Αποφυγή παγίδων σε περιοδικές τροχιές χαρτών με αποσπασματική προσέγγιση
Ο αριθμητικός υπολογισμός αναγνωρίζεται ευρέως ότι έχει μεγάλη σημασία σε πολλούς τομείς της επιστήμης. Πολλά συμπεράσματα στη μη γραμμική επιστήμη και σε πολύπλοκα συστήματα έχουν εξαχθεί μετά από προσομοίωση σε ψηφιακό υπολογιστή. Αν και αυτή η σημασία αναγνωρίζεται ευρέως, ο τρόπος λειτουργίας των υπολογιστών δεν είναι γενικά γνωστός λεπτομερώς.
Ας ξεκινήσουμε τη συζήτησή μας με το ακόλουθο παράδειγμα. Έστω η ακόλουθη εξίσωση, γνωστή ως λογιστικός χάρτης:
Η ιδέα πίσω από αυτή την εξίσωση είναι πολύ απλή. Ξεκινάμε μια προσομοίωση στο στάδιο k =0. Σε αυτό το στάδιο, έχουμε την αρχική μας συνθήκη. Ας υποθέσουμε ότι r =4, και 
Είναι εύκολο να υπολογίσουμε ότι στο επόμενο στάδιο, θα πάρουμε ¼. Μετά την τρίτη επανάληψη, η σωστή απάντηση θα είναι κολλήσει — σταθερό — με την τιμή ¾.
Χρησιμοποιώντας ένα εμπορικό λογισμικό, προχωράμε σε αυτόν τον υπολογισμό και μπορούμε να πάρουμε τα αποτελέσματα στο σχήμα 1. Η κόκκινη γραμμή και η μαύρη γραμμή παράγονται από τις εξισώσεις F (xk ) =4xk (1 – x k ), ενώ G (xk ) =4xk – 4xk . Αν και οι εξισώσεις είναι μαθηματικά ισοδύναμες, ο υπολογιστής παράγει ένα σταθερό και σταθερό αποτέλεσμα για το F και μια χαοτική συμπεριφορά για το G. Η μη γραμμική δυναμική θεωρία και ένας κλάδος των μαθηματικών που βασίζεται μόνο σε λογισμό και διαφορικές εξισώσεις δεν μπορούν να το εξηγήσουν σωστά.
Στην πρόσφατη μελέτη μας με τίτλο «Υπολογισμός περιοδικών τροχιών χαρτών με διαστήματα με χρήση αποσπασματικής προσέγγισης», αναγνωρίζουμε αυτήν την κατάσταση και αναπτύξαμε μια προσέγγιση για, τουλάχιστον, μείωση αυτής της κατάστασης. Η βασική ιδέα βασίζεται στο γεγονός ότι η πλειονότητα των αριθμητικών υπολογισμών που βασίζονται σε κινητή υποδιαστολή έχουν κατασκευαστεί για να εγγυώνται ένα καλό αποτέλεσμα ή, από τεχνική άποψη, ένα αποτέλεσμα με ακρίβεια ανάλογα με τον αριθμό των bit που χρησιμοποιούνται, μόνο για βασικές αριθμητικές πράξεις .
Το παράδειγμα στο σχήμα 1 παρουσιάζει δύο χαρακτηριστικά που μετατρέπουν αυτό το παράδειγμα σε ένα πολύ δύσκολο παράδειγμα. Πρώτον, ο υπολογισμός είναι ένα σύνολο βασικών αριθμητικών πράξεων. Δεύτερο και πιο σημαντικό, υπάρχει μια επανάληψη όπου ένα πολύ μικροσκοπικό σφάλμα στην αρχή μεγαλώνει εκθετικά. Στην εργασία μας, εξετάζουμε ορισμένα χαρακτηριστικά της συνάρτησης, η οποία μας επιτρέπει να θέσουμε τα όρια του αποτελέσματος με μεγαλύτερη συνέπεια από άλλες προσεγγίσεις. Η συνάρτηση θεωρείται ως τμηματική συνάρτηση. Γενικά, η προτεινόμενη μέθοδος έχει δημιουργήσει διαστήματα που είναι σημαντικά μικρότερα από αυτά που λαμβάνονται με την προσέγγιση Intlab (μια εργαλειοθήκη Matlab). Ωστόσο, είναι επίσης σαφές ότι η μέθοδός μας απαιτεί σημαντικά μεγαλύτερο αριθμό επαναλήψεων.
Σχετική μελέτη
Σε ένα συνοδευτικό άρθρο που δημοσιεύτηκε στο ίδιο περιοδικό «Ανίχνευση αναξιόπιστων προσομοιώσεων υπολογιστή αναδρομικών συναρτήσεων με επεκτάσεις διαστήματος», https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.02.020, χρησιμοποιήσαμε τέτοιες ιδέες για να δείξουμε ότι ορισμένα προηγούμενα αποτελέσματα που εγγυώνται μεγάλες προσομοιώσεις σε υπολογιστή δεν ισχύουν για το τρέχον λογισμικό και υλικό. Επίσης, εκμεταλλευόμαστε τη διάδοση σφαλμάτων για τον υπολογισμό του εκθέτη Lyapunov, ένα συνηθισμένο χαρακτηριστικό για τον εντοπισμό χαοτικών συστημάτων, στο άρθρο "Υπολογισμός του μεγαλύτερου θετικού εκθέτη Lyapunov με χρήση στρογγυλοποίησης και αναδρομικού αλγόριθμου ελάχιστου τετραγώνου", https://doi.org/10.1016 /j.chaos.2018.04.032.
Μελλοντικές Οδηγίες
Είμαστε βέβαιοι ότι οι υπολογιστές είναι απίστευτα εργαλεία για την ανάπτυξη της επιστήμης και της τεχνολογίας. Αλλά είμαστε επίσης βέβαιοι ότι πρέπει να κατανοήσουμε τον τρόπο με τον οποίο λειτουργούν για να μπορούμε να αναλύουμε και να αποφεύγουμε παγίδες.
Αυτά τα ευρήματα περιγράφονται στο άρθρο με τίτλο Interval computing periodic orbits of maps using a τμηματική προσέγγιση, που δημοσιεύτηκε πρόσφατα στο περιοδικό Applied Mathematics and Computation. Αυτή η εργασία διεξήχθη από τους Erivelton G. Nepomuceno, Heitor M. Rodrigues Junior και Samir A.M. Martins από το Ομοσπονδιακό Πανεπιστήμιο του São João del-Rei, Matjaž Perc από το University of Maribor και Beihang University και Mitja Slavinec από το University of Maribor.
