Το αντίστροφο μιας μήτρας
Ένας πίνακας είναι μια συγκεκριμένη συλλογή στοιχείων οργανωμένων σε σειρές και στήλες. Η σειρά ενός πίνακα είναι ο αριθμός των γραμμών x ο αριθμός των στηλών. Για παράδειγμα, ένας πίνακας 2*2 σημαίνει ότι περιέχει δύο σειρές και δύο στήλες. Μπορούμε να ανακαλύψουμε τον αντίστροφο πίνακα μόνο για τετράγωνους πίνακες με ίσο αριθμό σειρών και στηλών. Το αντίστροφο ενός πίνακα χρησιμοποιείται για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της αντιστροφής πίνακα.
Το αντίστροφο ενός πίνακα X αντιπροσωπεύεται από το X-1. Ένας απλός τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προσδιοριστεί το αντίστροφο ενός πίνακα 2*2. Το αντίστροφο ενός πίνακα είναι ένας άλλος πίνακας που αποδίδει την πολλαπλασιαστική ταυτότητα όταν πολλαπλασιάζεται με τον παρεχόμενο πίνακα.
Ας δούμε τώρα τον τύπο, τις μεθόδους και τις ορολογίες που σχετίζονται με το αντίστροφο ενός πίνακα.
Τι είναι το αντίστροφο του πίνακα;
Το αντίστροφο ενός πίνακα είναι ένας άλλος πίνακας που αποδίδει την πολλαπλασιαστική ταυτότητα όταν πολλαπλασιάζεται με τον παρεχόμενο πίνακα. Το X-1 είναι το αντίστροφο ενός πίνακα X, όπου X.X-1 =X-1. X =I, όπου I είναι ο πίνακας ταυτότητας. Ένας αντιστρέψιμος πίνακας έχει μια μη μηδενική ορίζουσα και για τον οποίο μπορεί να προσδιοριστεί ο αντίστροφος πίνακας.
Για παράδειγμα, το αντίστροφο του X =
Είναι
Ιδιότητες του αντίστροφου πίνακα
Ο αρχικός πίνακας είναι ίσος με το αντίστροφο του αντίστροφου πίνακα.
Αν οι Α και Β είναι αντιστρέψιμοι πίνακες, τότε το AB πρέπει να είναι επίσης. Ως αποτέλεσμα, (AB)-1 =B-1A-1
Αν το Α είναι μη ενικό, τότε (AT)-1 =(A-1)T
Το γινόμενο ενός πίνακα με το αντίστροφό του και αντίστροφα είναι πάντα ίσο με τον πίνακα ταυτότητας.
Τύπος αντίστροφης μήτρας
Στην περίπτωση των πραγματικών αριθμών, το αντίστροφο κάθε πραγματικού αριθμού a ήταν ο αριθμός a-1, έτσι ώστε ο πολλαπλασιαζόμενος επί a-1 να ισούται με 1 Καταλάβαμε ότι το αντίστροφο ενός πραγματικού αριθμού ήταν το αντίστροφο του αριθμού, εφόσον ο αριθμός δεν ήταν μηδέν. Ο πίνακας είναι το αντίστροφο ενός τετραγωνικού πίνακα X, που συμβολίζεται με X-1, έτσι ώστε το γινόμενο των X και X-1 να ισούται με τον πίνακα ταυτότητας. Ο προκύπτων πίνακας ταυτότητας θα έχει το ίδιο μέγεθος με τον πίνακα X.
Αντίστροφη μήτρας:
X-1 = 1/|X|
Επειδή |X| είναι στον παρονομαστή της παράστασης, το αντίστροφο του πίνακα υπάρχει μόνο αν η ορίζουσα του πίνακα είναι μη μηδενική. Δηλαδή, |X|=0.
Ερώτηση αντίστροφης μήτρας
Μερικοί μαθητές μπορεί να δυσκολεύονται να απαντήσουν στον αντίστροφο πίνακα 3 επί 3. Ως εκ τούτου, το ερώτημά μας για το αντίστροφο ενός πίνακα θα είναι ενός πίνακα 3 επί 3.
Βήματα που πρέπει να ακολουθήσετε για να βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα 3 επί 3:
Υπολογίστε την ορίζουσα ενός δεδομένου πίνακα.
Το πρώτο βήμα είναι να υπολογίσετε την ορίζουσα του πίνακα 3 * 3, στη συνέχεια να ανακαλύψετε τους συμπαράγοντες, τους δευτερεύοντες και τους παρακείμενους και στη συνέχεια να ενσωματώσετε τα ευρήματα στον τύπο του αντίστροφου πίνακα που φαίνεται παρακάτω.
X−1=1/|X|Adj(X)
Για παράδειγμα:
Ελέγξτε αν ο παρακάτω πίνακας είναι αντιστρέψιμος.
Αυτό μπορεί να αποδειχθεί εάν η ορίζουσα είναι μη μηδενική. Δεν θα υπάρχει αντίστροφο του παρεχόμενου πίνακα εάν η ορίζουσα του παρεχόμενου πίνακα είναι μηδέν.
det(X) =1(0-24) – 2(0-20) + 3(0-5)
det(X) =-24 + 40 – 15
det (X) =1
Καθώς ο προσδιοριστής τιμής είναι 1, μπορούμε να πούμε ότι ένας δεδομένος πίνακας έχει έναν αντίστροφο πίνακα.
Προσδιορίστε τη μετάθεση του πίνακα.
Για να προσδιορίσετε τη μεταφορά του δεδομένου πίνακα 3 επί 3.
Επομένως , XT =
Προσδιορίστε την ορίζουσα του πίνακα δύο προς δύο.
Θα υπολογίσουμε τώρα την ορίζουσα κάθε 2 X 2 δευτερεύοντες πίνακες.
Για στοιχεία 1ης σειράς:
Ίσο με -24
Ίσο με -18
Για στοιχεία 2ης σειράς:
Ίσο με -20
Ίσο με -15
Ίσο με 4
Για στοιχεία 3ης σειράς:
Ίσο με -5
Ίσο με -4
Ίσο με 1
Ο νέος πίνακας είναι:
Δημιουργήστε τον πίνακα συμπαράγοντα.
Αντιστρέψτε το πρόσημο των εναλλασσόμενων όρων για να λάβετε τον πρόσθετο ή τον προσθετικό πίνακα, όπως φαίνεται παρακάτω:
Σαν αποτέλεσμα, έχουμε τη νέα μήτρα, X:
Adj (X) =ο νέος πίνακας είναι :
Πολλαπλασιάζεται επί :
Adj (X) =
Τέλος, διαιρέστε κάθε όρο του προσθετικού πίνακα με την ορίζουσα.
Προσδιορισμός του αντίστροφου πίνακα 3 x 3:
Τώρα, στον τύπο, μπορούμε να ανταλλάξουμε τις τιμές det (X) και adj (X):
X−1 =(1/det (X)) Adj (X)
Το αντίστροφο του πίνακα είναι: X−1 =(1/1) =
Συμπέρασμα
Μέχρι τώρα θα είχατε καταλάβει πώς να αντιστρέψετε έναν πίνακα και ποια είναι τα βήματα που περιλαμβάνονται σε αυτόν. Συνήθως πρέπει πρώτα να βρείτε την ορίζουσα ενός πίνακα. Στη συνέχεια, υπολογίστε τη μήτρα συμπαράγοντα. Και, τέλος, διαιρέστε κάθε όρο του προσθετικού πίνακα με την ορίζουσα. Το αντίστροφο ενός Matrix είναι ένα σημαντικό θέμα από την άποψη πολλών ανταγωνιστικών εξετάσεων. Φροντίστε να κατανοήσετε καλά αυτό το θέμα.
