Πρώτοι αριθμοί και υλικά που μοιάζουν με κρύσταλλο μοιράζονται έναν κρυφό οργανισμό

Όπως αποδεικνύεται, οι πρώτοι αριθμοί και οι κρύσταλλοι έχουν πολλά κοινά. Μια νέα ανάλυση από ερευνητές στο Πανεπιστήμιο του Πρίνστον προτείνει ότι η διαμορφωμένη κατανομή των πρώτων αριθμών στην αριθμητική γραμμή είναι εντυπωσιακά παρόμοια με τα μοτίβα που βρίσκονται στην ατομική δομή ορισμένων υλικών που μοιάζουν με κρυστάλλους. Με απλά λόγια, η ακολουθία των πρώτων σε μεγάλες εκτάσεις της αριθμητικής γραμμής εμφανίζει ιδιότητες εντυπωσιακά παρόμοιες με την ακολουθία που προκύπτει από τις αστραφτερές ακτίνες Χ σε ένα αντικείμενο για να αποκαλύψει την εσωτερική του ατομική δομή.

Η μελέτη, που δημοσιεύτηκε στο The Journal of Statistical Mechanics, δείχνει ότι η οργάνωση των πρώτων έχει μια εντυπωσιακή ομοιότητα με την ατομική οργάνωση που βρίσκεται στους οιονεί κρυστάλλους - παράξενα υλικά που μοιάζουν με κρύσταλλο με απεριοδική ατομική οργάνωση. Τόσο η οργάνωση των πρώτων αριθμών όσο και αυτή των οιονεί κρυστάλλων εμπίπτουν σε μια κατηγορία μοτίβων που είναι γνωστά ως «υπερομοιόμορφα». Οι πιθανές εφαρμογές αυτής της γνώσης είναι συναρπαστικές. Οι μαθηματικοί έχουν από καιρό αναζητήσει έναν αλγόριθμο που θα μπορούσε να προβλέψει τη θέση των πρώτων αριθμών στην αριθμητική γραμμή, αλλά δεν έχει βρεθεί ακόμη τέτοιος αλγόριθμος.

Σύμφωνα με τους ερευνητές, η γνώση που αποκτήθηκε από τη μελέτη θα μπορούσε να βοηθήσει στην επινόηση νέων μεθόδων για την πρόβλεψη πρώτων στην αριθμητική γραμμή. Είπε ο Salvatore Torquato, επικεφαλής ερευνητής στη μελέτη, «Υπάρχει πολύ περισσότερη τάξη στους πρώτους αριθμούς από ό,τι έχει ανακαλυφθεί στο παρελθόν»,

Πρώτοι αριθμοί, Οιονείκρυσταλλοι και Υπερομοιομορφία 

Οι πρώτοι αριθμοί είναι αριθμοί των οποίων οι μόνοι παράγοντες είναι ένας και οι ίδιοι. αριθμοί όπως 3, 7, 11 ή 2−1. Οι πολύ μεγάλοι πρώτοι αριθμοί είναι τα δομικά στοιχεία της σύγχρονης κρυπτογραφίας. Οι πρώτοι αριθμοί φαίνεται να κατανέμονται περισσότερο ή λιγότερο τυχαία στην αριθμητική γραμμή. Επί του παρόντος, δεν υπάρχει αλγόριθμος για τη δημιουργία πρώτων αριθμών, αλλά οι μαθηματικοί μπόρεσαν να προσδιορίσουν ορισμένα εξαιρετικά γενικά χαρακτηριστικά για την οργάνωσή τους. Όσο πιο μακριά προχωράτε στην αριθμητική γραμμή τόσο περισσότεροι πρώτοι αριθμοί απλώνονται. Επίσης, η πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγμένος αριθμός να είναι πρώτος αριθμός είναι αντιστρόφως ανάλογη με τον αριθμό των ψηφίων σε αυτόν τον αριθμό.

Ο Torquato, ένας επαγγελματικά εκπαιδευμένος χημικός, είναι εξοικειωμένος με την κρυσταλλογραφία ακτίνων Χ, τη διαδικασία της λάμψης ακτίνων Χ μέσω ενός αντικειμένου για τη χαρτογράφηση της ατομικής του δομής σε 3 διαστάσεις. Για διατεταγμένους και περιοδικούς κρυστάλλους, όπως τα διαμάντια ή ο χαλαζίας, η κρυσταλλογραφία έχει ως αποτέλεσμα ένα προβλέψιμο μοτίβο φωτεινών σημείων, γνωστών ως κορυφές Bragg. Οι οιονεί κρύσταλλοι στερούνται την περιοδική δομή των κανονικών κρυστάλλων και έτσι, σε σύγκριση με τους κανονικούς κρυστάλλους, οι οιονεί κρύσταλλοι εμφανίζουν ένα ξεχωριστό και πολύπλοκο μοτίβο κορυφών Bragg.

Σε μια προηγούμενη μελέτη που δημοσιεύθηκε τον Φεβρουάριο, η ομάδα χρησιμοποίησε ισχυρές προσομοιώσεις υπολογιστή για να δείξει τι θα συνέβαινε εάν οι πρώτοι αριθμοί αντιμετωπιστούν σαν άτομα διατεταγμένα σε ένα πλέγμα που υποβάλλονται σε ακτίνες Χ. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι οι κρύσταλλοι πρώτης τάξης έδειξαν ένα μοτίβο κορυφής Bragg πολύ παρόμοιο με αυτό ενός οιονεί κρυστάλλου και ένα άλλο είδος συστήματος που ονομάζεται «περιοδική τάξη ορίου». Η παρούσα εργασία έχει σκοπό να προσφέρει μια θεωρητική εξήγηση για τα αριθμητικά αποτελέσματα του προηγούμενου πειράματος.

Όλοι αυτοί οι οργανισμοί εμπίπτουν σε μια κατηγορία μοτίβων που είναι γνωστά ως «υπερομοιόμορφα» υλικά. Ένα υπερομοιόμορφο υλικό (μερικές φορές αποκαλούμενο «υπερομογενές») είναι αυτό που φαίνεται να μην παρουσιάζει εμφανή σειρά, αλλά παίρνει μια ειδική οργανωτική δομή σε μεγάλη κλίμακα. Αν και μπορεί να ακούγεται αντιφατικό, θα μπορούσε κανείς να πει ότι ένα υπερομοιόμορφο υλικό είναι ένα «διατεταγμένο χάος» — τα κομμάτια φαίνονται τυχαία διατεταγμένα σε μικρές κλίμακες, αλλά υπάρχει μια τάξη στην τρέλα από την οπτική γωνία ενός πουλιού.

Από τη γένεση της έννοιας της υπερομοιομορφίας στις αρχές της δεκαετίας του 2000, έχουν βρεθεί υπερομοιόμορφα μοτίβα οργάνωσης σε όλη τη φύση, συμπεριλαμβανομένων στα μάτια των κοτόπουλων, οιονεί κρυστάλλων, κατανομές τυχαίων αριθμών, κβαντικά σύνολα σωματιδίων, ακόμη και η δομή μεγάλης κλίμακας του σύμπαντος. Όπως η ακολουθία Fibonacci, τα μαθηματικά μοτίβα υπερομοιομορφίας βρίσκονται σε όλη τη φύση και η απροσδόκητη ανακάλυψή τους σχεδόν πάντα εκπλήσσει τους επιστήμονες.

Σε αυτήν την περίπτωση, το μοτίβο που βρήκαν το Torquato και οι κοόρτες στους πρώτους αριθμούς είναι παρόμοιο με αυτό στους οιονεί κρυστάλλους και άλλα συστήματα σειράς οριακής περιόδου, αλλά αρκετά διαφορετικό ώστε του έδωσαν το όνομα «ουσιαστικά οριακή τάξη». Οι πρώτοι εμφανίζονται σε «αυτοπαρόμοιες» ομαδοποιήσεις, που σημαίνει ότι μεταξύ κορυφών ίσου ύψους υπάρχουν ομάδες μικρότερων κορυφών.

Σύνδεσμοι στα Μαθηματικά

Όλα αυτά σημαίνει ότι η μελέτη υποδηλώνει ότι οι ίδιοι μαθηματικοί κανόνες αποτελούν τη βάση τόσο της κατανομής των πρώτων στην αριθμητική γραμμή όσο και στην τρισδιάστατη ατομική δομή ορισμένων υλικών. Συχνά συμβαίνει ότι οι μαθηματικές έννοιες που έχουν τελειοποιηθεί σε έναν τομέα είναι απροσδόκητα εφαρμόσιμες σε έναν άλλο τομέα. Ήταν σίγουρα μια έκπληξη για τους φυσικούς των αρχών του 20ου αιώνα όταν ανακάλυψαν ότι οι μη Ευκλείδειες γεωμετρίες, την εποχή εκείνη απλώς μια ενδιαφέρουσα μαθηματική περιέργεια, ήταν εφαρμόσιμες ως μοντέλα της γενικής σχετικότητας. Ομοίως, οι πρώτοι πρωτοπόροι της κβαντικής μηχανικής εξεπλάγησαν όταν αποδείχθηκε ότι η άλγεβρα πινάκων είχε πράγματι εφαρμογή στην πρώιμη κβαντική θεωρία. Για άλλη μια φορά, βλέπουμε μια συγκεκριμένη μαθηματική έννοια, αυτή της υπερομοιομορφίας, να στηρίζεται σε δύο φαινομενικά άσχετους τομείς — τις επιστήμες των υλικών και τη θεωρία αριθμών.

Τα αποτελέσματα της ανάλυσης του Torquato και των συναδέλφων του είναι συναρπαστικά για την επιστημονική κοινότητα. Σύμφωνα με τον Henry Cohn, ερευνητή της Microsoft που δεν συμμετείχε στη μελέτη, «Αυτό που είναι συναρπαστικό σε αυτό το έγγραφο είναι ότι μας δίνει μια διαφορετική οπτική για τους πρώτους:αντί να τους βλέπουμε ως αριθμούς, μπορούμε να τους δούμε ως σωματίδια και να προσπαθήσουμε να χαρτογραφήσει τη δομή τους μέσω περίθλασης ακτίνων Χ.»

Πιστεύεται ότι οι νέες πληροφορίες θα μπορούσαν να οδηγήσουν πολύ στη δημιουργία αλγορίθμων για τη δημιουργία πρώτων αριθμών, οι οποίοι θα μπορούσαν να αλλάξουν ολόκληρη την όψη των μαθηματικών όπως τα ξέρουμε.

Κατά κάποιο τρόπο, η νέα μελέτη αντιστρέφει κάπως την παραδοσιακή κατανόηση της σχέσης μεταξύ των μαθηματικών και της επιστήμης. Γενικά, οι επιστήμονες χρησιμοποιούν τα μαθηματικά για να κάνουν προβλέψεις σχετικά με τον φυσικό κόσμο, αλλά τώρα φαίνεται ότι ίσως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον φυσικό κόσμο για να κάνουμε προβλέψεις για τα μαθηματικά! Ο Galileo Galilei πιστώνεται συχνά ότι είπε ότι το βιβλίο του σύμπαντος είναι γραμμένο στη γλώσσα των μαθηματικών και οι χαρακτήρες του είναι τρίγωνα, κύκλοι και άλλα γεωμετρικά σχήματα. Φαίνεται ότι αυτό το μάθημα είναι αληθινό, ακόμη και 400 χρόνια αργότερα.