Παραλλαγή του «g» με Βάθος
Όλοι στη Γη βιώνουν μια ισχυρή βαρυτική δύναμη έλξης από το κέντρο της Γης. Αυτή η δύναμη είναι υπεύθυνη για τη διατήρηση των σωμάτων κολλημένα στην επιφάνεια της Γης. Όπως γνωρίζετε, η επιτάχυνση λόγω βαρύτητας έχει τιμή 9,81 m/s. Αλλά αυτή η τιμή της βαρυτικής επιτάχυνσης δεν είναι σταθερή στην επιφάνεια της Γης. Διαπιστώθηκε ότι η τιμή του «g» (βαρυτική επιτάχυνση) μειώνεται γραμμικά με την αύξηση του βάθους.
Τι είναι η Επιτάχυνση λόγω της Βαρύτητας;
Η βαρυτική δύναμη είναι μία από τις τέσσερις θεμελιώδεις δυνάμεις. Αυτή η δύναμη είναι ελκυστική στη φύση και είναι πολύ αδύναμη σε μέγεθος για σώματα που συναντάτε καθημερινά. Η μελέτη της βαρύτητας είναι πολύ σημαντική στην επιστήμη των πυραύλων, τη ναυσιπλοΐα, τη γεωφυσική, το κλίμα κ.λπ.
Ο καθένας παράγει το δικό του πεδίο βαρύτητας. Για μικρότερα σώματα, αυτό το πεδίο είναι πολύ αδύναμο για να ανιχνευθεί από ένα όργανο. Αλλά για μεγάλα ουράνια σώματα όπως πλανήτες και αστέρια, η βαρυτική δύναμη γίνεται σημαντική και μπορεί να μετρηθεί με τη βοήθεια οργάνων. Η αμοιβαία δύναμη έλξης είναι υπεύθυνη για την πλανητική κίνηση σε μια ελλειπτική τροχιά γύρω από τον Ήλιο.
Σύμφωνα με το νόμο της βαρύτητας του Νεύτωνα, αν δύο σώματα έχουν μάζα k και k' και αν μια απόσταση x τα χωρίζει, τότε θα βιώσουν μια δύναμη έλξης σύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο:
F=Gkk’/x
Πού,
G =Καθολική σταθερά βαρύτητας =6,6710 Nm/Kg
Η παραπάνω έκφραση δίνει τη βαρυτική δύναμη έλξης μεταξύ δύο μαζών.
Στην περίπτωση της Γης, όταν ένα σώμα κάθεται στην επιφάνεια, θα βιώσει μια ελκτική δύναμη από τη Γη.
Αν η μάζα ενός σώματος είναι k και η μάζα της Γης είναι Κ και η ακτίνα της Γης είναι Χ, τότε η δύναμη σε αυτό το σώμα είναι,
F=GKk/X …………….(1)
Συγκρίνοντας αυτήν την εξίσωση με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα,
F=ka ………………(2)
Θα λάβετε την τιμή της βαρυτικής επιτάχυνσης ενός σώματος στην επιφάνεια ως,
g=a=GK/X…………….(3)
Αν αντικαταστήσετε τις τιμές ως Μάζα Γης (K)=5,972191024 Kg, Καθολική σταθερά βαρύτητας =G =6,6710 Nm/Kg και ακτίνα Γης =X =6378,1 Km, θα λάβετε την τιμή του g ως 9,8 m/s.
Μεταβολή της τιμής της επιτάχυνσης της βαρύτητας με το βάθος
Η εξίσωση (3) σας δίνει την τιμή της επιτάχυνσης που προκαλείται από τη βαρύτητα στην επιφάνεια της Γης. Αυτή η τιμή είναι περίπου 9,8 m/s. Αλλά αυτή η τιμή δεν είναι σταθερή. Αυτή η τιμή ποικίλλει ανάλογα με την αλλαγή στο υψόμετρο στην επιφάνεια της Γης και με το βάθος κάτω από την επιφάνεια.
Αυτή η ενότητα θα σας βοηθήσει να εξάγετε μια έκφραση για τη μεταβολή της επιτάχυνσης που προκαλείται από τη βαρυτική δύναμη με το βάθος μέσα στη Γη. Μπορείτε να υποθέσετε ότι η Γη αποτελείται από ομόκεντρα σφαιρικά κελύφη. Στην περίπτωση ενός σφαιρικού σώματος (για παράδειγμα, της Γης), ολόκληρη η μάζα του σώματος θεωρείται ότι βρίσκεται στο κέντρο της Γης.
Υποθέτοντας ότι η πυκνότητα της Γης () είναι ομοιόμορφη σε όλο τον όγκο. Αυτό δίνεται ως,
=Μάζα/Όγκος =M/(4/3)X
Έτσι, η μάζα της Γης δίνεται ως
M=(4/3)X
Επομένως, η επιτάχυνση στην επιφάνεια από την εξίσωση (3) δίνεται ως
a=GK/X
∴ a=G(4/3)X/X=(4/3)XG …………….(4)
Τώρα, θεωρήστε μια σφαίρα ακτίνας R-d κάτω από την επιφάνεια σε βάθος d. Ας υποθέσουμε ότι ένα σώμα μάζας m κάθεται στο σημείο Β (στην επιφάνεια μιας σφαίρας με ακτίνα (X-d). Η βαρυτική δύναμη έλξης αυτού του σώματος θα είναι τώρα,
F’=GK’k/(X-d)2 …………………..(5)
Πού,
K’ =Μάζα της σφαίρας μέσα στη Γη με ακτίνα X-d
Έτσι, η βαρυτική επιτάχυνση του σώματος στην επιφάνεια της εσωτερικής σφαίρας θα είναι,
a’=GK’/(X-d)…………(6)
Πού,
K’=(4/3)(X-d)…………(7)
Από τις εξισώσεις (6) και (7),
a’=(4/3)G(X-d)/(X-d)
∴ a’=G(4/3)(X-d) …………..(8)
Η εξίσωση (8) είναι η έκφραση για την επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας μέσα στη Γη σε βάθος d.
Διαιρώντας την εξίσωση (8) με την εξίσωση (4), παίρνετε,
a’=a (4/3)G(X-d)]/(4/3)XG
∴ a’=a (X-d)/X
∴ a’=a[1-(d/X)] …………..(9)
Η εξίσωση (9) περιγράφει πώς η επιτάχυνση που προκαλείται από τη βαρύτητα αλλάζει με το βάθος (d) κάτω από την επιφάνεια της Γης. Η εξίσωση δηλώνει επίσης ότι η τιμή της επιτάχυνσης λόγω της βαρύτητας (α) μειώνεται με το βάθος στο εσωτερικό της επιφάνειας της Γης.
Ειδικές περιπτώσεις
Περίπτωση 1
Όταν d=0 (στην επιφάνεια της Γης),
Σε αυτήν την περίπτωση, d/X=0 και a’=a
Περίπτωση 2
Όταν d=X (στο κέντρο της Γης),
Σε αυτήν την περίπτωση, d/X=1 ∴ a’=0
Αυτό σας λέει ότι όταν ένα σώμα βρίσκεται στο κέντρο της Γης και εάν η Γη έχει ομοιόμορφη πυκνότητα, τότε το σώμα δεν μπορεί να αισθανθεί καμία δύναμη έλξης λόγω της βαρύτητας από τη Γη.
Μπορείτε να συμπεράνετε τα ακόλουθα σημεία:
Η βαρυτική επιτάχυνση ενός σώματος κοντά στην επιφάνεια είναι μέγιστη.
Η βαρυτική επιτάχυνση ενός σώματος κοντά στο κέντρο είναι ελάχιστη.
Το παρακάτω γράφημα δείχνει τη διακύμανση του a με το βάθος.
Αυτό είναι ένα γραμμικό γράφημα με τομή y στο a=GK/X2 και το σημείο x στο d=X. Αυτό το γράφημα έχει αρνητική κλίση.
