Carnot's Cycle Proof

Τι είναι η απόδειξη ή το θεώρημα του κύκλου του Carnot;

Η θερμική μηχανή του Carnot είναι μια ιδανική θερμική μηχανή που λειτουργεί στον κύκλο Carnot. Ο Nicolas Leonard Sadi Carnot ανέπτυξε το μοντέλο για αυτόν τον κινητήρα το 1824. Η λειτουργία του είναι παρόμοια με τη θερμική μηχανή και βασίζεται στο δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής.

Δεύτερος θερμοδυναμικός νόμος

Δεν είναι δυνατός ο σχεδιασμός μιας θερμικής μηχανής που λειτουργεί σε κυκλική διαδικασία και της οποίας το μόνο αποτέλεσμα είναι να παίρνει θερμότητα από ένα σώμα σε μία μόνο θερμοκρασία και να τη μετατρέπει πλήρως σε μηχανικό έργο.

Αυτή η δήλωση του δεύτερου νόμου ονομάζεται δήλωση Kelvin-Planck.

Μπορεί κανείς να μετατρέψει πλήρως τη μηχανική εργασία σε θερμότητα, αλλά δεν μπορεί να μετατρέψει πλήρως τη θερμότητα σε μηχανική εργασία. Από αυτή την άποψη, η θερμότητα και η εργασία δεν είναι ισοδύναμες. Θα μελετήσουμε τώρα μερικές άλλες πτυχές του δεύτερου νόμου της θερμοδυναμικής.

Θερμικός κινητήρας

Η συσκευή που χρησιμοποιείται για τη μετατροπή της θερμικής ενέργειας σε μηχανική ονομάζεται θερμική μηχανή. Για τη μετατροπή της θερμότητας σε εργασία με τη βοήθεια θερμικής μηχανής, πρέπει να πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

• Θα πρέπει να υπάρχει ένα σώμα σε υψηλότερη θερμοκρασία «Τ1» από το οποίο εξάγεται θερμότητα, που ονομάζεται πηγή.

• Το σώμα του κινητήρα περιέχει μια λειτουργική ουσία.

• Θα πρέπει να υπάρχει ένα σώμα σε χαμηλότερη θερμοκρασία 'T2' στο οποίο μπορεί να απορριφθεί η θερμότητα, που ονομάζεται νεροχύτη.

Λειτουργία θερμικής μηχανής

Το σχηματικό διάγραμμα της θερμικής μηχανής δίνεται παρακάτω.

Ο κινητήρας αντλεί μια ποσότητα "Q1" θερμότητας από την πηγή.

Ένα μέρος αυτής της θερμότητας μετατρέπεται σε έργο "W". Η υπολειπόμενη θερμότητα "Q", απορρίπτεται στον νεροχύτη.

Έτσι   

Q1 =W+Q2

ή η εργασία που γίνεται από τον κινητήρα δίνεται από

W=Q1-Q2

Απόδοση θερμικής μηχανής

Η απόδοση της θερμικής μηχανής (𝛈) ορίζεται ως το κλάσμα της συνολικής θερμότητας που παρέχεται στον κινητήρα και μετατρέπεται σε εργασία.

Μαθηματικά,

Από 𝛈=  W/Q1

Ή 𝛈=Q1-Q2/Q1 =1-Q2/Q1

Η θερμική μηχανή του Carnot

Ο κινητήρας Carnot είναι μια ιδανική θερμική μηχανή που λειτουργεί στον κύκλο Carnot. Το μοντέλο για αυτόν τον κινητήρα αναπτύχθηκε από τον Nicolas Leonard Sadi Carnot το 1824. Τα διάφορα μέρη του φαίνονται παρακάτω.

Πηγή:Είναι μια δεξαμενή θερμικής ενέργειας με αγώγιμη κορυφή που διατηρείται σε σταθερή θερμοκρασία T1 K. Η πηγή είναι τόσο μεγάλη που η εξαγωγή οποιασδήποτε ποσότητας θερμότητας από αυτήν δεν αλλάζει τη θερμοκρασία της.

Σώμα θερμικής μηχανής :Είναι μια κάννη με τέλεια μονωτικά τοιχώματα και αγώγιμο πάτο. Είναι εφοδιασμένο με αεροστεγές έμβολο ικανό να ολισθαίνει μέσα στην κάννη χωρίς τριβές. Το βαρέλι περιέχει κάποια ποσότητα ιδανικού αερίου.

Νεροχύτης:Είναι ένα τεράστιο σώμα σε χαμηλότερη θερμοκρασία T2 με τέλεια αγώγιμη κορυφή. Το μέγεθος του νεροχύτη είναι τόσο μεγάλο που οποιαδήποτε ποσότητα θερμότητας που απορρίπτεται σε αυτόν δεν αυξάνει τη θερμοκρασία του.

Μονωτική βάση:Είναι μια βάση που αποτελείται από τέλεια μονωτικό υλικό έτσι ώστε μια κάννη που τοποθετείται πάνω της να μονώνεται πλήρως από το περιβάλλον.

Η θερμική μηχανή του Carnot λειτουργεί και ο κύκλος της 

Όταν λειτουργεί ο κινητήρας Carnot, η λειτουργική ουσία του κινητήρα υφίσταται μια διαφορετική διαδικασία γνωστή ως κύκλος Carnot. αυτός ο κύκλος περιλαμβάνει τέσσερα διαφορετικά στάδια.

1. Πρώτο στάδιο, γνωστό ως ισοθερμική διαστολή

Το βαρέλι τοποθετείται πάνω από την πηγή. Το έμβολο ωθείται σταδιακά προς τα πίσω καθώς το αέριο διαστέλλεται. Η πτώση της θερμοκρασίας, λόγω διαστολής, αντισταθμίζεται από την παροχή θερμότητας από την πηγή και κατά συνέπεια η θερμοκρασία παραμένει σταθερή.

Οι συνθήκες του αερίου αλλάζουν από A(P1, V1) σε B(P2, V2). Εάν το W1 είναι το έργο που έγινε κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας, τότε η θερμότητα Q1 που προέρχεται από την πηγή δίνεται από,

Q1 =W1 =-nRT1 loge(V2 / V1)

2. Δεύτερο στάδιο, γνωστό ως αδιαβατική επέκταση

Η κάννη αφαιρείται από την πηγή και τοποθετείται πάνω από τη μονωτική βάση. Το έμβολο ωθείται προς τα πίσω, έτσι ώστε το αέριο να διαστέλλεται αδιαβατικά, με αποτέλεσμα την πτώση της θερμοκρασίας από Τ1 σε Τ2. Οι συνθήκες του αερίου αλλάζουν από B(P2, V2) σε C(P3, V3). Εάν το W2 είναι η δουλειά που έγινε σε αυτήν την περίπτωση, τότε

W2 =nCv(T2 – T1)

3. Τρίτο στάδιο γνωστό ως ισοθερμική συμπίεση

Το βαρέλι τοποθετείται πάνω από το νεροχύτη. Το έμβολο ωθείται προς τα κάτω με τη συμπίεση του αερίου. Η θερμότητα που παράγεται λόγω της συμπίεσης ρέει στο νεροχύτη, διατηρώντας σταθερή τη θερμοκρασία του βαρελιού. Η κατάσταση του αερίου αλλάζει από  C(P3, V3) σε D(P4 , V4). Εάν W, είναι η εργασία που γίνεται σε αυτήν τη διαδικασία και Q, είναι η θερμότητα που απορρίπτεται στο νεροχύτη, τότε

W3 =-nRT2 loge(V4 / V3)

4. Τέταρτο στάδιο, γνωστό ως αδιαβατική συμπίεση

Η κάννη τοποθετείται πάνω από τη μονωτική βάση. Το έμβολο μετακινείται προς τα κάτω, συμπιέζοντας έτσι το αέριο αδιβατικά έως ότου η θερμοκρασία του αερίου αυξηθεί από T2 σε T1. Η κατάσταση του αερίου αλλάζει από D(P4 , V4) σε   A(P1, V1) . Εάν το W4 είναι η εργασία που γίνεται σε αυτήν τη διαδικασία, τότε

W4 =  nCv(T1 – T2)

 Η θερμότητα μετατρέπεται σε εργασία στον κύκλο του Carnot

Wcycle =W1 + W2 + W3 + W4

⇒ – nRT1 loge(V2 / V1) +  nCv(T2 – T1) – nRT2 loge(V4 / V3) +  nCv(T1 – T2)

⇒ -nR[ T1loge(V2 / V1) + T2 loge(V4 / V3) ] 

Για π.Χ., T1V2𝜸 – 1 =T2V3𝜸 – 1

Για DA, T1V1𝜸 – 1 =T2V4𝜸 – 1

(V2 / V1)𝜸 – 1 =(V3 / V4)𝜸 – 1 ⇒  V2 / V1 =V3 / V4

Επομένως, η καθαρή εργασία του κινητήρα κατά τη διάρκεια ενός κύκλου ισούται με την περιοχή που περικλείεται από το διάγραμμα ένδειξης του κύκλου. Αναλυτικά,

Wcycle =-nR(T1 – T2) loge(V2 / V1) 

Θεώρημα κύκλου Carnot

Ο κινητήρας Carnot είναι ένας αναστρέψιμος κινητήρας. Από τον δεύτερο θερμοδυναμικό νόμο μπορεί να αποδειχθεί ότι:

Όλοι οι αναστρέψιμοι κινητήρες που λειτουργούν μεταξύ των δύο θερμοκρασιών ίσης αξίας έχουν ίση απόδοση και κανένας κινητήρας που λειτουργεί μεταξύ των ίδιων δύο θερμοκρασιών δεν μπορεί να επιτύχει μεγαλύτερη απόδοση από αυτήν.

Το παραπάνω θεώρημα είναι γνωστό ως θεώρημα του κύκλου του Carnot. Είναι συνέπεια του δεύτερου νόμου και θέτει ένα θεωρητικό όριο 𝛈 =1-T2/T1 στη μέγιστη απόδοση των θερμικών μηχανών.

Απόδειξη του κύκλου του Carnot

Η απόδοση (𝛈) ενός κινητήρα μπορεί να περιγραφεί ως ο λόγος της χρησιμοποιούμενης θερμότητας (θερμότητα που μετατρέπεται σε εργασία) προς τη συνολική θερμότητα που παρέχεται στον κινητήρα. Έτσι,

𝛈 =| W/Q1|=|(Q1 – Q2)/Q1|

𝛈 =nR(T1 – T2) loge(V2 / V1) / nRT1 loge(V2 / V1 )  =(T1 – T2) / T1

𝛈 =1 – Q2 / Q1 =1 – T2 / T1

Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι η απόδοση του κινητήρα εξαρτάται μόνο από τη θερμοκρασία του ζεστού και του κρύου σώματα μεταξύ των οποίων λειτουργεί ο κινητήρας και βάζει ένα θεωρητικό όριο 𝛈 =1 – T2/T1

στη μέγιστη απόδοση των θερμικών μηχανών.

Μερικά σημαντικά σημεία σχετικά με τον κινητήρα του Carnot και το θεώρημά του

1. Η απόδοση ενός κινητήρα εξαρτάται από τις θερμοκρασίες μεταξύ των οποίων λειτουργεί.
2. 𝛈 είναι ανεξάρτητη από τη φύση της ουσίας εργασίας.
3. 𝛈 είναι ένα μόνο αν T2=0 Επειδή το απόλυτο μηδέν δεν είναι εφικτό, επομένως ακόμη και ένας ιδανικός κινητήρας δεν μπορεί να είναι 100% αποδοτικός.
4. 𝛈 είναι ένα μόνο αν το Q2 =0 Αλλά το 𝛈 =1 δεν είναι ποτέ δυνατό ακόμη και για έναν ιδανικό κινητήρα. Επομένως Q2 ≠ 0.
5. Επομένως, είναι αδύνατο να εξαχθεί θερμότητα από ένα μόνο σώμα και να μετατραπεί το σύνολο σε έργο.
6. Αν T2=T1 , τότε 𝛈 =0
7. Στις πραγματικές θερμικές μηχανές, υπάρχουν πολλές απώλειες λόγω τριβής κ.λπ. και διάφορες διεργασίες κατά τη διάρκεια κάθε κύκλου δεν είναι οιονείστατες, επομένως η απόδοση των πραγματικών κινητήρων είναι πολύ μικρότερη από αυτή ενός ιδανικού κινητήρα.

Συμπέρασμα

Ο κύκλος Carnot είναι ένας ιδανικός κύκλος που προβλέπει τη μέγιστη δυνατή απόδοση που μπορεί να έχει ένας κινητήρας. Ο κύκλος περιλαμβάνει τις διεργασίες σε σταθερή θερμοκρασία και σε σταθερή θερμότητα ή ισοθερμικές και αδιαβατικές διεργασίες. Έχουμε μάθει επίσης τη δουλειά που γίνεται σε μια αδιαβατική διαδικασία.