Εφαρμογές ανάλυσης διαστάσεων:-

Η ανάλυση διαστάσεων αναλύει τις συσχετίσεις μεταξύ φυσικών μεγεθών με βάση θεμελιώδεις ιδιότητες όπως μήκος, μάζα, χρόνος και ηλεκτρικό ρεύμα, καθώς και μονάδες μέτρησης όπως μίλια VS χιλιόμετρα ή λίβρες VS κιλά. Για να το θέσω αλλιώς, μελετάμε δύο είδη φυσικών μεγεθών στη Φυσική:βασικά και παράγωγα. Μάζα, μήκος, ποσότητα ουσίας, χρόνος, φωτεινή ένταση και ηλεκτρικό ρεύμα είναι οι επτά θεμελιώδεις μονάδες. Λαμβάνουμε παράγωγες ποσότητες όταν συνδυάζουμε δύο ή περισσότερες θεμελιώδεις μονάδες. Στην ανάλυση διαστάσεων , η μάζα θα πρέπει να αντιπροσωπεύεται με M , το μήκος θα πρέπει να αντιπροσωπεύεται από το L , ο χρόνος πρέπει να αντιπροσωπεύεται από το T και ούτω καθεξής.

Σημασία της ανάλυσης διαστάσεων:-

1. Η διάσταση των σταθερών σε μια συγκεκριμένη σχέση πρέπει να καθοριστεί. Είναι δυνατή η μετατροπή ενός τύπου μονάδας σε έναν άλλο τύπο μονάδας.
2. Μπορεί να ελεγχθεί η ακρίβεια μιας εξίσωσης. Επαλήθευση της ακρίβειας οποιασδήποτε εξίσωσης (δηλαδή, της ακρίβειας διαφόρων τύπων).
3. Για να αλλάξετε την τιμή μιας φυσικής ποσότητας από ένα σύστημα μονάδας σε άλλο. Διαφορετικές ποσότητες μπορούν να συνδυαστούν για την κατασκευή μιας εξίσωσης.
4. Για εναλλαγή από ένα σύστημα μονάδας σε άλλο. Μπορεί να προσδιοριστεί η μονάδα μιας φυσικής ποσότητας.
5. Για να βεβαιωθείτε ότι μια φυσική εξίσωση είναι σωστή. Είναι δυνατό να ανακαλύψετε τη λύση σε ένα φυσικό πρόβλημα. Για να διασφαλίσετε ότι μια δεδομένη εξίσωση είναι διαστατικά σωστή.
6. Για να υπολογίσετε τη σχέση μεταξύ διαφορετικών φυσικών μεγεθών. Σε ένα δεδομένο σύστημα μονάδων, προσδιορίστε το μέγεθος και τις μονάδες μιας φυσικής ποσότητας.
7. Για να προσδιορίσετε τη σχέση μεταξύ πολλών φυσικών μεγεθών σε ένα φυσικό συμβάν. Για να διασφαλίσετε ότι η φυσική σχέση είναι ακριβής.

Χρήσεις ανάλυσης διαστάσεων:-

1. Για να μετατρέψετε μονάδες ενός συστήματος σε μονάδες ενός άλλου συστήματος:- Το γινόμενο της αριθμητικής τιμής ενός φυσικού μεγέθους και της αντίστοιχης μονάδας του είναι μια σταθερά. Για π.χ. αν οι αριθμητικές τιμές μιας φυσικής ποσότητας p και n1 και n2 σε δύο διαφορετικά συστήματα και οι αντίστοιχες μονάδες είναι u1 και u2, τότε

    p=n1 u1=n2(u2)

• Για να ελέγξετε την ορθότητα της εξίσωσης:- Κάθε εξίσωση που σχετίζεται με φυσικά μεγέθη σε ισορροπία διαστάσεων. Σημαίνει ότι οι διαστάσεις όλων των όρων και στις δύο πλευρές μιας φυσικής ποσότητας πρέπει να είναι ίδιες. Αυτό ονομάζεται αρχή της ομοιογένειας της διάστασης. Ο λόγος πίσω από μόνο παρόμοιες ποσότητες μπορεί να εξισωθεί.

• Για να δημιουργήσετε τη σχέση μεταξύ διαφόρων Φυσικών Μεγεθών :- Αν γνωρίζουμε τους παράγοντες από τους οποίους μπορεί να εξαρτάται μια δεδομένη φυσική ποσότητα, τότε, χρησιμοποιώντας διαστάσεις, μπορούμε να βρούμε έναν τύπο που να συσχετίζει την ποσότητα με αυτούς τους παράγοντες. Για παράδειγμα, βρείτε τη χρονική περίοδο ενός εκκρεμούς , τη συχνότητα μιας τεντωμένης χορδής κ.λπ.

Περιορισμοί της ανάλυσης διαστάσεων

1. Αυτή η μέθοδος δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό της τιμής αδιάστατων σταθερών. Τα τρισδιάστατα μεγέθη L, M και T χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία εξισώσεων διαστάσεων. Ωστόσο, εάν μια άγνωστη ποσότητα βασίζεται σε περισσότερες από αυτές τις τρεις μεταβλητές, δεν θα μπορούμε να δημιουργήσουμε εξισώσεις διαστάσεων για αυτήν. Η διαστατική εξίσωση της θερμικής αγωγιμότητας, για παράδειγμα, δεν μπορεί να αναπαρασταθεί αποκλειστικά με όρους L, M και T επειδή εξαρτάται από μια άλλη ποσότητα, τη θερμοκρασία.
2. Επιπλέον, δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε την τιμή μιας αδιάστατης ποσότητας, δηλαδή μιας σταθεράς, χρησιμοποιώντας μια διαδικασία διαστάσεων. Εάν ένα φυσικό μέγεθος εξαρτάται από περισσότερες από τρεις διαστάσεις, είναι αδύνατο να εξαχθεί μια σχέση ή τύπος. Ως αποτέλεσμα, οι εξισώσεις που περιλαμβάνουν πρόσθεση και αφαίρεση δεν μπορούν να εξαχθούν χρησιμοποιώντας την τεχνική Dimensional. Ως αποτέλεσμα, μια διαστατικά σωστή εξίσωση δεν χρειάζεται να είναι αληθής. Μια διάσταση 1/T και 2/T, για παράδειγμα, είναι ίδιες.
3. Αυτή η μέθοδος δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί εάν μια ποσότητα εξαρτάται από τριγωνομετρικές ή εκθετικές συναρτήσεις. Εξισώσεις που συνδυάζουν εκθετικές και τριγωνομετρικές συναρτήσεις δεν μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας αυτή τη μέθοδο. Είναι αδύνατο να δημιουργηθεί ένας τύπος που περιέχει τριγωνομετρικές, εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις. Είναι αδύνατο να συναχθούν εξισώσεις που χρησιμοποιούν τριγωνομετρικές, εκθετικές ή λογαριθμικές συναρτήσεις. Αυτή η προσέγγιση δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξαγωγή του y =a cos(t – kx), για παράδειγμα.
4. Εάν η φυσική ποσότητα εξαρτάται από περισσότερες από τρεις άγνωστες μεταβλητές, δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Δεν ελέγχει αν κάτι είναι βαθμωτό ή διάνυσμα. Εάν ένα φυσικό μέγεθος στη μηχανική εξαρτάται από περισσότερα από τρία φυσικά μεγέθη, αυτή η μέθοδος δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη δημιουργία ενός τύπου (μάζα, μήκος, χρόνος).
5. Μπορεί να είναι δύσκολο να μαντέψει κανείς τα συστατικά κατά τον προσδιορισμό της σχέσης μεταξύ δύο ή περισσότερων φυσικών μεγεθών σε ορισμένες περιπτώσεις. Δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα με περισσότερες από τρεις φυσικές μεταβλητές. Είναι αδύνατο να εξαχθεί μια σχέση από μια εξίσωση με περισσότερα από ένα στοιχεία.

Συμπέρασμα:-

Η μελέτη της σχέσης μεταξύ φυσικών μεγεθών με βάση τις μονάδες και τις διαστάσεις τους είναι γνωστή ως ανάλυση διαστάσεων. Χρησιμοποιείται για την αλλαγή της μορφής μιας μονάδας σε μια άλλη. Είναι ζωτικής σημασίας να διατηρούνται οι μονάδες ίδιες κατά την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων προκειμένου να λυθεί γρήγορα το πρόβλημα. Η κατανόηση των διαστάσεων είναι κρίσιμη γιατί μας επιτρέπει να εξετάσουμε μαθηματικά τη φύση των φυσικών μεγεθών. Η βασική ιδέα πίσω από τις διαστάσεις είναι ότι μπορούμε μόνο να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε ποσότητες που έχουν τις ίδιες διαστάσεις. Επίσης, αν δύο φυσικά μεγέθη έχουν τις ίδιες διαστάσεις, είναι ίσα. Αυτές οι θεμελιώδεις έννοιες μας βοηθούν να σχεδιάσουμε μια νέα σχέση μεταξύ φυσικών μεγεθών, παρόμοια με τις μονάδες.