Ορισμός μέσου όρου στα μαθηματικά

Ο αριθμητικός μέσος όρος  ενός συνόλου αριθμών ισούται με το άθροισμα αυτού του συνόλου αριθμών διαιρεμένο με τον αριθμό των στοιχείων του συνόλου. Για παράδειγμα, για το σύνολο S ={1, 3, 5, 7, 9}, ο αριθμητικός μέσος όρος του S είναι ίσος με (1+3+5+7+9)/5 =5.

Ο αριθμητικός μέσος όρος ενός συνόλου αριθμών αναφέρεται μερικές φορές ως μέσος όρος αυτού του συνόλου αριθμών. Γενικά, ο τύπος για τον αριθμητικό μέσο όρο ενός συνόλου αριθμών S είναι:

A = ΣS/n

όπου ∑S είναι το άθροισμα των αριθμών σε αυτό το σύνολο και n  είναι ο αριθμός των στοιχείων σε αυτό το σύνολο.

Όπως συμβαίνει με πολλές στοιχειώδεις μαθηματικές έννοιες, είναι δύσκολο να πούμε ακριβώς πότε οι άνθρωποι άρχισαν να χρησιμοποιούν την έννοια του αριθμητικού μέσου όρου, αν και πιθανότατα αναπτύχθηκε για πρώτη φορά από αρχαίους αστρονόμους ως μέσο μείωσης των σφαλμάτων παρατήρησης στα αστρονομικά δεδομένα. Η πρώτη επίσημη αναπαράσταση της έννοιας του αριθμητικού μέσου όρου έγινε τον 16ο αιώνα, αλλά ιστορικά κείμενα που χρονολογούνται τουλάχιστον από τον 7ο αιώνα π.Χ. αναφέρετε την τεχνική εξαγωγής του μέσου όρου ενός συνόλου αριθμών.

Μέσος όρος, διάμεσος και Λειτουργία

Η έννοια του αριθμητικού μέσου όρου σχετίζεται στενά με τις έννοιες της διάμεσης τιμής και του τρόπου λειτουργίας ενός συνόλου αριθμών. Ο μέσος όρος, ο διάμεσος και ο τρόπος θεωρούνται όλα μέτρα κεντρικής τάσης. Κατά κάποιο τρόπο, μπορεί κανείς να δει τη μέση, τη διάμεσο και τη λειτουργία ως όλους τους διαφορετικούς τρόπους για να «συνοψίσουμε» τις πληροφορίες σε ένα σύνολο δεδομένων και να δώσουμε μια τιμή που είναι «τυπική» για αυτό το σύνολο δεδομένων.

Διάμεσος

Η διάμεσος ενός συνόλου αριθμών μπορεί να θεωρηθεί για το στοιχείο που βρίσκεται στη μέση αυτού του συνόλου. Η διάμεσος ενός συνόλου ορίζεται ως το στοιχείο που έχει ίσο αριθμό στοιχείων μεγαλύτερα και μικρότερα από αυτό το στοιχείο. Για παράδειγμα, στο σύνολο S ={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} η διάμεση τιμή είναι 8 καθώς υπάρχουν 3 τιμές μικρότερες από 8 (2, 4 και 6) ενώ υπάρχουν 3 στοιχεία μεγαλύτερες από 8 (10, 12 και 14). Συνεπώς, το 8 είναι το 4ο μεγαλύτερο και το 4ο μικρότερο στοιχείο του συνόλου.

Εάν υπάρχει ένας περιττός αριθμός αριθμών στο σύνολο, τότε η διάμεσος είναι ακριβώς οποιοσδήποτε αριθμός πέφτει απευθείας στη μέση κατά τη διάταξη των αριθμών από το ελάχιστο στο μεγαλύτερο. Σε ένα σύνολο με άρτιο αριθμό μελών, δεν θα υπάρχει ενιαία κεντρική τιμή. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η διάμεση τιμή υπολογίζεται κανονικά ως ο μέσος όρος των δύο πιο μεσαίων τιμών. άρα στο σύνολο S ={1, 3, 5, 7, 9, 11} η διάμεση τιμή είναι ο μέσος όρος των δύο κεντρικών τιμών (5+7)/2 = 6 .

Λειτουργία

Ο τρόπος λειτουργίας ενός συνόλου αριθμών αντιστοιχεί στο πιο συχνά επαναλαμβανόμενο στοιχείο σε αυτό το σύνολο. Για το σύνολο S ={1, 2, 2, 2, 3, 4, 7, 7} η λειτουργία είναι 2 καθώς το 2 είναι το πιο επαναλαμβανόμενο στοιχείο του σετ (3 φορές). Με άλλα λόγια, ο τρόπος λειτουργίας ενός συνόλου είναι η τιμή που είναι πιο πιθανό να πάρει κάποιος εάν επιλέξει τυχαία από το σύνολο. Κατά τη γραφική παράσταση της κατανομής πιθανότητας για την τιμή των στοιχείων σε ένα σύνολο, η λειτουργία θα αντιστοιχεί σε τυχόν "κορυφές" σε αυτήν την κατανομή.

Είναι απολύτως πιθανό ένα σύνολο αριθμών να έχει περισσότερες από μία λειτουργίες. στο σύνολο S ={2, 2, 2, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8} οι δύο λειτουργίες είναι 2 και 6 καθώς αυτά τα δύο στοιχεία επαναλαμβάνονται περισσότερο. Τα σύνολα που έχουν 2 διακριτές λειτουργίες ονομάζονται διτροπικά . Τα σύνολα που έχουν περισσότερες από 2 διαφορετικές λειτουργίες ονομάζονται πολυτροπικά . το σύνολο S ={12, 12, 15, 23, 23, 26, 27, 28, 28} έχει 3 λειτουργίες, 12, 23 και 28, και επομένως είναι πολυτροπικό.

Ως συνέπεια αυτού του ορισμού του τρόπου λειτουργίας, είναι αδύνατο να υπάρχει ένα μη κενό πεπερασμένο ρυθμισμένο χωρίς λειτουργία. Σε ένα σύνολο όπου κάθε στοιχείο είναι διαφορετικό, μπορεί να φαίνεται με την πρώτη ματιά ότι δεν υπάρχει λειτουργία. Ωστόσο, ένα σύνολο όπου κάθε στοιχείο είναι ξεχωριστό είναι στην πραγματικότητα πολυτροπικό. Αυτό συμβαίνει επειδή σε ένα σύνολο όπου κάθε στοιχείο είναι διαφορετικό, κάθε  Το στοιχείο είναι μια λειτουργία επειδή κάθε στοιχείο επαναλαμβάνεται με την ίδια συχνότητα (δηλαδή, μία φορά). ΣΤΟ σύνολο S ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, κάθε στοιχείο είναι μια λειτουργία επειδή κάθε στοιχείο επαναλαμβάνεται με την ίδια συχνότητα. Ωστόσο, ορισμένα άπειρα σύνολα, όπως το σύνολο των πραγματικών αριθμών, δεν έχουν μια καλά καθορισμένη λειτουργία.

Επιπλέον, η έννοια του τρόπου είναι ένα από τα λίγα μέτρα κεντρικής τάσης που έχει νόημα σε μη αριθμητικά πλαίσια. Για παράδειγμα, λαμβάνοντας ένα σύνολο επωνύμων στις Η.Π.Α., μπορεί κανείς να διαπιστώσει ότι το "Smith" είναι ο τρόπος λειτουργίας του συνόλου δεδομένων. Δηλαδή, μεταξύ του συνόλου των επωνύμων στις ΗΠΑ, το Smith είναι το πιο επαναλαμβανόμενο όνομα.

Μέσος όρος, διάμεσος και λειτουργία μαζί

Συνδυάζοντας όλες αυτές τις έννοιες μαζί, μπορούμε μεμονωμένα να δώσουμε τον μέσο όρο, τη διάμεσο και τον τρόπο κάποιου συνόλου αριθμών S. Ας πούμε ότι S ={3, 7, 14, 14, 14, 14, 22, 22 36, 38, 56, 56, 63}.

• Το μέσο του σετ είναι (3+7+14+14+14+14+22+22+36+38+56+56+63)/13 = 27,62
• Η διάμεσος του συνόλου ισούται με την κεντρική τιμή. Σε αυτήν την περίπτωση, η κεντρική τιμή είναι 22  καθώς το 22 είναι το 7ο μεγαλύτερο και το 7ο μικρότερο στοιχείο.
• Η λειτουργία  του συνόλου είναι το πιο επαναλαμβανόμενο στοιχείο, επομένως σε αυτήν την περίπτωση, είναι 14.

Έτσι, για το σύνολο S = {3, 7, 14, 14, 14, 14, 22, 22 36, 38, 56, 56, 63}, ο μέσος όρος, διάμεσος, και λειτουργία  είναι 27,62, 22,  και 14 , αντίστοιχα.

Για έναν αριθμό συνόλων δεδομένων, είναι πιθανό πολλαπλά από αυτά τα μέτρα να συμπίπτουν. Στο σύνολο S ={3, 3, 3, 3, 3, 3, 3} ο μέσος όρος, ο διάμεσος και ο τρόπος λειτουργίας είναι όλες οι ίδιες τιμές, 3.

Για παράδειγμα, το παραπάνω γράφημα αντιπροσωπεύει μια ποικιλία κατανομών πιθανοτήτων Gauss, που ονομάζονται επίσης καμπύλες καμπάνας . Οι κανονικές κατανομές αντιπροσωπεύουν την αναμενόμενη κατανομή της τυχαίας μεταβλητής σε μια κλάση. Σε μια κανονική κατανομή, ο μέσος όρος, ο διάμεσος και ο τρόπος του συνόλου δεδομένων είναι όλα τα ίδια. την τιμή που συμπίπτει με την κορυφή της κατανομής πιθανοτήτων. Πολλά σύνολα δεδομένων, όπως η κατανομή των βαθμολογιών IQ στον πληθυσμό, το ύψος, η αρτηριακή πίεση και οι τυποποιημένες βαθμολογίες των τεστ, λαμβάνουν τη μορφή κανονικής κατανομής, καθιστώντας τα ένα χρήσιμο εργαλείο για στατιστική ανάλυση.

Χρήσεις μέσης, διάμεσης και λειτουργίας

Ο μέσος όρος, ο διάμεσος και ο τρόπος είναι τόσο θεμελιώδεις μαθηματικές έννοιες που είναι δύσκολο να βρεθεί μια κατάσταση όπου δεν θα ίσχυαν με κάποιο τρόπο.

Χρήσεις μέσου όρου

Μία από τις πιο κοινές χρήσεις του αριθμητικού μέσου όρου είναι ο υπολογισμός της μέσης ταχύτητας ενός αντικειμένου για κάποια χρονική περίοδο. Ας υποθέσουμε ότι οι ταχύτητες ενός αντικειμένου με την πάροδο του χρόνου είναι το σύνολο {3, 7, 9, 15, 18, 20}. Μπορεί κανείς να υπολογίσει τη μέση ταχύτητα ενός αντικειμένου κατά τη διάρκεια αυτού του χρόνου αθροίζοντας τις επιμέρους ταχύτητες και διαιρώντας με τον αριθμό των στοιχείων. Άρα σε αυτήν την περίπτωση, η μέση ταχύτητα είναι (3+7+9+15+18+20)/6 = 12 m/s . Μια παρόμοια διαδικασία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό της μέσης επιτάχυνσης ενός σώματος με την πάροδο του χρόνου. Αθροίζοντας τις μεμονωμένες τιμές επιτάχυνσης για μια χρονική περίοδο, μπορεί κανείς να προσδιορίσει τη μέση επιτάχυνση ενός αντικειμένου κατά τη διάρκεια αυτής της χρονικής περιόδου.

Ένα άλλο πλαίσιο στο οποίο χρησιμοποιείται ο αριθμητικός μέσος όρος είναι στα οικονομικά για τον υπολογισμό του κατά κεφαλήν ακαθάριστου εγχώριου προϊόντος ενός έθνους. Το κατά κεφαλήν ΑΕΠ είναι ένα μέτρο της μέσης οικονομικής παραγωγής ανά άτομο ενός πληθυσμού. Το κατά κεφαλήν ΑΕΠ υπολογίζεται αθροίζοντας την ακαθάριστη οικονομική παραγωγή κάθε ατόμου και διαιρώντας με τον συνολικό αριθμό των ατόμων. Ας υποθέσουμε ότι μια υποθετική χώρα έχει 5 άτομα και η οικονομική της απόδοση για κάθε άτομο δίνεται από το σύνολο {$24.000, $36.000, $36.000, $49.000, $63.000}. Το κατά κεφαλήν ΑΕΠ αυτού του πληθυσμού θα ήταν (24.000+36.000+36.000+49.000+63.000)/5 =$ 41.600 . Γενικά, η υπολογιζόμενη τιμή για το κατά κεφαλήν ΑΕΠ στη συνέχεια διορθώνεται για να ληφθεί υπόψη ο πληθωρισμός ή η νομισματική αξία για μια χρονική περίοδο.

Χρήσεις μέσου όρου

Η πιο κοινή χρήση της διάμεσης τιμής είναι ο προσδιορισμός των χαρακτηριστικών ενός «τυπικού» μέλους ενός συνόλου σε περιπτώσεις όπου ο αριθμητικός μέσος όρος μπορεί να παραμορφώνεται από ασυνήθιστα υψηλές ή χαμηλές τιμές. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύνολο S ατόμων με ηλικίες S ={11, 13, 17, 22, 25, 92}. Ο μέσος όρος αυτών των ηλικιών είναι (11+13+17+22+25+92)/6 =30. Στην περίπτωση αυτή, ο μέσος όρος του 30 παραμορφώνεται από την παρουσία της ακραίας τιμής του 92, η οποία είναι πολύ υψηλότερη από την άλλες αξίες. Στην πραγματικότητα, μόνο ένα μέλος του σετ έχει ηλικία μεγαλύτερη από 30, επομένως η μέση ηλικία των 30 δεν πρέπει να θεωρείται αντιπροσωπευτική του συνόλου. Σε αυτήν την περίπτωση, μια τιμή που είναι πιο αντιπροσωπευτική ενός τυπικού μέλους αυτού του συνόλου είναι η διάμεση τιμή, η οποία είναι (17+22)/2 = 19,5 .

Ένα μέρος όπου χρησιμοποιούνται οι διάμεσοι είναι για τον υπολογισμό του μέσου εισοδήματος των πληθυσμών. Σε χώρες με υψηλά ποσά οικονομικής ανισότητας, η παρουσία ατόμων με πολύ υψηλότερα εισοδήματα από άλλα μπορεί να παραμορφώσει τον μέσο υπολογισμό. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η μέτρηση του μέσου εισοδήματος μπορεί να είναι ένας καλύτερος τρόπος για τον προσδιορισμό του εισοδήματος του μέσου ατόμου, παρά ο μέσος όρος που μπορεί να στρεβλωθεί από πολύ υψηλές ή χαμηλές ακραίες τιμές.

Χρήσεις λειτουργίας

Η πιο προφανής χρήση της λειτουργίας είναι να προσδιορίσει ποιο μέλος ενός συνόλου είναι πιθανό να είναι ένα τυχαία επιλεγμένο στοιχείο. Δεδομένου ότι η λειτουργία είναι το στοιχείο που εμφανίζεται πιο συχνά στο σύνολο, οποιοδήποτε τυχαίο μέλος του συνόλου είναι πιο πιθανό να είναι μια λειτουργία (ή λειτουργίες).

Όπως η διάμεσος, η λειτουργία είναι μια χρήσιμη μέτρηση για την αναπαράσταση ενός «τυπικού» μέλους ενός συνόλου δεδομένων όταν ο μέσος όρος παραμορφώνεται από ασυνήθιστα υψηλές ή χαμηλές τιμές. Στο σύνολο S ={2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 18, 29, 54} ένας μέσος υπολογισμός θα παραμορφωνόταν από τις υψηλότερες τιμές στο τέλος του συνόλου. Αντίθετα, μπορούμε να πάρουμε τη λειτουργία, η οποία είναι 2, ως δείκτης ενός τυπικού μέλους του συνόλου. Οποιοδήποτε τυχαίο μέλος ενός συνόλου έχει την υψηλότερη ποσοστιαία πιθανότητα να είναι ο τρόπος λειτουργίας αυτού του συνόλου.