Ιδιότητες Ιδιοτιμών

Πριν μπούμε στις ιδιότητες των Ιδιοτιμών, ας κάνουμε μια επισκόπηση των Ιδιοτιμών.

Οι ιδιοτιμές εισάγονται συχνά στα θέματα της γραμμικής άλγεβρας και της θεωρίας πινάκων. Προηγουμένως, ωστόσο, χρησιμοποιούνταν στη μελέτη τετραγωνικών μορφών και διαφορικών εξισώσεων.

Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα εισάγονται τακτικά στους μαθητές σε μαθήματα γραμμικής άλγεβρας που επικεντρώνονται σε πίνακες. Έτσι, για να κατανοήσετε τις ιδιοτιμές, πρέπει πρώτα να καταλάβετε τι είναι οι πίνακες.

Τι είναι οι πίνακες;

Ένας πίνακας, εάν απλοποιηθεί, μπορεί να ονομαστεί μετασχηματισμός. Μετατρέπει το σύστημα συντεταγμένων από το ένα στο άλλο.

Ένας πίνακας έχει στήλες και σειρές που περιέχουν στοιχεία. Οι πίνακες είναι το κύριο μέρος της γραμμικής άλγεβρας και βοηθούν στη μελέτη γραμμικών εξισώσεων και μετασχηματισμών.

Οι πίνακες αποτελούν μέρος μιας ευρύτερης έννοιας που ονομάζεται τανυστές, οι οποίοι χρησιμοποιούνται ευρέως στη θεωρητική φυσική, όπως οι Εξισώσεις Πεδίου του Αϊνστάιν.

Οι πίνακες χρησιμοποιούνται σε προβλήματα που σχετίζονται με τη μηχανική μάθηση για να αναπαραστήσουν ένα σημαντικό σύνολο πληροφοριών. Τα ιδιοδιανύσματα και οι ιδιοτιμές αφορούν κυρίως τη δημιουργία ενός διανύσματος με μία τιμή για την αναπαράσταση ενός μεγαλύτερου πίνακα.

Ας κατανοήσουμε τις ιδιοτιμές

Για να κατανοήσουμε την έννοια των ιδιοτήτων Eigenvalue, ας μάθουμε πρώτα για τις Eigenvalue. Οι ιδιοτιμές είναι γνωστό ότι είναι τα ειδικά σετ βαθμωτών που συνδέονται με το σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Το χρησιμοποιούμε κυρίως για εξισώσεις πινάκων.

Η λέξη Eigen είναι γερμανικής προέλευσης και σημαίνει χαρακτηριστικό ή σωστό. Έτσι, ονομάζουμε επίσης ιδιοτιμές χαρακτηριστικές ρίζες, χαρακτηριστικές τιμές και κατάλληλες τιμές. Για να το περιγράψουμε απλά, είναι μια βαθμωτή που χρησιμοποιείται για να μετασχηματίσει το Ιδιοδιάνυσμα.

Ακολουθεί η εξίσωση ιδιοτιμής: 

Ax =λx

Όπου λ είναι η κλιμακωτή τιμή, η οποία είναι μια ιδιοτιμή του A

Στα μαθηματικά, ένα ιδιοδιάνυσμα συσχετίζεται με τις πραγματικές μη μηδενικές ιδιοτιμές που δείχνουν προς την κατεύθυνση που τεντώνεται λόγω του μετασχηματισμού. Μια ιδιοτιμή αντιμετωπίζεται ως παράγοντας μέσω του οποίου έλαβε χώρα η διάταση. Η κατεύθυνση του μετασχηματισμού είναι επίσης αρνητική στο σενάριο όπου η ιδιοτιμή έχει αρνητική τιμή. Για κάθε πραγματικό πίνακα, υπάρχει μια ιδιοτιμή.

Επιπλέον, η παρουσία της Ιδιοτιμής είναι ίση με το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας στην περίπτωση μιγαδικών πινάκων.

Σημαντικές ιδιότητες ιδιοτιμής 

Ακολουθούν ορισμένες βασικές ιδιότητες Ιδιοτιμής: 

• Οι ιδιοτιμές είναι πραγματικές για ερμιτικούς και πραγματικούς-συμμετρικούς πίνακες.
• Οι ιδιοτιμές τείνουν να είναι είτε 0 είτε εξ ολοκλήρου φανταστικές για συμμετρικούς πίνακες ερημίτη με πραγματική λοξή.
• Οι ιδιοτιμές είναι μοναδιαίου συντελεστή |λ| =1 για ορθογώνιους/μοναδικούς πίνακες.
• Στην περίπτωση που τα λ1, λ2…λn ορίζονται ως οι ιδιοτιμές για το «A», οι ιδιοτιμές για το kA θα ορίζονται ως kλ1, kλ2…kλn.
• Στην περίπτωση που τα λ1, λ2…λn αναφέρονται ως Ιδιοτιμές για το A, 1/λ1, 1/λ2…1/λn θα αντιπροσώπευαν τις Ιδιοτιμές για το A-1.
• Στην περίπτωση όπου τα λ1, λ2…λn αντιπροσωπεύουν Ιδιοτιμές για το A, λ1k, λ2k…λnk θα ήταν οι Ιδιοτιμές για το Ak.
• Οι ιδιοτιμές της μεταφοράς AT είναι ισοδύναμες με τις ιδιοτιμές του A.
• Το άθροισμα των διαγώνιων στοιχείων ή το ίχνος του πίνακα A είναι ισοδύναμο με το άθροισμα των Ιδιοτιμών.
• |A| αντιπροσωπεύει το προϊόν ιδιοτιμών.
• Το μέγεθος του πίνακα A είναι ισοδύναμο με τους μέγιστους αριθμούς διαφορετικών Ιδιοτιμών του A.
• Στο σενάριο όπου τα Α και Β αντιπροσωπεύουν δύο διακριτούς πίνακες με την ίδια σειρά, οι Ιδιοτιμές των πινάκων AB είναι ισοδύναμες με τις Ιδιοτιμές των πινάκων BA.

Η καλή κατανόηση των ιδιοτήτων Eigenvalue θα σας βοηθήσει να επιλύσετε σχετικά προβλήματα με μεγαλύτερη επιτυχία.

Συμπέρασμα

Σκεφτείτε ότι τα ιδιοδιανύσματα και οι ιδιοτιμές παρέχουν μια συνοπτική περίληψη ενός μεγάλου πίνακα.

Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα χρησιμοποιούνται για την απλοποίηση της πολυπλοκότητας των δεδομένων. Και τα δύο μπορούν να μας βοηθήσουν στη βελτίωση της αποτελεσματικότητας σε υπολογιστικά πολύπλοκες εργασίες.

Οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα αποτελούν τα βασικά των μαθηματικών και των υπολογιστών. Το σημαντικό δυναμικό των θεωρητικών και πρακτικών εφαρμογών των Ιδιοδιανυσμάτων και των Ιδιοτιμών αυξάνεται συνεχώς περαιτέρω στην επιστήμη των υπολογιστών, επιτρέποντας κάθε αντίστοιχο υπολογισμό μεγάλων πινάκων. Αυτό οδηγεί σε νέες προοπτικές στη θεωρητική και εφαρμοσμένη έρευνα.