p =\frac{8\eta \cdot L}{R^2} \cdot c + \rho c^2} \\[5px]
\end{align}

Συζήτηση

Από αυτή την εξίσωση μπορεί να φανεί ότι, στην περίπτωση πτώσης πίεσης κατά μήκος ενός σωλήνα, πρέπει συνήθως να λαμβάνονται υπόψη και οι κινητικές ενέργειες για την επιτάχυνση του ρευστού. Αλλά αυτή η εξίσωση δείχνει επίσης ότι για μεγάλα μήκη σωλήνων L με ταυτόχρονα μικρές ακτίνες R, ο όρος που χρησιμοποιείται για να περιγράψει τις απώλειες τριβής γίνεται μεγαλύτερος από τον όρο που χρησιμοποιείται για την περιγραφή της επιτάχυνσης.

Στην πραγματικότητα, Poiseuille αρχικά απέτυχε να αναγνωρίσει την ανάγκη να ληφθούν υπόψη οι απώλειες πίεσης λόγω της επιτάχυνσης. Το αποτέλεσμα ήταν λανθασμένες προβλέψεις του ρυθμού ροής όγκου, ειδικά με βραχείς σωλήνες. Μόνο όταν ο Χάγκεν διόρθωσε τις εξισώσεις του με τον όρο (\ref{ppp}) οι θεωρητικές προβλέψεις συμφωνούσαν με την πράξη. Αυτός ο όρος επιτάχυνσης ονομάζεται επομένως και όρος διόρθωσης .

Εάν, παρεμπιπτόντως, ο σωλήνας δεν θα ήταν διατεταγμένος οριζόντια, αλλά θα ξεπερνούσε ένα ύψος Δh, τότε θα έπρεπε να προστεθεί δυναμική ενέργεια στο ρευστό. Αυτό θα οδηγούσε σε περαιτέρω πτώση πίεσης Δph=ϱ⋅g⋅Δh! Περισσότερα για αυτό το θέμα στο άρθρο Η αρχή του Bernoulli.

Ελάχιστος λόγος μήκους σωλήνα προς διάμετρο σωλήνα

Ενέργεια επιτάχυνσης (μικροσκοπική ανάλυση της ροής)

Στη συνέχεια, η ροή του Poiseuille θα εξεταστεί πιο προσεκτικά από ενεργειακή άποψη. Σε ένα τμήμα σωλήνα μήκους ΔL η κινητική ενέργεια της ροής πρέπει να προσδιορίζεται σε μικροσκοπικό επίπεδο. Για το σκοπό αυτό θεωρούμε έναν κοίλο κύλινδρο με ακτίνα r και πάχος dr. Το ύψος αυτού του κυλίνδρου αντιστοιχεί στο μήκος ΔL του τμήματος του σωλήνα. Η μάζα υγρού που περιέχεται σε αυτόν τον κοίλο κύλινδρο προσδιορίζεται από τον ακόλουθο τύπο:

\αρχή{στοίχιση}
\label{dm}
&\text{d}m =\overbrace{\underbrace{2\pi r \cdot \text{d}r}_{\text{d}A} \cdot \Delta L}^{\text{d}V}\cdot \rho \\[5px]
\end{align}

Εικόνα:Κινητική ενέργεια της ροής σε ένα τμήμα σωλήνα

Η ταχύτητα αυτής της μάζας στην απόσταση r δίνεται από την εξίσωση (\ref{vrr}), έτσι ώστε για την κινητική ενέργεια ισχύει το dWkin:

\αρχή{στοίχιση}
\text{d}W_\text{kin} &=\frac{1}{2} \text{d}m \cdot v^2(r) \\[5px]
&=\frac{1}{2} \overbrace{2\pi r \cdot \text{d}r \cdot \Delta L \cdot \rho}^{\text{d}m} \cdot v^2(r) \\[5px]
&=\pi r \rho \Delta L \cdot v^2(r) \cdot \text{d}r \\[5px]
&=\pi r \rho \Delta L \cdot v_\text{max}^2 \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]^2 \cdot \text{d}r \\[5px]
&=\pi \rho \Delta L \cdot v_\text{max}^2 \cdot \left(r-\frac{2r^3}{R^2} +\frac{r^5}{R^4} \right) \cdot \text{d}r \\[5px]
\end{align}

Η κινητική ενέργεια Wkin μέσα σε ολόκληρο το τμήμα του σωλήνα τελικά προκύπτει με την ολοκλήρωση αυτής της εξίσωσης εντός των ορίων από r=0 έως r=R:

\αρχή{στοίχιση}
W_\text{kin} &=\int \text{d} P_\text{kin} =\pi\rho \Delta L ~v_\text{max}^2 \cdot \int \limits_0^R \left(r-\frac{2r^3}{R^2} +\text{r^5}{R^4} \\text{r^5}{R^4}
&=\pi\rho\Delta L~v_\text{max}^2 \cdot \left\vert \frac{r^2}{2}-\frac{r^4}{2R^2} +\frac{r^6}{6R^4}\right\vert_0^R \\[5px]
&=\pi\rho \Delta L~ v_\text{max}^2 \cdot \left( \frac{R^2}{2}-\frac{R^4}{2R^2} +\frac{R^6}{6R^4} \right) \\[5px]
&=\pi\rho \Delta L~ v_\text{max}^2 \cdot \frac{R^2}{6} \\[5px]
\end{align}

Με την αναδιάταξη αυτής της εξίσωσης, η κινητική ενέργεια μπορεί επίσης να εκφραστεί ως συνάρτηση της μέσης ταχύτητας ροής c:

\αρχή{στοίχιση}
W_\text{kin} &=\pi\rho \Delta L~ v_\text{max}^2 \cdot \frac{R^2}{6} \\[5px]
&=\pi\rho \Delta L~ v_\text{max} \cdot \underbrace{\frac{v_\text{max}}{2}}_{c} \cdot \frac{R^2}{3} \\[5px]
&=\pi\rho c \Delta L~ v_\text{max} \cdot \frac{R^2}{3} \\[5px]
\end{align}

Εάν η σχέση σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{max}) χρησιμοποιείται για τη μέγιστη ταχύτητα ροής, τότε η κινητική ενέργεια μπορεί να προσδιοριστεί με βάση την κλίση πίεσης (σε αυτό το σημείο θα πρέπει να ληφθεί υπόψη μόνο το μέγεθος της βαθμίδας πίεσης, χωρίς πρόσημο):

\αρχή{στοίχιση}
W_\text{kin} &=\pi\rho c \Delta L \cdot \overbrace{\frac{R^2}{4\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x}}^{v_\text{max}} \cdot \frac{R^2}{3} \\[5px]
W_\text{kin} &=\frac{ \pi\rho c \Delta L R^4}{12\eta} \frac{\text{d} p}{\text{d}x} \\[5px]
\end{align}

Για ένα τμήμα σωλήνα μήκους ΔL και πτώσης πίεσης Δp, η κλίση πίεσης δίνεται σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{pv}), έτσι ώστε η κινητική ενέργεια να προσδιορίζεται από τη διαφορά πίεσης ως εξής:

\αρχή{στοίχιση}
&W_\text{kin} =\frac{ \pi\rho c \Delta L R^4}{12\eta} \frac{\Delta p}{\Delta L} \\[5px]
\label{x}
&\boxed{W_\text{kin} =\frac{\pi\rho c R^4 \Delta p}{12 \eta}} \\[5px]
\end{align}

Αυτή η κινητική ενέργεια της ροής αντιστοιχεί στο έργο που απαιτείται για την επιτάχυνση του ρευστού.

Ενέργεια μετατόπισης (μακροσκοπική ανάλυση της ροής)

Η ροή του ρευστού προκαλείται από το γεγονός ότι το ρευστό πιέζεται μέσω του σωλήνα λόγω διαφοράς πίεσης. Για να μετατοπιστεί το ρευστό μέσω του τμήματος του σωλήνα, μια ορισμένη δύναμη και επομένως ενέργεια. Προκειμένου να προσδιοριστεί αυτή η ενέργεια μετατόπισης , δεν βλέπουμε πλέον το υγρό σε μικροσκοπικό επίπεδο, αλλά σε μακροσκοπικό επίπεδο.

Η δύναμη που απαιτείται για τη μετατόπιση του ρευστού προκύπτει από τη διαφορά πίεσης μεταξύ της αρχής και του τέλους του σωλήνα και της περιοχής διατομής του σωλήνα:

\αρχή{στοίχιση}
F =\Δέλτα p \cdot A =\Δέλτα p \cdot \pi R^2 \\[5px]
\end{align}

Εικόνα:Ενέργεια μετατόπισης της ροής λόγω της διαφοράς πίεσης

Η ενέργεια που εφαρμόζεται όταν το ρευστό ρέει σε ολόκληρο το τμήμα του σωλήνα ΔL μπορεί επομένως να προσδιοριστεί ως εξής:

\αρχή{στοίχιση}
&W_V =F \cdot \Delta L \\[5px]
\label{y}
&\boxed{W_V =\Delta p \cdot \pi R^2 \Delta L} ~~~~~\text{Εφαρμοσμένη ενέργεια μετατόπισης}\\[5 px]
\end{align}

Ελάχιστος λόγος μήκους σωλήνα και διαμέτρου σωλήνα

Μπορούμε τώρα να υπολογίσουμε την ελάχιστη αναλογία μεταξύ του μήκους του σωλήνα και της διαμέτρου του σωλήνα για την εγκυρότητα της εξίσωσης Hagen-Poiseuille με την ακόλουθη θεώρηση. Η εφαρμοζόμενη ενέργεια μετατόπισης χρησιμοποιείται για την επιτάχυνση του ρευστού αφενός και για την υπέρβαση της τριβής αφετέρου. Εφόσον η τριβή είναι πάντα παρούσα, η ενέργεια που απαιτείται για την επιτάχυνση σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{x}) δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από την εφαρμοζόμενη ενέργεια μετατόπισης σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{y}). Επομένως, πρέπει να πληρούται η ακόλουθη προϋπόθεση:

\αρχή{στοίχιση}
\απαιτείται{ακύρωση}
W_V &>W_{\text{kin}} \\[5 px]
\cancel{\Delta p} \cdot \cancel{\pi} R^2 \Delta L &> \frac{\cancel{\pi} \rho c R^4 \cancel{\Delta p}}{12 \eta}\\[5px]
\Delta L &> \frac{ \rho c R^2 }{12 \eta}\\[5px]
\Delta L &> \frac{ \rho c ~2R }{\eta}\cdot \frac{2R}{48}\\[5px]
\Delta L &> \color{red}{\frac{ \rho ~c ~D }{\eta}}\cdot \frac{D}{48}\\[5px]
\end{align}

Ο όρος με κόκκινο χρώμα (που αποτελείται από την πυκνότητα, την ταχύτητα ροής, τη διάμετρο του σωλήνα και το ιξώδες) αντιστοιχεί στον λεγόμενο αριθμό Reynolds. Ο ελάχιστος απαιτούμενος λόγος μήκους σωλήνα προς διάμετρο σωλήνα εξαρτάται επομένως από τον αριθμό Reynolds:

\αρχή{στοίχιση}
&\Delta L> \color{red}{Re}\cdot \frac{D}{48}\\[5px]
&\boxed{\frac{\Delta L}{D}> \frac{Re}{48}} \\[5px]
\end{align}

Ο λόγος του μήκους προς την ακτίνα ενός σωλήνα πρέπει να είναι μεγαλύτερος από το ένα σαράντα όγδοο του αριθμού Reynolds για να είναι έγκυρος ο νόμος Hagen-Poiseuille!

Αυτή η δήλωση πρέπει να περιοριστεί περαιτέρω όσον αφορά τις τυρβώδεις ροές. Εκεί η εξίσωση Hagen-Poiseuille δεν ισχύει κατ' αρχήν. Η πρακτική δείχνει ότι αναμένονται τυρβώδεις ροές σε σωλήνες από αριθμούς Reynolds μεγαλύτερους από 2300. Σε μια τέτοια περιοριστική περίπτωση ο λόγος μήκους-διαμέτρου είναι περίπου 50, δηλαδή ο σωλήνας θα πρέπει να είναι περίπου 50 φορές μεγαλύτερη από τη διάμετρό του για ένα προφίλ παραβολικής ταχύτητας σύμφωνα με την ισοτιμία Hagen-Poiseuille που θα καθοριστεί.

Κινητική ισχύς της σταθερής ροής εκκίνησης σε σύγκριση με το προφίλ παραβολικής ταχύτητας

Σε αυτή την ενότητα θα αποδείξουμε ότι ο σχηματισμός του προφίλ παραβολικής ταχύτητας απαιτεί την ίδια ενέργεια με τον σχηματισμό της σταθερής ροής εκκίνησης από την οποία προκύπτει. Για το σκοπό αυτό υπολογίζουμε την κινητική ισχύ με την οποία το ρευστό ρέει διαμέσου της διατομής του σωλήνα (κινητική ενέργεια ανά μονάδα χρόνου).

Θεωρούμε δακτύλιο με ακτίνα r από το κέντρο του σωλήνα και με πάχος dr. Μέσα στο χρόνο dt το ρευστό ρέει με την ταχύτητα v(r) στην επιφάνεια dA=2π⋅r⋅dr. Το ρευστό καλύπτει την απόσταση dl=v(r)⋅dt. Έτσι, για τη μάζα dm που διαρρέει την επιφάνεια του δακτυλίου, ισχύει ο ακόλουθος τύπος:

\αρχή{στοίχιση}
&\text{d}m =\text{d}V \cdot \rho =\text{d}A\cdot \text{d}l \cdot \rho=2\pi r\cdot\text{d}r \cdot v(r)\cdot \text{d}t \cdot \rho\\[5x]
\end{align}

Εικόνα:Παραγωγή της κινητικής ισχύος της ροής Poiseuille

Έτσι, εντός του χρόνου dt, η παρακάτω δεδομένη ποσότητα ενέργειας dWkin ρέει μέσω της επιφάνειας του δακτυλίου, από την οποία η ισχύς μπορεί να υπολογιστεί ως ενέργεια ανά μονάδα χρόνου dPkin:

\αρχή{στοίχιση}
&W_\text{kin}=\frac{1}{2} \text{d}m~ v^2(r)=\pi\rho r\cdot v^3(r)\cdot \text{d}r ~\text{d}t \\[5px]
&\text{d}P_\text{kin}=\frac{W_\text{kin}}{\text{d}t} =\pi\rho r\cdot v^3(r)\cdot \text{d}r\\[5px]
\end{align}

Η κινητική ισχύς σε ολόκληρη τη διατομή του σωλήνα τελικά προκύπτει με την ολοκλήρωση αυτής της εξίσωσης εντός των ορίων μεταξύ r=0 και r=R:

\αρχή{στοίχιση}
&\underline{P_\text{kin}=\pi\rho ~\int\limits_0^R r\cdot v^3(r)\cdot \text{d}r}\\[5px]
\end{align}

Στην είσοδο του σωλήνα, η ταχύτητα είναι σταθερή σε όλη τη διατομή (χωρίς συνάρτηση ακτίνας). Λόγω της διατήρησης της μάζας, αυτή η ταχύτητα αντιστοιχεί στη μέση ταχύτητα ροής γ της ροής Poiseuille. Έτσι, για ένα προφίλ ταχύτητας με v(r)=c, που είναι σταθερό σε ολόκληρη τη διατομή, ο ακόλουθος τύπος ισχύει για την κινητική ισχύ:

\αρχή{στοίχιση}
&P_\text{kin,1}=\pi\rho~c^3~\int\limits_0^R r \cdot \text{d}r =\pi\rho~\left\vert \frac{1}{2}r^2 \right\vert_0^R \\[5px]
&\boxed{P_\text{kin,1}=\frac{1}{2}\pi\rho~R^2~c^3} \\[5px]
\end{align}

Αυτή η κινητική ισχύς αντιστοιχεί στην ισχύ που μετράται άμεσα στην αρχή του μήκους εκκίνησης. Τώρα προσδιορίζουμε την κινητική ισχύ με το προφίλ παραβολικής ροής, δηλαδή την ισχύ μετά το μήκος εκκίνησης. Σε αυτήν την περίπτωση η ταχύτητα είναι συνάρτηση της ακτίνας σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{vrr}), η οποία οδηγεί στην ακόλουθη κινητική ισχύ:

\αρχή{στοίχιση}
P_\text{kin,2}&=\pi\rho~~\int\limits_0^R r~\overbrace{v^3_\text{max} \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]^3}^{v^3(r)}~ \cdot \left[1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right]^3}^{v^3(r)}~ \cdot \left[1-\left
&=\pi\rho~v^3_\text{max} ~\int\limits_0^R \left(r-\frac{3r^3}{R^2}+\frac{3r^5}{R^4} -\frac{r^7}{R^6} \right) \cdot \text{d}r \\[5x]
&=\pi\rho~v^3_\text{max}\left\vert \frac{r^2}{2}-\frac{3r^4}{4R^2}+\frac{3r^6}{6R^4} -\frac{r^8}{8R^6} \right\vert_0^R \\[5px]
&=\frac{1}{8}\pi\rho~R^2~v^3_\text{max} \\[5px]
\end{align}

Δεδομένου ότι η μέγιστη ταχύτητα ροής vmax σύμφωνα με την εξίσωση (\ref{vmax}) είναι διπλάσια από τη μέση ταχύτητα ροής c, προκύπτει η ακόλουθη κινητική ισχύς:

\αρχή{στοίχιση}
&P_\text{kin,2}=\frac{1}{8}\pi\rho~R^2~(2c)^3\\[5px]
&\boxed{P_\text{kin,2}=\pi\rho~R^2~c^3} \\[5px]
\end{align}

Η κινητική ισχύς μετά το σχηματισμό του προφίλ παραβολικής ταχύτητας είναι επομένως διπλάσια από πριν. Προφανώς, για να σχηματιστεί το προφίλ της παραβολικής ταχύτητας, πρέπει να δοθεί στη ροή η ίδια ποσότητα ενέργειας (ανά μονάδα χρόνου) που ήταν προηγουμένως απαραίτητη για να ληφθεί η σταθερή ταχύτητα εισόδου.

Για να το θέσω απλά, οι βραχείς σωλήνες δεν έχουν ένα προφίλ παραβολικής ταχύτητας, επειδή η ενέργεια που απαιτείται για αυτό δεν μπορεί να εφαρμοστεί εντός του σχετικά σύντομου χρόνου που το ρευστό ρέει μέσω του σωλήνα. Επομένως, με την αύξηση της ταχύτητας ροής (αυξάνοντας τον αριθμό Reynolds) το ελάχιστο απαιτούμενο μήκος σωλήνα αυξάνεται.