Διαφορικές και ολοκληρωτικές μορφές του μηδενός
Η εξίσωση του Maxwell χρησιμοποιήθηκε για να περιγράψει αυτό που σήμερα γνωρίζουμε ως "Κλασικός ηλεκτρομαγνητισμός". Ας δούμε ποιοι είναι οι νόμοι:
Νόμος του Gauss:Στον ηλεκτρομαγνητισμό, ο νόμος του Gauss ονομάζεται συχνά θεώρημα ροής του Gauss, το οποίο συσχετίζει τα ηλεκτρικά φορτία με το ηλεκτρικό πεδίο που προκύπτει.
Νόμος του Gauss του μαγνητισμού:Η μαγνητική ροή οποιασδήποτε κλειστής επιφάνειας είναι πάντα μηδενική λόγω της μη ύπαρξης μεμονωμένων μαγνητικών πόλων ή μονοπόλων.
Νόμος του Faraday:Οποιαδήποτε αλλαγή στο μαγνητικό πεδίο της επιφάνειας δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο. Αυτό το φαινόμενο είναι γνωστό ως ηλεκτρομαγνητική επαγωγή.
Νόμος του Ampere:Συσχετίζει τον μαγνητισμό με τον ηλεκτρισμό δηλώνοντας τη σχέση μαγνητικού πεδίου και ηλεκτρικού ρεύματος και την αλλαγή του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργεί το μαγνητικό πεδίο.
Ολοκληρωμένες φόρμες
Η εξίσωση Maxwell βοηθά να δηλωθεί μια περιοχή ρεύματος ή αλλαγής του ρεύματος στις ολοκληρωμένες μορφές της.
Νόμος του Gauss
Το θεώρημα ροής του Gauss δηλώνει ότι το ηλεκτρικό πεδίο που προκύπτει από μια κλειστή επιφάνεια είναι πάντα ανάλογο με το ηλεκτρικό φορτίο που μεταφέρει ανεξάρτητα από την κατανομή φορτίου στην κλειστή επιφάνεια. Το θεώρημα του Gauss μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη διαφορική του μορφή σε περιπτώσεις όπου η συμμετρία δεν επιβάλλει την ομοιομορφία του ηλεκτρικού πεδίου. Η διαφορική μορφή του θεωρήματος δηλώνει ότι η απόκλιση του ηλεκτρικού πεδίου είναι ανάλογη με την πυκνότητα του φορτίου στην επιφάνεια
Ο νόμος του Gauss είναι
ΦE =Q/ε0
όπου το ΦΕ αντιπροσωπεύει την ηλεκτρική ροή (ορίζεται επίσης ως αναπόσπαστο ή επιφανειακό ολοκλήρωμα ηλεκτρικού πεδίου) μέσω μιας επιφάνειας S οποιουδήποτε κλειστού όγκου V,
ΤοQ αντιπροσωπεύει τη συνολική φόρτιση που περικλείεται στον τόμο V και
ε0 είναι η ηλεκτρική σταθερά.
ΦE =E.dA
όπου το E αντιπροσωπεύει το ηλεκτρικό πεδίο στην κλειστή επιφάνεια S και
dA είναι το διάνυσμα του απειροελάχιστου εμβαδού της επιφάνειας S.
Το θεώρημα του Gauss είναι
∫s E.dA =1/ε0 ∫Q dV
Δεδομένου ότι η ροή είναι ολοκλήρωμα ενός ηλεκτρικού πεδίου, αυτή η έκφραση του θεωρήματος του Gauss είναι γνωστή ως ολοκληρωτική μορφή.
Νόμος του Μαγνητισμού του Gauss
Ο νόμος του Gauss του μαγνητισμού δηλώνει ότι καθώς δεν υπάρχει μονόπολο, το μαγνητικό φορτίο που δημιουργείται σε οποιαδήποτε επιφάνεια ή χώρο πρέπει πάντα να αθροίζεται στο 0. Τα μαγνητικά δίπολα μπορούν να δημιουργήσουν ανάλογη μαγνητική ροή γύρω από μια επιφάνεια που έχει παρόμοια μαθηματικά τύπος ή έκφραση,
∫s B.dA =0, όπου B είναι το μαγνητικό πεδίο.
Νόμος του Faraday
Το θεώρημα του Faraday δηλώνει ότι, σε έναν κλειστό βρόχο, οποιαδήποτε αλλαγή στη μαγνητική ροή οδηγεί σε ηλεκτρικό πεδίο. Ονομάζεται Ηλεκτρομαγνητική Επαγωγή. Αυτός ο νόμος ορίζει ότι ένας αγωγός που εκτίθεται σε ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο θα προκαλέσει ρεύμα.
Ο νόμος είναι
∫loop E.ds =-d/dt ∫s B.dA
Νόμος του Αμπέρ
Ο νόμος του Ampere δηλώνει ότι όταν ένα σταθερό ρεύμα ρέει μέσα από οποιαδήποτε επιφάνεια, θα δημιουργήσει ένα μαγνητικό πεδίο ή μια ροή. Οποιεσδήποτε αλλαγές στην ηλεκτρική ροή (εκφρασμένες ως (d/dt E. dA) θα έχουν επίσης ως αποτέλεσμα αλλαγές στο μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται.
Ο νόμος είναι
∫loop B.ds =μ0∫s J.dA + μ0ε0 d/dt ∫s E. dA
Διαφορικές φόρμες
Διαφορικές μορφές της εξίσωσης του Maxwell μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να δηλώσουν την εφαρμογή των νόμων σε μεμονωμένα σημεία του χώρου.
Νόμος του Gauss
Στη διαφορική μορφή του νόμου του Gauss ή του θεωρήματος της απόκλισης, η αναπαράσταση επιφανειακού ολοκληρώματος για μια κλειστή επιφάνεια ή περιοχή εκφράζεται επίσης ως το ολοκλήρωμα όγκου εντός της περιοχής έναντι μιας απόκλισης.
Το θεώρημα της απόκλισης είναι
1/ε0 ∫∫∫ Q.dV =∫sE.dA =∫∫∫∇.E dV
Δεδομένου ότι η δήλωση ισχύει για οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια, τα ολοκληρώματα θα είναι πάντα ίσα. Μπορεί να δηλωθεί ως
∇. E =Q/ε0
Νόμος του Μαγνητισμού του Gauss
Η διαφορική μορφή του νόμου του Gauss του μαγνητισμού είναι η ίδια με αυτή της ολοκληρωμένης μορφής καθώς δηλώνει ότι λόγω της μη ύπαρξης μονοπόλων, το μαγνητικό φορτίο οποιασδήποτε κλειστής επιφάνειας πρέπει πάντα να αθροίζεται σε 0 .
Για να κατανοήσουμε τη διαφορική μορφή του νόμου του Faraday και του νόμου του Ampere, πρέπει να συζητήσουμε το θεώρημα του Stoke.
Θεώρημα Στόουκ
Το θεώρημα του Stoke, που ονομάζεται επίσης Γενικευμένο Θεώρημα Stokes, δηλώνει ότι το ολοκλήρωμα ευθείας σχετίζεται με ένα επιφανειακό ολοκλήρωμα ενός διανυσματικού πεδίου. Λέει ότι το επιφανειακό ολοκλήρωμα της καμπύλης μιας συνάρτησης πάνω από μια κλειστή επιφάνεια θα είναι ίσο με το ολοκλήρωμα γραμμών οποιασδήποτε διανυσματικής συνάρτησης στην ίδια επιφάνεια.
Νόμος του Faraday
Η διαφορά του νόμου του Faraday είναι
∫loop E.ds =– d/dt ∫s B.dA
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Stoke στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης για να εξισώσουμε τα ολοκληρώματα,
∫s ∇. E dA =– d/dt ∫s B.dA
Δεδομένου ότι το θεώρημα ισχύει για οποιαδήποτε κλειστή επιφάνεια, τα δύο ολοκληρώματα μπορούν να πραγματοποιηθούν ως ίσα και να παρασταθούν ως
∇. E =dB/dt
Νόμος του Αμπέρ
Όπως έγινε για τον νόμο του Faraday, μπορούμε να επικαλεστούμε το θεώρημα του Stoke στο νόμο του Ampere αντικαθιστώντας το ολοκλήρωμα ευθείας του ∫B.ds με τη μορφή του επιφανειακού ολοκληρώματος της μπούκλας του B ως
∫loop B.ds =∫επιφάνεια ∇x B dA
Όπως ορίζει ο νόμος του Ampere,
∫loop B.ds =μ0∫s J.dA + μ0ε0 d/dt ∫s E. dA
Καθώς το επιφανειακό ολοκλήρωμα μπορεί να ληφθεί για οποιαδήποτε αυθαίρετη κλειστή επιφάνεια, επομένως τα ολοκληρώματα είναι ίσα και μπορούν να εκφραστούν ως
∇x B =μ0 J + μ0 ε0 dE/dt
Συμπέρασμα
Επομένως, η εξίσωση του Maxwell αποτελείται από τέσσερις εξισώσεις – τον νόμο του Gauss, τον νόμο του Gauss του μαγνητισμού, τον νόμο του Faraday και τον νόμο του Ampere – που εκφράζεται ως η αλλαγή του ρεύματος σε οποιαδήποτε περιοχή στις ολοκληρωμένες μορφές της. Όταν δηλώνονται ως ένα συγκεκριμένο σημείο στο χώρο ή εντός της περιοχής, αυτές οι εξισώσεις μπορούν να αναπαρασταθούν με τις διαφορικές τους μορφές. Η ολοκληρωμένη μορφή λαμβάνει υπόψη ολόκληρη την περιοχή του ρεύματος και τις αλλαγές στο ρεύμα, και η διαφορική μορφή εξετάζει ένα συγκεκριμένο σημείο της επιφάνειας ή του χώρου.
