Απόσταση μεταξύ δύο σημείων

Η απόσταση είναι μια σημαντική παράμετρος που χρησιμοποιείται στην καθημερινή ζωή. Μπορούμε εύκολα να πούμε πόσο μακριά βρίσκονται δύο αντικείμενα μετρώντας την απόστασή τους. Απόσταση είναι το μήκος της ευθείας που ενώνει τα δύο σημεία που δίνονται στο διάστημα.

Με τη βοήθεια της "απόστασης" τύπος», μπορούμε εύκολα να υπολογίσουμε την απόσταση μεταξύ δύο καλά καθορισμένων σημείων σε ένα συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων. Ο τύπος της απόστασης είναι μια γενική έκφραση με τη βοήθεια της οποίας μπορούμε να υπολογίσουμε το μήκος μιας ευθείας που ενώνει δύο σημεία:P(a1,b1) και Q(a2,b2) (δηλαδή την απόσταση μεταξύ P και Q).

Πώς να ορίσετε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων;

Μπορούμε να ορίσουμε την απόσταση μεταξύ δύο σημεία, ας πούμε P και Q, ως το μήκος μιας ευθείας γραμμής που ενώνει τα σημεία P και Q. Η απόσταση ορίζεται επίσης ως το μέγεθος του διανύσματος διαχωρισμού των σημείων P και Q που ορίζεται για ένα συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων. Έτσι, αν γνωρίζουμε τα διανύσματα θέσης ή τις συντεταγμένες δύο σημείων, μπορούμε να υπολογίσουμε την απόσταση μεταξύ τους.

Τύπος για τον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ δύο σημείων  

1. Δισδιάστατα καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων

Ας εξετάσουμε μια συγκεκριμένη καρτεσιανή συντεταγμένη σύστημα με το Ο(0,0) ως αρχή. Έστω P(a1,b1) και Q(a2,b2) τα δύο σημεία που χωρίζονται από την απόσταση D, τότε το D δίνεται ως 

D=(a1-a2) 2+(b1-b2)2

2. Επίπεδο πολικό σύστημα συντεταγμένων

Αν θεωρήσουμε δύο σημεία P( r1,𝚹1) και Q(r2,𝚹2), τότε η απόσταση (D) μεταξύ P και Q δίνεται ως:  

D=r12+r22-2r1r2cos (𝚹1-𝚹2)

3. Τρισδιάστατο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

           Σε τρισδιάστατο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων , αν δίνονται δύο σημεία E(a1,b1,c1) και F(a2,b2,c      ), τότε η απόσταση D μεταξύ τους δίνεται ως: 

D=(a1-a2) 2+(b1-b2)2+(c1-c2)2

Τύπος Παραγωγής Απόστασης 

4. Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων

Σκεφτείτε μια δισδιάστατη καρτεσιανή συντεταγμένη Σύστημα. Έστω O(0,0) η αρχή. Θεωρήστε δύο σημεία P(a1,b1) και Q(a2,b2).

Όπως φαίνεται στο διάγραμμα, Σημείο Το R θα έχει τις συντεταγμένες (a1,b2). Θέλουμε να υπολογίσουμε το μήκος του τμήματος PQ.

Σκεφτείτε το ορθογώνιο τρίγωνο PRQ . Σύμφωνα με το θεώρημα του Πυθαγόρα: 

|PQ|2=|PR |2+|RQ|2 ……………….(1)

Από το διάγραμμα: 

|PR|=|b1- b2| και |RQ|=|a1-a2|

Αντικατάσταση των τιμών του |PR| και |RQ| στην εξίσωση (1), παίρνουμε:

D2=(b1-b2) 2+(a1-a2)2

∴ D=(b1-b2 )2+(a1-a2)2

Αυτός είναι ο απαιτούμενος τύπος απόστασης.

Καθ. Υπολογίστε την απόσταση μεταξύ των σημείων E(2,4) και F(-1,7).

Απ. Τα σημεία Ε και ΣΤ δίνονται σε καρτεσιανές συντεταγμένες. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (2), μπορούμε να γράψουμε:

 D=(b1-b2) 2+(a1-a2)2

 D=(4-7) 2+(2-(-1))2

 D=(-3)2 +(3)2=9+9=18 μονάδες

Αυτή είναι η απόσταση μεταξύ των σημείων E και F

  5. Επίπεδες πολικές συντεταγμένες 

Θεωρήστε το επίπεδο πολικό σύστημα συντεταγμένων ως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. Έστω O(0,0) η αρχή. Ας εξετάσουμε τα δύο σημεία, L(r1,𝚹1) και M(r2,𝚹2), όπως φαίνεται στο διάγραμμα.

Η ακτινική απόσταση του σημείου L από η αρχή είναι R1 και η γωνία που δημιουργείται με τον άξονα x είναι 𝚹1

Η ακτινική απόσταση του σημείου M από η αρχή είναι R2 και η γωνία που δημιουργείται με τον άξονα x είναι 𝚹2

Η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων θέσης του Το L και το M είναι (𝚹1-𝚹2).

Θέλουμε να βρούμε το μήκος του τμήμα LM. Έστω το μήκος του LM ίσο με το R.

Σύμφωνα με το νόμο του συνημιτόνου, μπορούμε να γράψουμε:

R2=R12+R22-2R1R2cos (𝚹1-𝚹2)

∴ R=R12+R22- 2R1R2cos(𝚹1-𝚹2) …………….(2)

Μπορούμε να υπολογίσουμε την απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημεία στις πολικές συντεταγμένες του επιπέδου με τη βοήθεια της εξίσωσης (2).

Καθ. Υπολογίστε την απόσταση μεταξύ των σημείων E(5,𝛑/3) και F(10,𝛑/6).

Απ. Τα σημεία E και F δίνονται σε επίπεδες πολικές συντεταγμένες. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (2), μπορούμε να γράψουμε.

 R=52+102-2 (5)(10)cos(𝛑/6-𝛑/3)

 R=25+100-100cos (-𝛑/6)

 R=125-86,60=38,4 =6,20 μονάδες

Αυτή είναι η απόσταση μεταξύ των σημείων E και F.

Ιδιότητες της απόστασης μεταξύ δύο σημείων

1. Η απόσταση είναι μια κλιμακωτή ποσότητα, ενώ η μετατόπιση είναι μια διανυσματική ποσότητα. Απόσταση είναι το μέγεθος του διανύσματος μετατόπισης που ενώνει δύο σημεία.

2. Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με το μηδέν.

3. Αν η απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι μηδέν, τα δύο σημεία συμπίπτουν (τότε είναι το ίδιο σημείο, δηλαδή (a1,b1)=(a2,b2)).

4. Η απόσταση δεν μπορεί να είναι αρνητική.

5. Η απόσταση δεν μπορεί να είναι μιγαδικός αριθμός.

6. Οι φυσικές μονάδες μέτρησης αποστάσεων είναι γενικά μέτρα, πόδια, ίντσες, γιάρδες, παρσεκ, ναυτικά μίλια, μίλια κ.λπ.