Προϊόν των Μητρών

Ο πίνακας είναι μια μορφή αναπαράστασης αριθμών ή εξισώσεων διατεταγμένων σε σειρές και στήλες όπως ένα ορθογώνιο τραπέζι ή κουτί. Ο αριθμός των σειρών και των στηλών καθορίζει τις διαστάσεις του πίνακα. Για παράδειγμα, εάν ο πίνακας έχει 3 σειρές και 4 στήλες, λέγεται ότι είναι ένας πίνακας 3*4. Το γινόμενο των πινάκων ακολουθεί ορισμένους κανόνες και γραμμική άλγεβρα που σχετίζεται με πίνακες. Ο πολλαπλασιασμός πίνακα βασίζεται σε αριθμητικές πράξεις και έχει μεγάλη εφαρμογή στον τομέα των μαθηματικών και της έρευνας. Παρέχει μια βάση για τον μετασχηματισμό και την ανάλυση μιγαδικών τιμών και σχέσεων που είναι αποθηκευμένες σε έναν πίνακα.

Αναπαράσταση ενός πίνακα

Το αρχικό βήμα είναι να γράψετε έναν πίνακα στη σωστή μορφή, έτσι ώστε η αριθμητική οι λειτουργίες μπορούν να εκτελεστούν εύκολα.

Ας υποθέσουμε ότι ένας πίνακας X με 3 σειρές και 4 στήλες.

Αναπαρίσταται ως Xmn, όπου τα m και n αντιπροσωπεύουν τον αριθμό των σειρών και στήλες, αντίστοιχα. Επομένως, Xmn =X34

Ας συμπληρώσουμε τον πίνακα X με μερικές τιμές, όπου, X3*4 =

 

Εδώ, το κενό υποδεικνύει ότι έχει ξεκινήσει μια νέα στήλη και ένα κόμμα, δηλαδή, το ',' αντιπροσωπεύει μια νέα σειρά.

Για παράδειγμα, το 5 ανήκει στην πρώτη σειρά και στην πρώτη στήλη και Το 3 ανήκει στην τρίτη σειρά και στην τρίτη στήλη.

Ιδιότητες του προϊόντος των πινάκων

Υπάρχουν διάφορες βασικές ιδιότητες που σχετίζονται με το γινόμενο των πινάκων που περιλαμβάνουν: 

 

• Μεταθετική ιδιότητα:Το γινόμενο δύο πινάκων, δηλ. X και Y, δεν είναι ανταλλάξιμα. Ως εκ τούτου, XY ≠ YX.

• Συσχετιστική ιδιότητα:Το γινόμενο τριών πινάκων, δηλ. X, Y και Z, είναι συσχετιστικό. Επομένως, X(YZ) =(XY)Z.

• Διανεμητική ιδιότητα:Το γινόμενο τριών πινάκων, δηλ. X, Y και Z, είναι κατανεμητικό. Επομένως, X(Y + Z) =XY + YZ.

Προϊόν μητρών – Πίνακας πολλαπλασιαζόμενος με Κλιμακωτή

Ο πολλαπλασιασμός ενός πίνακα με μια βαθμωτή ποσότητα είναι η βασική μέθοδος πολλαπλασιασμού. Είναι ο απλούστερος και ταχύτερος πολλαπλασιασμός ενός πίνακα όπου όλες οι τιμές του πίνακα πολλαπλασιάζονται με την κλιμακωτή τιμή.

 

Ας πάρουμε έναν πίνακα X3*2 = και μια κλιμακωτή τιμή 5.

 

Το γινόμενο του πίνακα X και της βαθμωτής τιμής 5 δίνεται ως 

 

P =5*X3*2 =5

Το τελικό προϊόν είναι P =

 

Όλες οι τιμές γραμμής και στήλης πολλαπλασιάζονται με τη βαθμωτή τιμή. Δεν αλλάζει τη διάσταση του πίνακα.

Προϋποθέσεις για το προϊόν πινάκων

Ο πολλαπλασιασμός πίνακα είναι δυνατός μόνο εάν ο αριθμός των στηλών στον πρώτο πίνακα είναι ίσο με τον αριθμό των σειρών στον δεύτερο πίνακα. Αυτό διασφαλίζει ότι κάθε τιμή και των δύο πινάκων πολλαπλασιάζεται και σχηματίζει ένα στοιχείο στον νέο πίνακα.

 

Ας πάρουμε δύο πίνακες X3*3 και Y3*2 όπου ο αριθμός των οι στήλες του πίνακα X ισούνται με τον αριθμό των σειρών του πίνακα Y, δηλαδή και οι δύο έχουν τιμή =3.

 

Το γινόμενο του πίνακα αντιπροσωπεύεται από P =XY.

 

Στον πίνακα που προκύπτει, ο αριθμός των σειρών και των στηλών είναι ίσος με το αριθμός σειρών του πρώτου πίνακα, δηλ. X, και ο αριθμός στηλών του δεύτερου πίνακα, δηλ. Y, αντίστοιχα.

 

Εδώ, ο προκύπτων πίνακας P αντιπροσωπεύεται από το P3*2.

 

Γενικά, εάν τα X και Y έχουν διαστάσεις (m,n) και (q,r) αντίστοιχα, που παριστάνεται ως Xm*nand Yq*r, το P, δηλ., ο πίνακας που σχηματίζεται από το γινόμενο των X και Y, παριστάνεται ως Pm*r.

 

Η διάσταση του προκύπτοντος πίνακα αλλάζει σε αυτήν την περίπτωση, δηλ. δεν ισούται με τη διάσταση κανενός από τους μητρικούς πίνακες.

Παραδείγματα

Ας πάρουμε δύο πίνακες, X2*3 = και Y3*4 =

 

Εδώ, ο αριθμός των σειρών του πίνακα X είναι ίσος με τον αριθμό των στήλες του πίνακα Y, δηλαδή και οι δύο είναι ίσες με 3.

 

Τώρα, πολλαπλασιάστε τους πίνακες X και Y:

 

X*Y =*

 

Εδώ, πολλαπλασιάστε την πρώτη σειρά του πίνακα X με όλες τις στήλες του πίνακα Y ένα κάθε φορά και επαναλάβετε τη διαδικασία για τις υπόλοιπες σειρές του πίνακα X.

 

Ως εκ τούτου,

 

* =2*4 + 1*4 + 0*5 =12

 

* =8

 

* =11

 

* =11

 

Ομοίως, για τη δεύτερη σειρά του πίνακα X, 

 

* =32

 

* =8

 

* =15

 

* =30

 

Επομένως, ο προκύπτων πίνακας είναι P2*4 =

Συμπέρασμα

Οι πολλαπλασιασμοί μήτρας είναι χρήσιμοι όταν ασχολούμαστε με τμήματα δεδομένων κατά το σχηματισμό εικόνας, Fourier μετασχηματισμού και άλλα μαθηματικά προβλήματα. Καλύπτει ένα ευρύ πεδίο σύνθετης άλγεβρας, τριγωνομετρίας, μιγαδικών αριθμών και πολλά άλλα. Με αυτό, η κύρια χρήση του πολλαπλασιασμού μήτρας είναι στον τομέα της επεξεργασίας εικόνας και του μετασχηματισμού αντικειμένων που απαιτεί λεπτομερή μελέτη κάθε τμήματος. Για αυτό, ο πολλαπλασιασμός του πίνακα χωρίζεται σε διάφορα σύνθετα τμήματα που απαιτούν μαθηματικά υψηλότερου επιπέδου.