Ο τύπος για την εργασία:εξίσωση φυσικής με παραδείγματα

Στη φυσική, λέμε ότι μια δύναμη λειτουργεί  εάν η εφαρμογή της δύναμης μετατοπίζει ένα αντικείμενο προς την κατεύθυνση της δύναμης. Με άλλα λόγια, το έργο ισοδυναμεί με την εφαρμογή δύναμης σε απόσταση. Η ποσότητα εργασίας που κάνει μια δύναμη είναι ευθέως ανάλογη με το πόσο μακριά αυτή η δύναμη μετακινεί ένα αντικείμενο. Ο γενικός τύπος για την εργασία και για τον προσδιορισμό του όγκου της εργασίας που γίνεται σε ένα αντικείμενο είναι:

• W = F × D  × cos(Θ)

όπου W  είναι ο όγκος της εργασίας, F είναι το διάνυσμα της δύναμης,  D είναι το μέγεθος της μετατόπισης και Θ είναι η γωνία μεταξύ του διανύσματος δύναμης και του διανύσματος μετατόπισης. Η μονάδα SI για εργασία είναι το joule  (J ), και οι διαστάσεις του είναι kg•m/s . Ένας άλλος τρόπος για να το καταλάβουμε είναι ότι ένα τζάουλ είναι ισοδύναμο με την ποσότητα ενέργειας που μεταφέρεται όταν ένα Newton δύναμης μετακινεί ένα αντικείμενο σε απόσταση ενός μέτρου.

Τύπος για εργασία

Κάθε φορά που μια δύναμη κινεί ένα αντικείμενο, λέμε ότι έχει γίνει δουλειά. Όταν μια μπάλα κυλήσει κάτω από ένα λόφο λόγω της δύναμης της βαρύτητας, όταν σηκώνετε το σακίδιο από το έδαφος, όταν ο εσωτερικός κινητήρας του αυτοκινήτου σας ασκεί μια δύναμη για να κάνει τους τροχούς σας να κινηθούν. Όλα αυτά τα γεγονότα περιλαμβάνουν μια δύναμη που κινεί ένα αντικείμενο σε απόσταση και επομένως απαιτούν κάποια εργασία. Στις περιπτώσεις που ασκείται δύναμη σε ένα αντικείμενο αλλά δεν το μετακινεί, δεν έχει γίνει καμία εργασία. Έτσι, η δύναμη από ένα άτομο που σπρώχνει την πλευρά ενός ουρανοξύστη δεν κάνει καμία δουλειά καθώς ο ουρανοξύστης δεν κινείται. Ας εξετάσουμε μερικά απλά παραδείγματα για να επεξηγήσουμε την έννοια της εργασίας.

Παράδειγμα προβλημάτων

(1)

Μια δύναμη 100 Newton εφαρμόζεται σε ένα κουτί 15 κιλών στην οριζόντια κατεύθυνση και το μετακινεί 5 μέτρα οριζόντια. Πόση δουλειά έγινε;

Σε αυτήν την περίπτωση, γνωρίζουμε ότι η δύναμη είναι 100 N και η απόσταση είναι 5 μέτρα. Γνωρίζουμε επίσης ότι εφόσον η δύναμη εφαρμόζεται στην ίδια κατεύθυνση με τη μετατόπιση, Θ ισούται με 0. Έτσι, συνδέουμε αυτές τις τιμές στην εξίσωσή μας

• W = F × D  × cos(Θ)

και λάβετε:

• W =  100(5)cos(0)= 500 J

Έτσι, η δύναμη των 100 N έκανε 500 joule μετακινήστε το μπλοκ 5 μέτρα.

(2)

Υπάρχει ένα βιβλίο 2 κιλών ξαπλωμένο σε ένα τραπέζι. Μια δύναμη 64 N εφαρμόζεται στο βιβλίο σε γωνία 120° από οριζόντια και μετακινεί το βιβλίο κατά 3 μέτρα στην οριζόντια κατεύθυνση. Πόση δουλειά έγινε;

Σε αυτή την περίπτωση, γνωρίζουμε τη δύναμη των 64 N και την απόσταση των 3 m. Γνωρίζουμε επίσης ότι υπάρχει γωνία 120° μεταξύ της γωνίας της διεύθυνσης της ασκούμενης δύναμης και της κατεύθυνσης της κίνησης. Επομένως, η σύνδεση αυτών των τιμών στη χρήσιμη εξίσωσή μας αποφέρει:

• W =  64(3)cos(120)= 156,32 Joules

Έτσι η δύναμη 64 N σε γωνία 120° ήταν 156,32 τζάουλ  της εργασίας μετακινώντας το βιβλίο 3 μέτρα.

(3)

Η Linda παίρνει μια βαλίτσα 300 N ανεβαίνοντας 3 σκαλοπάτια για μια συνολική κάθετη απόσταση 16 μέτρων. Στη συνέχεια σπρώχνει τη βαλίτσα με δύναμη 100 N τα υπόλοιπα 8 μέτρα στο δωμάτιο του ξενοδοχείου της. Πόση δουλειά έγινε σε όλο το ταξίδι της;

Αυτή η ερώτηση απαιτεί 2 ξεχωριστά βήματα. Υπάρχουν δύο κύρια μέρη του ταξιδιού της, επομένως μπορούμε να υπολογίσουμε την εργασία που έχει γίνει σε κάθε μερίδα ξεχωριστά και, στη συνέχεια, να συνδυάσουμε τις δύο τιμές για να λάβουμε το συνολικό ποσό της εργασίας που έχει γίνει. Για το πρώτο μέρος του ταξιδιού της, ασκεί δύναμη 300 N για να μετακινήσει μια βαλίτσα 16 μέτρα κατακόρυφα, οπότε η ποσότητα της δουλειάς που έχει γίνει είναι:

• W₁ = 300(16)cos(0)=4800 Joules

Έτσι το πρώτο μέρος του ταξιδιού έκανε 4800 τζάουλ. Για το δεύτερο μέρος, γνωρίζουμε ότι μια δύναμη 100N κίνησε τη βαλίτσα οριζόντια κατά 8 μέτρα, επομένως η συνολική εργασία που έγινε στο δεύτερο μέρος του ταξιδιού είναι:

• W₂ =100(8)cos(0)=800 Joules

Ο συνδυασμός των δύο τιμών από κάθε τμήμα του ταξιδιού αποδίδει:

• W _σύνολο = W ₁ +W ₂ =4800+800= 5600 Joules

Έτσι, σε όλη τη διάρκεια του ταξιδιού της Linda, 5600 Joules ολοκληρώθηκε η εργασία.

Σχέση εργασίας/ενέργειας

Η εργασία και η ενέργεια στη φυσική μοιράζονται μια στενή σχέση. Σύμφωνα με την αρχή του έργου-ενέργειας, μια αύξηση της κινητικής ενέργειας ενός άκαμπτου σώματος προκαλείται από ίση ποσότητα εργασίας που γίνεται σε αυτό το σώμα από μια δύναμη που εφαρμόζεται σε αυτό το σώμα. Με πιο μαθηματικούς όρους, η σχέση μπορεί να εκφραστεί ως:

• W =  KE_{τελικός} −KE_αρχικό

όπου το KE σημαίνει κινητική ενέργεια. Με άλλα λόγια, η μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός σώματος είναι ίση με την ποσότητα εργασίας που γίνεται σε αυτό το σώμα. Γενικά, ο τύπος για την κινητική ενέργεια ενός αντικειμένου είναι:

• KE =(1/2) kg*v

όπου v αντιπροσωπεύει την ταχύτητα ενός αντικειμένου. Η μονάδα για την κινητική ενέργεια είναι η ίδια μονάδα εργασίας, το τζάουλ. Ας δούμε μερικά προβλήματα για να εξετάσουμε αυτές τις μαθηματικές σχέσεις.

 (4)

Ο Donkey και ο Diddy Kong κάθονται σε ένα καρότσι 90 κιλών που ταξιδεύει αρχικά οριζόντια με ταχύτητα 5 m/s. Ο Ράμπι ο ρινόκερος σπρώχνει το καρότσι μου από πίσω και το επιταχύνει, ώστε τώρα να ταξιδεύει με 11 m/s. Πόση δουλειά έκανε ο Ράμπι στο καρότσι;

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε την αρχική κινητική ενέργεια του καροτσιού και την τελική κινητική του ενέργεια. Μόλις μάθουμε αυτές τις τιμές, μπορούμε να προσδιορίσουμε τη συνολική ποσότητα εργασίας. Γνωρίζουμε τόσο την ταχύτητα όσο και τη μάζα του καροτσιού, ώστε να μπορούμε να προσδιορίσουμε τη συνολική κινητική ενέργεια στην αρχή και στο τέλος. Η αρχική κινητική ενέργεια του καροτσιού είναι:

• KE_αρχικό =(1/2)(90)(5)= 1125 J

Η τελική κινητική ενέργεια του minecart είναι

• KE_{τελικός} =(1/2)(90)(11)=5445 J

Επομένως, ο συνολικός όγκος εργασίας που έχει γίνει στο minecart είναι 5545−1125= 4420 J .

(5)

Ένα αυτοκίνητο βάρους 1300 kg κινείται με ταχύτητα 18 m/s. Εάν γίνουν 60000 τζάουλ εργασίας στο αυτοκίνητο, ποια θα είναι η τελική του ταχύτητα;

Η ερώτηση θα απαιτήσει λίγη άλγεβρα. Αρχικά, πρέπει να προσδιορίσουμε την αρχική κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου. Η αρχική κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου είναι:

• (1/2)(1300)(18)=210600 J

Εφόσον γνωρίζουμε τη συνολική ποσότητα εργασίας που έχει γίνει στο σύστημα (60000 J), μπορούμε να υπολογίσουμε την τελική κινητική ενέργεια του αυτοκινήτου:

• 60000=KE_{τελικός} −210600
• 270600=KE_{τελικός}

Τώρα, αφού γνωρίζουμε την τελική κινητική ενέργεια και τη μάζα του αυτοκινήτου, μπορούμε να προσδιορίσουμε την τελική του ταχύτητα ως εξής

• KE_{τελικός} =(1/2)kg*v
• 270600 =(1/2)(1300)v
• 270600 =650v
• 416,3 = v
• v = 20,4 m/s

Η τελική ταχύτητα του αυτοκινήτου θα είναι 20,4 μ/δ .

Άρα αθροιστικά, λέμε ότι η εργασία γίνεται κάθε φορά που μια δύναμη μετακινεί ένα αντικείμενο σε απόσταση. Το μέγεθος του έργου είναι ίσο με το μέγεθος της δύναμης πολλαπλασιασμένο με την απόσταση που διανύθηκε. Η εργασία και η κινητική ενέργεια είναι στενά αλληλένδετες και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό η μία της άλλης.