Παράγωγα υψηλότερης τάξης
Η παράγωγος πρώτης τάξης είναι η παράγωγος μιας συνάρτησης που καθορίζεται από μια μεταβλητή ή η παράγωγος μιας εξαρτημένης μεταβλητής σε σχέση με μια ανεξάρτητη μεταβλητή. Οι παράγωγοι υψηλότερης τάξης είναι παράγωγοι σε ένα σημείο που επιλέγονται από δύο μεταβλητές. Για παράδειγμα, αν λάβετε την κλίση μιας εφαπτομένης σε κάποιο σημείο, όπως σε ένα γράφημα, τότε αυτή είναι μια παράγωγος πρώτης τάξης. Μια παράγωγος δεύτερης τάξης μας δίνει τη δυνατότητα να κατανοήσουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης.
Παράγωγο δεύτερης τάξης
Για να κατανοήσουμε τι είναι παράγωγος δεύτερης τάξης, πρέπει πρώτα να καταλάβουμε τι είναι παράγωγος. Μια παράγωγος σας δίνει την κλίση μιας συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο. Μια παράγωγος δεύτερης τάξης είναι η παράγωγος μιας συνάρτησης της παραγώγου της. Για τη δημιουργία του χρησιμοποιείται η παράγωγος πρώτης τάξης. Έτσι παίρνουμε πρώτα την παράγωγο μιας συνάρτησης και μετά σχεδιάζουμε την παράγωγο της πρώτης παραγώγου. Μια παράγωγος πρώτης τάξης συμβολίζεται με f'(x) ή dy/dx, ενώ μια παράγωγος δεύτερης τάξης συμβολίζεται με f”(x) ή d2ydx2.
Τα σημεία κοιλότητας και κάμψης μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας μια παράγωγο δεύτερης τάξης.
Παράγωγα πρώτης και δεύτερης τάξης
Η παράγωγος της πρώτης παραγώγου μιας δεδομένης συνάρτησης είναι η παράγωγος δεύτερης τάξης.
Η πρώτη παράγωγος εμφανίζει γραφικά την κλίση της συνάρτησης σε μια δεδομένη θέση, ενώ η δεύτερη παράγωγος εξηγεί πώς η κλίση μεταβάλλεται όταν αλλάζει μια ανεξάρτητη μεταβλητή στο γράφημα. Η δεύτερη παράγωγος μιας συνάρτησης με μεταβαλλόμενη κλίση εξηγεί την καμπυλότητα του γραφήματος.
Παραδείγματα παραγώγων δεύτερης τάξης:
-
Δίνεται:y =log x, Εύρεση d2ydx2;
Απάντηση:
Τώρα ως συνάρτηση, y =log x
Τότε dy/dx =d/dx είναι η πρώτη παράγωγος (log x)
dy/dx =(1 / x)
Θα το ξεχωρίσουμε ακόμη περισσότερο για να ανακαλύψουμε τη δεύτερη παράγωγο,
d2ydx2 =ddxdydx
=ddx1x
=-1×2
Θα το ξεχωρίσουμε ακόμη περισσότερο για να ανακαλύψουμε τη δεύτερη παράγωγο,
d²y/dx² =d/dx (dy/dx)
=d/dx (πρώην (5cos5x + sin5x))
=ex(5(-sin5x)5 + 5cos5x) + (5cos5x + sin5x)(ex)
=ex(10cos5x – 24sin5x)
=2ex(5cos5x – 12sin5x)
Παράγωγα δεύτερης τάξης απεικονίζονται γραφικά
Σε γενικές γραμμές, υπάρχουν δύο τρόποι μέτρησης της κλίσης μιας συνάρτησης:η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος. Η πρώτη παράγωγος μας λέει την τιμή της κλίσης σε ένα συγκεκριμένο σημείο. Η πρώτη παράγωγος είναι η κλίση μιας καμπύλης σε ένα καθορισμένο σημείο. Με άλλα λόγια, η κλίση της εφαπτομένης σε μια καμπύλη σε εκείνο το σημείο.
Η δεύτερη παράγωγος δείχνει πόσο γρήγορα μπορεί να αλλάξει η πρώτη παράγωγος. Εάν έχετε παρακολουθήσει ένα μάθημα λογισμού, θα είστε εξοικειωμένοι με αυτήν την έννοια. Για να υπολογιστεί η παράγωγος, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί πρώτα η εξίσωση της καμπύλης. Αυτό μπορεί να γίνει με μαθηματικές ή γραφικές μεθόδους. Κατά τον υπολογισμό των παραγώγων, θα σας ζητηθεί να λάβετε δύο παράγωγα:ένα σε σχέση με το χρόνο και ένα σε σχέση με τα χρήματα, τις πωλήσεις κ.λπ., ανάλογα με το πλαίσιο του προβλήματος της επιχείρησής σας.
Όταν μια συνάρτηση έχει μια δεύτερη παράγωγο, η καμπυλότητα του γραφήματος ή της κοιλότητας μπορεί να φανεί στο γράφημα. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης εμφανίζεται κατακόρυφα κοίλη εάν ο παράγωγος συντελεστής δεύτερης τάξης είναι θετικός.
Κοιλότητα συνάρτησης
Επιτρέψτε στη f(x) να είναι μια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση σε ένα βολικό διάστημα. Η γραφική παράσταση του f(x) μπορεί επομένως να ταξινομηθεί ως εξής:
Κοίλη προς τα πάνω:Εάν η τιμή y αυξάνεται με ταχύτερο και ταχύτερο ρυθμό καθώς μετακινείστε από αριστερά προς τα δεξιά, αυτό το τμήμα της καμπύλης είναι κοίλο προς τα πάνω.
Κοίλη προς τα κάτω:Αυτό είναι το αντίστροφο του κοίλου προς τα πάνω, όπου η τιμή y πέφτει από αριστερά προς τα δεξιά, ονομάζεται κοίλη προς τα κάτω.
Σημεία καμπής:Οι θέσεις καμπής είναι σημεία όπου η κοιλότητα της συνάρτησης αλλάζει, για παράδειγμα, από "κοίλη προς τα πάνω" σε "κοίλη προς τα κάτω".
Οι τοπικές μέγιστες ή χαμηλότερες τιμές σημείου καμπής καθορίζονται από τη δεύτερη παράγωγο μιας συνάρτησης. Αυτά μπορούν να αναγνωριστούν χρησιμοποιώντας τα ακόλουθα κριτήρια:
Αν το f”(x) είναι -ve, τότε η συνάρτηση f(x) έχει τοπικό μέγιστο στο x.
Η συνάρτηση f(x) έχει τοπικό ελάχιστο στο x αν η f”(x) είναι +ve.
Αν f”(x) =0, είναι αδύνατο να εξαχθούν συμπεράσματα για το σημείο x.
Για να διευκρινιστεί γιατί η δεύτερη παράγωγος παράγει αυτά τα αποτελέσματα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια σύγκριση πραγματικού κόσμου. Σκεφτείτε ένα όχημα που επιταχύνει γρήγορα αλλά αρχικά έχει αρνητική επιτάχυνση. Η θέση του οχήματος καθώς η ταχύτητα πλησιάζει το μηδέν θα είναι ξεκάθαρα η μέγιστη απόσταση από το σημείο εκκίνησης. πέρα από αυτό το διάστημα, η ταχύτητα θα γίνει αρνητική και το όχημα θα κάνει όπισθεν.
Συμπέρασμα
Η παράγωγος της πρώτης παραγώγου μιας δεδομένης συνάρτησης είναι η παράγωγος δεύτερης τάξης. Η πρώτη παράγωγος εμφανίζει γραφικά την κλίση της κλίσης σε μια δεδομένη θέση, ενώ η δεύτερη παράγωγος εξηγεί πώς η κλίση μεταβάλλεται όταν αλλάζει μια ανεξάρτητη μεταβλητή στο γράφημα. Η δεύτερη παράγωγος μιας συνάρτησης με μεταβαλλόμενη κλίση εξηγεί την καμπυλότητα του γραφήματος.
