Θεώρημα παράλληλου άξονα
Σε αρκετές περιπτώσεις, η ροπή αδράνειας ως προς έναν άξονα που διέρχεται από το κέντρο ενός σχήματος είναι γνωστή (ή υπολογίζεται εύκολα) και χρειάζεται η ροπή αδράνειας του εμβαδού σε έναν δεύτερο άξονα παράλληλο με τον πρώτο άξονα. Αυτές οι δύο ροπές αδράνειας συνδυάζονται με το θεώρημα των παράλληλων αξόνων.
Αδράνεια
Η αδράνεια είναι η αντίσταση ενός φυσικού σώματος/αντικειμένου σε μια αλλαγή στην ταχύτητά του. Αυτό περιλαμβάνει τις αλλαγές στην ταχύτητα του αντικειμένου ή στην κατεύθυνση κίνησης του σώματος. Μια πτυχή αυτής της ιδιότητας είναι η τάση των αντικειμένων να κινούνται σε ευθεία γραμμή με σταθερή ταχύτητα όταν δεν ασκεί δύναμη πάνω τους. Η ποσότητα αδράνειας που έχει ένα αντικείμενο είναι ανάλογη της μάζας του. Αλλά η αδράνεια δεν είναι ίδια με τη μάζα ή την ορμή (προϊόν της ταχύτητας και της μάζας). Η μάζα ενός αντικειμένου μπορεί να μετρηθεί παρατηρώντας την έκταση της αδράνειάς του. Αυτό γίνεται με τον προσδιορισμό της ποσότητας της δύναμης που απαιτείται για την παραγωγή μιας συγκεκριμένης επιτάχυνσης.Ροπή αδράνειας
Η ροπή αδράνειας ορίζεται ως η ποσότητα που εκφράζεται από το σώμα που αντιστέκεται στη γωνιακή επιτάχυνση, που είναι το άθροισμα του γινόμενου της μάζας κάθε σωματιδίου και του τετραγώνου της απόστασής του από τον άξονα περιστροφής ενός αντικειμένου. Ή, πιο απλά, μπορεί να περιγραφεί ως μια ποσότητα που καθορίζει την ποσότητα της ροπής που απαιτείται για μια δεδομένη γωνιακή επιτάχυνση σε έναν άξονα περιστροφής. Η μονάδα SI είναι kg.m.Η ροπή αδράνειας είναι
I =m x r
Εδώ,
m =Άθροισμα του γινομένου της μάζας.
r =απόσταση.
I =Ροπή Αδράνειας.
Νόμος της αδράνειας
Ο νόμος της αδράνειας είναι ο πρώτος νόμος κίνησης του Νεύτωνα. Σύμφωνα με το νόμο της αδράνειας, εάν ένα σώμα βρίσκεται σε ηρεμία ή κινείται με σταθερή ταχύτητα σε ευθεία γραμμή, τότε το σώμα θα παραμείνει σε ηρεμία ή θα συνεχίσει να κινείται σε ευθεία γραμμή με σταθερή ταχύτητα, εκτός εάν ασκήσει εξωτερική δύναμη πάνω του. Πριν από τον Γαλιλαίο, θεωρήθηκε ότι κάθε οριζόντια κίνηση απαιτούσε μια άμεση αιτία, αλλά ο Γαλιλαίος συμπέρανε από τα πειράματά του ότι ένα σώμα σε κίνηση θα παρέμενε σε κίνηση εκτός εάν μια δύναμη (όπως η τριβή) το ακινητοποιούσε.Θεώρημα παράλληλων αξόνων
Σύμφωνα με το θεώρημα των παράλληλων αξόνων, η ροπή αδράνειας ενός σώματος ως προς έναν άξονα που είναι παράλληλος στο σώμα είναι το άθροισμα της ροπής αδράνειας ενός σώματος ως προς τον άξονα που διέρχεται από το μέσο και το γινόμενο της μάζας του σώματος και το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ των δύο αξόνων.Τύπος Θεωρήματος Παράλληλου Άξονα
Ο τύπος του θεωρήματος παράλληλου άξονα δίνεται ωςI =Ic + Mh
Εδώ,
I =ροπή αδράνειας σώματος
Iγ =ροπή αδράνειας γύρω από το κέντρο
Μ =μάζα σώματος
h =απόσταση μεταξύ δύο αξόνων
Παραγωγή θεωρήματος παράλληλων αξόνων
Ας θεωρήσουμε ότι Ic είναι η ροπή αδράνειας γύρω από το κέντρο ενός άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας και I είναι η ροπή αδράνειας του σώματος.Ας θεωρήσουμε ότι η μάζα ενός σωματιδίου είναι m και r είναι η απόσταση μεταξύ του σωματιδίου και του κέντρου βάρους του σώματος.
Επομένως, απόσταση =r+h
I =∑ m(r+h)
I =∑ m(r+h+2rh)
I =∑ mr +∑mh +∑2rh
I=Ic + h∑m + 2h∑r
I=Ic + hm + 0
Επομένως,
I=Iγ + mh ———— (1)
Έτσι, η εξίσωση 1 είναι ο τύπος του θεωρήματος παράλληλου άξονα.
Θεώρημα κάθετου άξονα
Το θεώρημα του κάθετου άξονα ισχύει μόνο για επίπεδα ή επίπεδα σώματα. Επίπεδα σώματα με πολύ μικρό ή αμελητέο πάχος. Σύμφωνα με αυτό το θεώρημα, η ροπή αδράνειας ενός επιπέδου σώματος ως προς έναν άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδό του ισούται με το άθροισμα των ροπών αδράνειας του γύρω από δύο κάθετους άξονες που συμπίπτουν με τον κανονικό άξονα και βρίσκονται στο επίπεδο του σώμα.Σύμφωνα με το θεώρημα κάθετου άξονα
Ix + Iy =Iz
Ας εξετάσουμε τρεις άξονες, τον άξονα x, τον άξονα y και τον άξονα z.
Η ροπή αδράνειας του άξονα x είναι Ix =mx
Η ροπή αδράνειας του άξονα y είναι Iy =μου
Η ροπή αδράνειας του άξονα z είναι Iz =m√(x + y)
Επομένως,
Ix + Iy =mx + μου
Ix + Iy =m(x + y)
Ix + Iy =m√(x + y)
Ετσι,
Ix + Iy =Iz
Επομένως, αποδεικνύεται το θεώρημα του κάθετου άξονα.
Εφαρμογές Θεωρήματος Παράλληλου και Καθέτου Άξονα
Ο υπολογισμός της ροπής αδράνειας απλοποιείται χρησιμοποιώντας το θεώρημα κάθετου και παράλληλου άξονα μαζί.Το θεώρημα του κάθετου και του παράλληλου άξονα μαζί βοηθούν στην εύκολη μελέτη της δυναμικής περιστροφής των άκαμπτων σωμάτων.
Κέντρο Βάρους
Το κέντρο βάρους θεωρείται το σημείο μέσω του οποίου η βαρυτική δύναμη δρα σε ένα σώμα ή σύστημα. Κέντρο βάρους είναι το σημείο στο οποίο εξαφανίζεται η προκύπτουσα ροπή που προκαλείται από τη βαρυτική δύναμη. Στις περιπτώσεις που το βαρυτικό πεδίο θεωρείται ομοιόμορφο, το κέντρο βάρους και το κέντρο μάζας είναι το ίδιο. Μερικές φορές αυτοί οι δύο όροι, κέντρο βάρους και κέντρο μάζας, χρησιμοποιούνται εναλλακτικά επειδή συχνά λέγεται ότι βρίσκονται στην ίδια θέση ή τοποθεσία.Συμπέρασμα
Η αδράνεια είναι η αντίσταση ενός φυσικού σώματος/αντικειμένου σε μια αλλαγή στην ταχύτητά του.Η ποσότητα της αδράνειας που έχει ένα αντικείμενο είναι ανάλογη της μάζας του.
Η ροπή αδράνειας είναι
I =m x r
Ο τύπος του θεωρήματος παράλληλου άξονα δίνεται ως
I=Iγ + mh
Σύμφωνα με το θεώρημα κάθετου άξονα Ix + Iy =Iz
