Ποια είναι η προέλευση της εξίσωσης Fokker-Planck;

Η εξίσωση Fokker-Planck, γνωστή και ως η εξίσωση Forward Kolmogorov, προέρχεται από τη μελέτη στοχαστικών διεργασιών , ιδιαίτερα η Brownian Motion . Περιγράφει την χρονική εξέλιξη της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας ενός συστήματος υπό την επίδραση τυχαίων δυνάμεων.

Ακολουθεί μια κατανομή της προέλευσής του:

1. Brownian Motion και Langevin Εξίσωση:

* Το θεμέλιο έγκειται στην παρατήρηση της κίνησης Brownian, στην φαινομενικά τυχαία κίνηση των σωματιδίων που αιωρούνται σε ένα υγρό.

* Albert Einstein και Marian Smoluchowski εξήγησε αυτή την κίνηση χρησιμοποιώντας στατιστική μηχανική, αποδεικνύοντας ότι προκαλείται από τον συνεχή βομβαρδισμό των σωματιδίων από τα μόρια του περιβάλλοντος υγρού.

* Paul Langevin Αργότερα διατύπωσε μια διαφορική εξίσωση (εξίσωση Langevin) για να μοντελοποιήσει την κίνηση ενός σωματιδίου που υπόκειται τόσο σε μια ντετερμινιστική δύναμη (π.χ. τριβή) όσο και σε τυχαία δύναμη.

2. Σύνδεση Langevin με πιθανότητα:

* Η εξίσωση Langevin περιγράφει την τροχιά ενός μόνο σωματιδίου. Για να κατανοήσουμε τη συλλογική συμπεριφορά πολλών σωματιδίων, πρέπει να συνεργαστούμε με κατανομές πιθανότητας.

* Andrey Kolmogorov και adriaan fokker Ανεξάρτητα ανέπτυξε την εξίσωση Fokker-Planck εφαρμόζοντας μια πιθανοτική προσέγγιση στην εξίσωση Langevin.

3. Παράγοντας:

* Χρησιμοποίησαν την ιδέα μιας εξίσωσης διάχυσης , η οποία περιγράφει την εξάπλωση μιας ουσίας λόγω τυχαίας κίνησης.

* Λαμβάνοντας υπόψη τους όρους μετατόπισης και διάχυσης στην εξίσωση Langevin, προέκυψαν μια μερική διαφορική εξίσωση που διέπει την εξέλιξη του χρόνου της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας.

4. Βασικές συνεισφορές:

* fokker επικεντρώθηκε στην εξαγωγή της εξίσωσης από ένα συγκεκριμένο φυσικό μοντέλο, ενώ Planck εργάστηκε στο μαθηματικό του πλαίσιο.

* Kolmogorov Αργότερα γενικεύτηκε η εξίσωση για να περιγράψει μια ευρύτερη κατηγορία στοχαστικών διαδικασιών, οδηγώντας στο όνομα Kolmogorov προς τα εμπρός εξίσωση.

Στην ουσία, η εξίσωση Fokker-Planck γεφυρώνει το χάσμα μεταξύ της ντετερμινιστικής περιγραφής της μεμονωμένης κίνησης σωματιδίων (εξίσωση Langevin) και της πιθανοτικής περιγραφής της συλλογικής συμπεριφοράς πολλών σωματιδίων (συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας)

Εφαρμογές:

Η εξίσωση Fokker-Planck έχει βρει ευρέως διαδεδομένες εφαρμογές σε διάφορους τομείς, συμπεριλαμβανομένων:

* Φυσική: Brownian κίνηση, διαδικασίες διάχυσης, φυσική πλάσματος

* Χημεία: Χημική κινητική, συστήματα διάχυσης αντίδρασης

* Βιολογία: Δυναμική πληθυσμού, γονιδιακή έκφραση

* χρηματοδότηση: Μοντέλα τιμολόγησης επιλογών, τιμολόγηση περιουσιακών στοιχείων

Είναι ένα ισχυρό εργαλείο για την κατανόηση και την πρόβλεψη της συμπεριφοράς των συστημάτων που υπόκεινται σε τυχαίες διακυμάνσεις.