Πώς να βρείτε κάθετες ασύμπτωτες

Στα μαθηματικά, ασύμπτωτο μιας συνάρτησης είναι μια ευθεία στην οποία μια συνάρτηση πλησιάζει απειροελάχιστα, αλλά δεν φτάνει ποτέ. Με πιο ακριβείς μαθηματικούς όρους, η ασύμπτωτη μιας καμπύλης μπορεί να οριστεί ως η γραμμή τέτοια ώστε η απόσταση μεταξύ της γραμμής και της καμπύλης να πλησιάζει το 0, καθώς μία ή και οι δύο από τις συντεταγμένες x και y της καμπύλης τείνει προς το άπειρο. Με άλλα λόγια, μια ασύμπτωτη είναι μια γραμμή σε ένα γράφημα στην οποία μια συνάρτηση θα πλησιάζει για πάντα όλο και πιο κοντά, αλλά ποτέ δεν θα φτάνει στην πραγματικότητα.

Υπάρχουν τρία κύρια είδη ασυμπτωμάτων. κάθετη, οριζόντια και λοξή. καθένα ορίζεται με βάση τον προσανατολισμό του ως προς το επίπεδο συντεταγμένων. Οι κατακόρυφες ασύμπτωτες είναι η πιο κοινή και ευκολότερη στον προσδιορισμό ασύμπτωτο. Μια κατακόρυφη ασύμπτωτη είναι ισοδύναμη με μια γραμμή που έχει απροσδιόριστη κλίση. Εν ολίγοις, η κατακόρυφη ασύμπτωτη μιας ορθολογικής συνάρτησης βρίσκεται στην τιμή x που ορίζει τον παρονομαστή αυτής της ορθολογικής συνάρτησης σε 0. Μια ορθολογική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που εκφράζεται ως το πηλίκο δύο πολυωνυμικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, ένα γράφημα της ορθολογικής συνάρτησης ƒ(x ) =1/x ² μοιάζει με:

Η ρύθμιση x ίση με 0 ορίζει τον παρονομαστή στην ορθολογική συνάρτηση ƒ(x ) =1/x ² έως 0. Επομένως, αυτή η συνάρτηση έχει μια κατακόρυφη ασύμπτωτη που βρίσκεται στη γραμμή x=0. Οι κάθετες ασύμπτωτες είναι μοναδικές στο ότι ένα μεμονωμένο γράφημα μπορεί να έχει πολλαπλές κάθετες ασύμπτωτες. Αντίθετα, ένα γράφημα μπορεί να έχει το πολύ μία οριζόντια ή μία λοξή ασύμπτωτη.

Η έννοια μιας ασύμπτωτης

Αρχικά, η έννοια της ασύμπτωτης φαίνεται να έρχεται σε αντίθεση με την καθημερινή μας εμπειρία. Οι φυσικές αναπαραστάσεις μιας καμπύλης σε ένα γράφημα, όπως γραμμές σε ένα κομμάτι χαρτί ή εικονοστοιχεία σε μια οθόνη υπολογιστή, έχουν πεπερασμένο πλάτος. Επεκτείνοντας αυτές τις γραμμές αρκετά μακριά, η καμπύλη φαίνεται να συναντά την ασυμπτωτική γραμμή τελικά, ή τουλάχιστον όσο μπορεί να πει το όραμά μας. Πρέπει να έχουμε κατά νου ότι ένα γράφημα είναι μια φυσική αναπαράσταση εξιδανικευμένων μαθηματικών οντοτήτων. Μια εξιδανικευμένη γεωμετρική γραμμή έχει πλάτος 0, επομένως μια μαθηματική γραμμή μπορεί να πλησιάζει για πάντα ολοένα και πιο κοντά σε κάτι χωρίς να συμπίπτει ποτέ με αυτό.

Κατά κάποιο τρόπο, η έννοια της «αξίας που κάποια ποσότητα πλησιάζει αλλά δεν φτάνει ποτέ» μπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκει τις ρίζες της στα αρχαία ελληνικά παράδοξα σχετικά με την αλλαγή, την κίνηση και τη συνέχεια. Ιδού ένα διάσημο παράδειγμα, που έδωσε ο Ζήνων από την Ελαία:ο μεγάλος αθλητής Αχιλλέας τρέχει 100 μέτρα. Για να τρέξει 100 μέτρα πρέπει πρώτα να διανύσει τη μισή απόσταση, άρα τρέχει 50 μέτρα. Για να τρέξει τα υπόλοιπα 50 μέτρα, πρέπει πρώτα να διανύσει τη μισή απόσταση, δηλαδή τα 25 μέτρα. Για να καλύψει τα υπόλοιπα 25 μέτρα, πρέπει πρώτα να διανύσει τη μισή απόσταση, δηλαδή 12,5 μέτρα. Για να διασχίσει τα υπόλοιπα 12,5 μέτρα, πρέπει πρώτα να διασχίσει τη μισή απόσταση, άρα τα 6,25 μέτρα, και ούτω καθεξής και ούτω καθεξής.

Προέκταση αυτού του συλλογισμού ad infinitum μας οδηγεί στο αντιδιαισθητικό συμπέρασμα ότι ο Αχιλλέας δεν θα ποτέ περάσουν τη γραμμή του τερματισμού. Θα υπάρχει πάντα να είναι κάποια πεπερασμένη απόσταση που πρέπει να διασχίσει πρώτα, έτσι δεν θα φτάσει ποτέ πραγματικά στη γραμμή τερματισμού. Οι φιλόσοφοι και οι μαθηματικοί έχουν προβληματιστεί για τα παράδοξα του Ζήνωνα για αιώνες. Χωρίς να το γνωρίζει ο Ζήνων, τα παράδοξα κίνησης του πλησιάζουν πολύ στο να συλλάβουν τη σύγχρονη έννοια μιας μαθηματικής ασύμπτωτης.

Ορισμός μιας κατακόρυφης ασύμπτωτης

Οι πρώτοι επίσημοι ορισμοί μιας ασύμπτωτης προέκυψαν παράλληλα με την έννοια του ορίου στον λογισμό. Το όριο μιας συνάρτησης είναι η τιμή που προσεγγίζει μια συνάρτηση καθώς μια από τις παραμέτρους της τείνει στο άπειρο. Άρα, μια συνάρτηση έχει μια ασύμπτωτη ως κάποια τιμή, έτσι ώστε το όριο για την εξίσωση σε αυτήν την τιμή να είναι άπειρο.

Θα εξετάσουμε μόνο κάθετες ασύμπτωτες προς το παρόν, καθώς αυτές είναι οι πιο συνηθισμένες και πιο εύκολο να προσδιοριστούν. Ακολουθούν οι γενικές συνθήκες για να προσδιοριστεί εάν μια συνάρτηση έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη:μια συνάρτηση ƒ(x) έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη αν και μόνο εάν υπάρχει κάποια x=a τέτοια ώστε η έξοδος της συνάρτησης να αυξάνεται χωρίς όριο καθώς το x πλησιάζει το a . Δηλαδή, μια συνάρτηση έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη αν και μόνο αν υπάρχει κάποια x=a τέτοια ώστε το όριο της συνάρτησης στο a ισούται με το άπειρο.

Αυτή η τελευταία παράγραφος ήταν μια μπουκιά, οπότε ας δούμε ένα απλό παράδειγμα για να εμπλουτίσουμε αυτήν την ιδέα. Το παρακάτω είναι ένα γράφημα της συνάρτησης ƒ(x) =1/x:

Αυτή η συνάρτηση έχει τη μορφή αντίστροφης καμπύλης. Παρατηρήστε τη συμπεριφορά της συνάρτησης καθώς η τιμή του x πλησιάζει το 0 και από τις δύο πλευρές. Καθώς η τιμή x πλησιάζει όλο και περισσότερο στο 0, η συνάρτηση αρχίζει να αναπτύσσεται γρήγορα χωρίς όριο τόσο στη θετική όσο και στην αρνητική κατεύθυνση. Ας δούμε τι συμβαίνει όταν αρχίσουμε να συνδέουμε τιμές x που πλησιάζουν και πλησιάζουν το 0 στη συνάρτηση:

ƒ(1) =1/1 =1

ƒ(0,5) =1/0,5 =2

ƒ(0,25) =1/0,25 =4

ƒ(0,1) =1/0,1 =10

ƒ(0,01) =1/0,01 =100

ƒ(0,001) =1/0,001 =1000

ƒ(0,000001) =1/0,000001 =1.000.000

ƒ(0,00000001) =1/0,00000001 =100.000.000

Παρατηρήστε ότι καθώς το x πλησιάζει το 0, η έξοδος της συνάρτησης γίνεται αυθαίρετα μεγάλη στη θετική κατεύθυνση προς το άπειρο. Το πιο σημαντικό, η συνάρτηση δεν θα διασχίσει ποτέ τη γραμμή στο x=0, επειδή η συνάρτηση δεν έχει οριστεί για το ƒ(0) (το 1/0 δεν ορίζεται στην κανονική αριθμητική). Ομοίως, αν κάποιος πλησιάσει το 0 από τα αριστερά, οι τιμές είναι

ƒ(-0,5) =1/-0,5 =-2

ƒ(-0,25) =1/-0,25 =-4

ƒ(-0,1) =1/-0,1 =-10

ƒ(-0,01) =1/-0,01 =-100

ƒ(-0,001) =1/-0,001 =-1000

ƒ(-0,000001) =1/-0,000001 =-1.000.000

ƒ(-0,00000001) =1/-0,00000001 =-100.000.000

Καθώς το x πλησιάζει το 0 από τα αριστερά, η έξοδος της συνάρτησης μεγαλώνει αυθαίρετα στην αρνητική κατεύθυνση προς το αρνητικό άπειρο. Αυτή είναι μια ασύμπτωτη διπλής όψης, καθώς η συνάρτηση μεγαλώνει αυθαίρετα προς οποιαδήποτε κατεύθυνση όταν πλησιάζει η ασύμπτωτη από κάθε πλευρά. Ορισμένες συναρτήσεις προσεγγίζουν μια ασύμπτωτη μόνο από τη μία πλευρά.

Πώς να βρείτε μια κάθετη ασύμπτωτη

Η εύρεση μιας κατακόρυφης ασυμπτώτου μιας ορθολογικής συνάρτησης είναι σχετικά απλή. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να βρείτε μια τιμή x που ορίζει τον παρονομαστή της ορθολογικής συνάρτησης ίσο με 0. Ακολουθεί ένα απλό παράδειγμα:

Τι είναι μια κατακόρυφη ασύμπτωτη της συνάρτησης ƒ(x) =(x+4)/3(x-3);

Αυτό είναι απλό. Το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να βρούμε κάποια τιμή x που θα έκανε τον παρονομαστή tern 3(x-3) ίσο με 0. Η παρατήρηση μιας στιγμής μας λέει ότι η απάντηση είναι x= 3; η συνάρτηση ƒ(x) =(x+4)/3(x-3) έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη στο x=3.

Αντί για άμεσο υπολογισμό, μερικές φορές η γραφική παράσταση μιας ορθολογικής συνάρτησης μπορεί να είναι ένας χρήσιμος τρόπος για να προσδιοριστεί εάν αυτή η συνάρτηση έχει ασύμπτωτες. Ένα γράφημα για τη συνάρτηση ƒ(x) =(x+4)/(x-3) μοιάζει με:

Παρατηρήστε πώς καθώς το x πλησιάζει το 3 από αριστερά και δεξιά, η συνάρτηση αυξάνεται χωρίς όριο προς το αρνητικό άπειρο και το θετικό άπειρο, αντίστοιχα. Η απλή εξέταση ενός γραφήματος δεν είναι απόδειξη ότι μια συνάρτηση έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη, αλλά μπορεί να είναι ένα χρήσιμο σημείο για να ξεκινήσετε όταν αναζητάτε μια.

Περισσότερα προβλήματα με λύσεις

Ας δούμε μερικά ακόμη προβλήματα για να συνηθίσουμε στην εύρεση κάθετων ασυμπτωμάτων.

(1)

Ποια είναι η κατακόρυφη ασύμπτωτη της συνάρτησης ƒ(x) =(x+2)/(x²+2x−8);

Λύση:

Για άλλη μια φορά, πρέπει να βρούμε μια τιμή x που ορίζει τον όρο παρονομαστή ίσο με 0. Σε αυτήν την περίπτωση, ο όρος παρονομαστής είναι (x²+2x−8). Μπορούμε να βρούμε την τιμή x που ορίζει αυτόν τον όρο σε 0 με παραγοντοποίηση. Ο Factoring (x²+2x−8) μας δίνει:

(x²+2x−8) =(x+4)(x-2)

Αυτή η συνάρτηση έχει στην πραγματικότητα 2 x τιμές που ορίζουν τον όρο παρονομαστή ίσο με 0, x=-4 και x=2. Έτσι, η συνάρτηση ƒ(x) =(x+2)/(x²+2x−8) έχει 2 ασύμπτωτες, στο -4 και στο 2. Η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης μας δίνει:

Με τη γραφική παράσταση της εξίσωσης, μπορούμε να δούμε ότι η συνάρτηση έχει 2 κάθετες ασύμπτωτες, που βρίσκονται στις τιμές x -4 και 2.

(2)

Ποια είναι η ασύμπτωτη της συνάρτησης ƒ(x) =(x³−8)/(x²+9);

Λύση:

Για να το καταλάβουμε αυτό, πρέπει να ορίσουμε τον παρονομαστή ίσο με 0, οπότε:

x²+9 =0

x² =-9

Ωχ! Αυτή η εξίσωση δεν έχει λύση. Οποιοσδήποτε αριθμός στο τετράγωνο είναι πάντα μεγαλύτερος από το 0, επομένως, δεν υπάρχει τιμή του x έτσι ώστε το x² να είναι ίσο με -9. Επομένως, δεν υπάρχει τιμή x που να μπορεί να ορίσει τον παρονομαστή ίσο με 0, επομένως η συνάρτηση ƒ(x) =(x+2)/(x²+2x−8) δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες!

(3)

Τι είναι(είναι) η ασύμπτωτη(ες) της συνάρτησης ƒ(x) =x/(x²+5x+6);

Λύση:

Για άλλη μια φορά, μπορούμε να το λύσουμε συνυπολογίζοντας τον όρο του παρονομαστή για να βρούμε τις τιμές x που ορίζουν τον όρο ίσο με 0. Η παραγοντοποίηση του κάτω όρου x²+5x+6 μας δίνει:

x²+5x+6 =(x+2)(x+3)

Αυτό το πολυώνυμο έχει δύο τιμές που θα το ορίσουν ίσο με 0, x=-2 και x=-3. Έτσι, η συνάρτηση ƒ(x) =x/(x²+5x+6) έχει δύο κατακόρυφες ασύμπτωτες σε x=-2 και x=-3. Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης μας δίνει:

Καθώς αυτό το γράφημα πλησιάζει το -3 από τα αριστερά και το -2 από τα δεξιά, η συνάρτηση πλησιάζει το αρνητικό άπειρο. Καθώς πλησιάζει το -3 από τα δεξιά και το -2 από τα αριστερά, η συνάρτηση μεγαλώνει χωρίς περιορισμό προς το άπειρο. Η τοποθέτηση αυτών των δύο ασυμπτωμάτων κόβει το γράφημα σε τρία διακριτά μέρη.

Συνολικά, μια κατακόρυφη ασύμπτωτη είναι μια κατακόρυφη γραμμή που προσεγγίζει κάποια συνάρτηση καθώς μια από τις παραμέτρους της συνάρτησης τείνει προς το άπειρο. Μια συνάρτηση θα πλησιάζει για πάντα όλο και πιο κοντά σε μια ασύμπτωτη αλλά ποτέ δεν αγγίζει πραγματικά. Μια συνάρτηση έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη αν και μόνο αν υπάρχει κάποια x=a τέτοια ώστε το όριο μιας συνάρτησης καθώς πλησιάζει το a είναι θετικό ή αρνητικό άπειρο. Μπορεί κανείς να προσδιορίσει τις κατακόρυφες ασύμπτωτες της ορθολογικής συνάρτησης βρίσκοντας τις τιμές x που ορίζουν τον όρο παρονομαστή ίσο με 0.