Διτετραγωνικές Αντικαταστάσεις
Οι διτετραγωνικές εξισώσεις και οι αντικαταστάσεις τους χρησιμοποιούνται για την επίλυση πολλών πολυωνυμικών εξισώσεων και την εξαγωγή των συντελεστών τους. Δεδομένου ότι οι πολυωνυμικές εξισώσεις είναι δύσκολο να λυθούν, οι Διτετραγωνικές Εξισώσεις σχηματίστηκαν για να κάνουν τη διαδικασία εύκολη. Όλες οι διτετραγωνικές εξισώσεις είναι πολυωνυμικές εξισώσεις, αλλά όλες οι πολυωνυμικές εξισώσεις δεν είναι διτετραγωνικές εξισώσεις. Μια βασική κατανόηση αυτής της εξίσωσης είναι ότι εάν μια εξίσωση έχει έναν περιττό όρο, αυτή η αντικατάσταση δεν είναι εφαρμόσιμη. Οι διτετραγωνικές αντικαταστάσεις αποτελούν αναπόσπαστο μέρος των θεωριών της αόριστης ολοκλήρωσης που περιλαμβάνει τετραγωνικές και διτετραγωνικές εξισώσεις.
Τι είναι οι διτετραγωνικές αντικαταστάσεις και η διτετραγωνική εξίσωση;
Σε τυπικούς όρους, η αλγεβρική εξίσωση είναι γνωστή ως τετραγωνική εξίσωση. Η κύρια εφαρμογή σε διτετραγωνικές εξισώσεις είναι τέτοια που δεν μπορεί να εφαρμοστεί σε εξισώσεις που έχουν περιττό βαθμό. Μια πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να μετατραπεί σε διτετραγωνική εξίσωση ή να αποτελεί μέρος Διτετραγωνικών Αντικαταστάσεων.
Η τεχνική που χρησιμοποιείται στη διαδικασία αυτής της μετατροπής είναι η τεχνική της υπόθεσης. Σε αυτή την τεχνική, μια μεταβλητή με έναν ορισμένο βαθμό μπορεί να μετατραπεί σε άλλη μεταβλητή. Η υπόθεση λαμβάνει χώρα έτσι ώστε η εξίσωση να μετατραπεί σε τετραγωνική εξίσωση. Οι διτετραγωνικές εξισώσεις έχουν μελετηθεί για μεγάλο χρονικό διάστημα. Υπάρχουν δύο είδη αλγεβρικών μεθόδων που χρησιμοποιούνται για την επίλυση των εξισώσεων.
Είναι η λύση της Ferrari και η λύση του Ντεκάρτ. Σύμφωνα με τη Λύση της Ferrari, κάθε πολυωνυμική εξίσωση με κύριο συντελεστή με τιμή 1 και βαθμό είναι ένας περιττός αριθμός και έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα και έχει μια πραγματική ρίζα που έχει αντίθετο πρόσημο από τον τελευταίο όρο της.
Σύμφωνα με τη λύση του Descarte, δεν υπάρχει πιθανότητα ύπαρξης ενός γενικού τύπου που να εκφράζεται σε αλγεβρικές πράξεις. Τέτοιες πράξεις αποτελούν μέρος των πολυωνυμικών εξισώσεων για τις ρίζες της εξίσωσης εάν ο βαθμός της εξίσωσης είναι μεγαλύτερος από 4. Αυτό μπορεί να βοηθήσει στην εξαγωγή της λύσης για την ερώτηση "Τι είναι η Διτετραγωνική Υποκατάσταση;"
Πώς να λύσετε οποιαδήποτε διτετραγωνική εξίσωση;
Υπάρχουν δύο μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την επίλυση της Διτετραγωνικής Εξίσωσης. Οι Διτετραγωνικές Αντικαταστάσεις αποτελούν επίσης μέρος αυτών των θεωριών. Είναι η λύση της Ferrari και η λύση του Descarte.
Η λύση της Ferrari μπορεί να γίνει κατανοητή με τη βοήθεια των παρακάτω παραδειγμάτων.
a4 – 2a3 – 5a2 + 10a – 3 =0
Εδώ, το τετραγωνικό πολυώνυμο μπορεί να προστεθεί και στις δύο πλευρές. Το επόμενο βήμα πρέπει να γίνει έτσι ώστε τα α και β να επιλεγούν έτσι ώστε η αριστερή πλευρά του αριθμού να γίνει τέλειο τετράγωνο. Όταν η τιμή του k είναι άγνωστη, πρέπει να επιλεγούν τα a και b. Μετά από αυτό, φτάνουμε σε μια κυβική εξίσωση που ονομάζεται κυβικό διαλυτή της διτετραγωνικής λύσης που δίνεται. Αυτό προέκυψε εξαλείφοντας τόσο το a όσο και το b από την εξίσωση. Εδώ επιλέγεται είτε μία από τις κυβικές ρίζες.
Η λύση του Descarte μπορεί να γίνει κατανοητή με τη βοήθεια της ακόλουθης εξίσωσης:
Εδώ, υποτίθεται ότι λύνουμε τις δευτεροβάθμιες εξισώσεις για να εξαγάγουμε τις 4 ρίζες του αρχικού quartic. Σε αυτήν την έκφραση:
a4 – 2a3 – 5a2 + 10a – 3 =0
Ο όρος του κύβου πρέπει να αφαιρεθεί και η εξίσωση προκύπτει περαιτέρω. Η αριστερή πλευρά γίνεται το γινόμενο τετραγωνικών πολυωνύμων. Κατά την επίλυση αυτών των εξισώσεων, πρέπει να έχουμε κατά νου ότι οι συντελεστές του y σε όλους αυτούς τους παράγοντες είναι k και -k, καθώς το γινόμενο δεν περιέχει κανέναν από τους όρους με το y3.
Τώρα αυτή η εξίσωση έχει μια πραγματική ρίζα και μια θετική ρίζα.
Αυτό δίνει μια σαφή κατανόηση του ερωτήματος "Τι είναι η Διτετραγωνική Υποκατάσταση;"
Τι είναι οι Τετραγωνικές Εξισώσεις;
Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι μια εξίσωση που μπορεί να αναδιαταχθεί στην τυπική τους μορφή. Είναι μια πολυωνυμική εξίσωση δεύτερης τάξης που περιλαμβάνει μια μεμονωμένη μεταβλητή x a+2+bx+c=0. Εδώ, το α δεν ισούται με μηδέν. Εφόσον μια τετραγωνική εξίσωση αποτελεί μέρος πολυωνυμικών εξισώσεων δεύτερης τάξης, είναι εγγυημένο ότι έχει τουλάχιστον μία λύση. Και αυτή η λύση μπορεί να είναι είτε πραγματική είτε σύνθετη.
Διακρίσεις μεταξύ διτετραγωνικών και τετραγωνικών εξισώσεων
Οι βασικές διακρίσεις μεταξύ διτετραγωνικών και τετραγωνικών εξισώσεων είναι τέτοιες που ένα τεταρτημόριο σχετίζεται με τον τέταρτο βαθμό. Αντίθετα, οι διτετραγωνικές είναι πολυωνυμικές εκφράσεις που περιλαμβάνουν τη 2η και 4η δύναμη των μεταβλητών. Η άλλη διαφορά είναι ότι το τετράγωνο είναι μια αλγεβρική εξίσωση ή η συνάρτηση των τέταρτων όρων ενώ η άλλη είναι διτετραγωνική. Επίσης, τα τετραγωνικά είναι τετράγωνα, ενώ τα διτετραγωνικά είναι πολυωνυμικές εκφράσεις με τη 2η και 4η δύναμη μιας μεταβλητής. Οι εξισώσεις του quartic έχουν τη γενική μορφή ως ax2 + bx + c =0, ενώ η διτετραγωνική εξίσωση έχει τη γενική της μορφή ως ax4 + hx3 + cx2 + dx + e =0. Μια τυπική τετραγωνική εξίσωση μπορεί επίσης να γραφτεί ως ax4 + hx3 + cx2 + dx + e =0.
Πολλοί τύποι Διτετραγωνικής Υποκατάστασης αποτελούν μέρος αυτής της θεωρίας.
Συμπέρασμα
Υπάρχουν πολλά κοινά λάθη που γίνονται στις Διτετραγωνικές Αντικαταστάσεις που πρέπει να διορθωθούν κατά την αντιμετώπιση των πολυωνυμικών εξισώσεων. Μερικά από αυτά τα λάθη περιλαμβάνουν την πτώση του ± κατά τη ρίζα των παραγόντων, κ.λπ. Γενικά, στη διαδικασία μελέτης των εννοιών των Διτετραγωνικών Αντικαταστάσεων στις θεωρίες των πολυωνυμικών εξισώσεων, μπορεί να συναντήσουμε πολλούς κανόνες γινομένων και πηλίκων.
